EMILE PICARD

Paris, le i" juin 1897.

THEORIE

I. — Des intégrales simples et des intégrales multiples d'ordre n — i dans l'espace à n dimensions.

1. On sait ce que l'on doÎL entendre par intégrale multiple d'ordre n dans l'espace à n dimensions. Nous nous proposons de détînir les intégrales multiples, dont l'ordre m est inférieur à celui n des dimensions, et de chercher les conditions d'intégrabilité de ces intégrales.

Nous nous occuperons tout d'abord des deux cas extrêmes, relatifs à m=z i et r)i^=^n — i, ce qui nous permettra d'aborder plus facilement l'étude des cas intermédiaires.

2. Quoique le cas de /?z = i soit bien élémentaire, reprenonsle pour être complet; soient x^^x^-, •••, ocn^ n variables réelles que l'on considère comme les coordonnées à^w^ point dans l'es-

pace E// à n dimensions. Considérons l'intégrale

( I ) / P 1 clxi ~ P2 dxi -h . . . 4- P„ dxn,

dans laquelle l^ , P^, ..., P« sont des fonctions bien déterminées et continues de x^ , x.y-, ..., x,i et où A et B désignent deux points, dans l'espace E„, dont les coordonnées sont respectivement a,, a., ..., a,, et ,3,, |3o, ..., '^„.

Cette intégrale n'aura de sens que lorsque nous aurons fixé le chemin dHiitégration, c'est-à-dire une courbe C, ou variété à une dimension, joignant le point A au point B. Soient

les coordonnées d'un point quelconque de la courbe C exprimées en fonction d'un paramètre À : les fonctions o sont des fonctions continues de A, et quand A variera d'une manière continue de Ào à).,, le point (j:,, x.^^ ..., x,i) décrira la courbe C. L'intégrale (i), prise le long de C, est alors, par définition, l'intégrale simple ordinaire

C'est la généralisation de M intégrale curviligne, dans les espaces à deux et trois dimensions. On peut, comme dans ces cas, envisager un contour d^ intégration fer nié , dans lequel le point d'arrivée coïncide avec le point de départ, et il j a lieu de remarquer que cette intégration peut être efi'ectuée dans deux sens opposés.

3. Nous devons nous poser pour l'intégrale (i) une question analogue à celle qui a été étudiée pour les intégrales curvilignes ordinaires : A cjuelles conditions V intégrale (i) Jie dêpendrat-elle cjue de ses limites?

Envisageons dans l'espace E^^ un domaine continu D, simplement connexe, à l'intérieur duquel les fonctions J^, P2, ..., V,i sont uniformes, continues, ainsi que leurs dérivées partielles. Les courbes, joignant les deux points A et B, que nous aurons à considérer, appartiennent tout entières à ce domaine et peuvent

être ramenées l'une à l'autre par une déformation continue sans en sortir.

Nous cherchons donc les conditions nécessaires et suffisantes auxquelles doivent satisfaire les fonctions P, dans le domaine D, pour que la valeur de l'intégrale (i) soit indépendante de la trajectoire suivie par le point (j;,, ^07 •••5 ^n) entre les points A et B et dépende uniquement des coordonnées du point A et de celles du point B.

Les conditions nécessaires s'obtiennent immédiatement, en supposant d'abord qu'on ne fasse varier que deux des coordonnées, Xh et ^/f, par exemple. L'intégrale (i) se réduit alors à l'intégrale curviligne ordinaire

Vhdxh-^ Vhdxk.

Les conditions d'intégrabilité sont

(2) ÙVn ^dVj^

Oxi, dx/i

En considérant toutes les combinaisons différentes de n lettres

deux a deux, on obtient ainsi — conditions d intep^rabiliie

nécessaires.

4. Ces conditions sont aussi suffisantes. Pour le montrer, introduisons un paramètre variable £, et envisageons la courbe variable définie par les équations

Les fonctions cp sont supposées indépendantes de £, quand on y fait X = Xo et }. = )., : pour \ = \q elles se réduisent respectivement à a,, ao, ..., y~,i coordonnées du point A, et pour \ = '),^ à [^,, p25 "^^ '^n coordonnées du point B.

Faisons varier à la fois X et s, l'intégrale (1) prendra la forme

4 CHAPITRE r.

C'est une intégrale curviligne ordinaire relative aux deux variables A et £, et lin calcul très simple montre de suite que, si les relations (2) sont satisfaites, les coefficients de dl et de dz satisfont à la condition d'intégrabilité

7X^-'"-^yk{^''^

On en conclut que l'intégrale (3), effectuée le long d'un contour fermé tracé dans le plan des (X, e), est nulle si, à l'intérieur de ce contour, la condition (4) est satisfaite, les fonctions P élant toujours telles que nous l'avons supposé.

Fis:. I

Prenons comme contour d'intégration le rectangle ABCD, défini par les segments OA — Ao, OB = )., , AC = BD = s. On aura, sans qu'il soit besoin d'écrire l'élément différentiel sous le signe somme, la relation

Or l'intégrale effectuée le long de BD se réduit à

puisque, le long de cette ligne, la valeur de ). est constante. D'ailleurs, pour }. = )., les fonctions '^ sont, par hypothèse, ind(''pendantes de s; donc cette intégrale est identiquement nulle. Il en est de même de l'intégrale prise le long de CA. Nous concluons

de là que

c'est-à-dire que l'intégrale (i) ne change pas de valeur quand on déforme le contour d'intégration, sous les conditions spécifiées.

Par conséquent, les relations (2) sont bien les conditions nécessaires et suffisantes d'intégration.

Le résultat précédent donne lieu aux conclusions suivantes :

Si la courbe G, fermée et continue, peut en se déformant se réduire à un point sans sortir d'un domaine D linéairement connexe à l'intérieur duquel les fonctions P|, Po, ..., P« sont uniformes, continues, ainsi que leurs dérivées partielles, l'intégrale prise le long de ce contour sera certainement nulle.

Nous verrons, dans le Chapitre suivant, ce qu'on doit entendre par un domaine à connexion multiple dans l'espace E„, mais, sans aborder cette question, on conçoit, par analogie à ce qui a lieu dans l'espace ordinaire, qu'un domaine D, continu, satisfaisant aux conditions précédentes, soit tel que toute courbe fermée lui appartenant ne puisse se réduire à un point. L'intégrale prise le long d'un contour fermé appartenant à ce domaine devra alors nécessairement se réduire à des multiples d'un certain nombre d'entre elles qui seront les périodes de l'intégrale considérée.

5. Passons maintenant aux intégrales multiples d'ordre n — i dans l'espace à n dimensions. Quelques remarques préliminaires sont nécessaires, relatives aux variétés ou surfaces à /^ — i dimensions dans l'espace à n dimensions.

Considérons l'équation

(5) F(Xi, X2, .-. ., Xn) = o,

où F désigne une fonction uniforme, continue, dont toutes les dérivées partielles sont aussi continues et ne s'annulent jamais toutes à la fois sur F. L'ensemble des points de l'espace E,;, qui satisfont à cette relation, forme une variété an — 1 dimensions, V, ou hjpersurface. Cette variété est continue si l'on peut toujours réunir, par une courbe continue entièrement tracée sur elle, deux

b CHAPITRE I.

points arbitraires de cette variété. Elle est finie, si tous ses points satisfont à la condition

Il étant une constante lixe, suffisamment grande.

Nous dirons que la variété V, définie par la seule équation (5), Q^\ fermée si elle est finie et continue.

Dans ce qui suit, nous supposerons en outre que cette variété est convexe, c'est-à-dire qu'une parallèle à Fun quelconque des axes de coordonnées qui rencontre cette variété la rencontre en deux points et en deux points seulement. Enfin, comme dernière hypothèse, nous admettrons qu'il n'existe, sur la variété V, aucune relation identique entre deux quelconques ou plusieurs

des dérivées partielles - — » , — ^ -- - > -, — ^ dxx àx-i ox,i

Comme exemple d'une variété satisfaisant à toutes ces conditions, on peut citer l'hypersphère

x\-^xl-^..,-^xl^ R2.

Cela posé, on voit que la variété V divisera l'espace E,i en deux régions, l'une déterminée par l'inégalité F <C o, et l'autre par l'inégalité F > o, sans qu'il soit possible de passer d'un point de l'une à un point de l'autre sans traverser la surface. Nous désignerons sous le nom de région intérieure celle de ces régions dont tous les points satisfont en outre à l'inégalité (6) et l'on peut toujours disposer de F de manière que ce soit celle qui correspondent à l'inégalité F < o. L'inégalité F > o définit alors la région des points extérieurs,

6. Maintenant, par analogie avec les surfaces dans Tespace ordinaire, nous considérerons les dérivées partielles

dF ()F dF

âxi ' OX-i ' ÔXa

comme les paramètres d'une normale à la variété V, et nous allons démontrer qu'on peut toujours trouver sur cette variété une région pour laquelle toutes ces dérivées partielles aient le même signe. Envisageons la droite parallèle à Taxe des ^,, dont

DES LNTÉGRALES MULTIPLES DE FOlSCïIOiNS DE PLUSIEURS VARIABLES. 7

les équations sont

(7) ^2 =«2, ^3 =«3, Xn^aa,

et dont on obtient tous les points en faisant varier x^ de — c/d à 4-00. Soit alors B le premier point de rencontre de cette droite avec la surface et A le second. La fonction F, qui s'annule en A et B, est positive lorsque^ varie de — go au point A, négative entre le point A et le point B, positive du point B à -j- oc. On en

conclut qu'au point B, ou point d'entrée, -^ — est négatif, et qu'au point A, ou point de sortie, - — est positii.

Si donc on considère l'ensemble de toutes les droites (7) qui lencontrent la surface, elles diviseront cette surface en deux

régions : l'une pour laquelle on aura - — > o, l'autre pour la-

quelle -— << o.

* dxx

Envisageons de même l'ensemble des droites parallèles à l'axe des x-i qui coupent la surface, elles la partageront en deux nouvelles réirions correspondantes à — - >> o et à -r — << o. Ces réoions ne se confondent pas avec les précédentes puisqu'il n'existe pas,

par hypothèse, sur V, de relation identique entre les dérivées - — ,

àF

-T — On peut donc séparer sur la variété V une région pour laquelle on ait à la fois - — >> o et -r — >> o. Nous considérerons en-

^ axi âx<2,

suite rensemble des droites parallèles à l'axe des x-.i^ et en continuant ainsi de proche, nous arriverons à séparer sur la variété Y une région 1 pour laquelle toutes les dérivées partielles sont positives.

7. Au lieu de l'équation (5), qui définit la variété \, on peut considérer l'ensemble des équations équivalentes

^a^-fn{U\; Ul- . . ., Un-\).,

OÙ î^4, i/o, . . . , u,i-K sont à considérer comme n — i variables indépendantes.

On en déduit les relations

dx,

àXi

D{Xz,X3. .

, a7„, ar,)

D(Mi,M2, ...

..lln-l)

D(Mt, W2, ...

• , Ufi-l )

dx.

dXa

.,Xn-\)

dans lesquelles, pour L'ordre des indices adopté, on devra affecter

du signe + tous les déterminants fonctionnels si « est impair, et

prendre alternativement le signe — et le signe +, si n est pair.

Choisissons l'ordre des u de manière que, sur la région I

de V, considérée plus haut, pour laquelle toutes les dérivées^

sont positives, cette suite de rapports soit positive. Si l'on effectue alors une permutation sur les ?/, le signe changera ou ne changera pas suivant la nature de cette permutation. Par analogie avec ce qui a lieu pour les surfaces dans l'espace à trois dimensions, nous distinguerons, sur la variété V, deux côtés déterminés par l'ordre dans lequel les lettres u^^ u^^ ..., Uu-k sont écrites, un côté extérieur correspondant à un ordre tel que, dans la région I, tous les déterminants fonctionnels- précédents affectés de leur signe soient positifs, et un côté intérieur correspondant à un ordre tel que ces déterminants soient négatifs.

On exprime encore ce fait en disant que si, dans les équations'(8), deux variables // sont permutées, elles représentent V ou une variété opposée à V. , "^

8. Ces préliminaires étant posés, pour arriver à la notion d'une intégrale multiple d'ordre n — i dans l'espace à n dimensions, nous partirons, si n est impair, de l'intégrale

(q) If... il ^^ !-... 4-- — \dxxdx2 .. . dXn,

OÙ toutes les dérivées partielles sont affectées du signe +, en

étendant cette intégrale au domaine des points intérieurs défini par F << o dans l'espace E,, ; et dans ce domaine on suppose, bien entendu, que les fonctions P, Q, ..., S et leurs dérivées partielles sont uniformes et continues.

Si n est pair, nous envisagerons l'Intégrale analogue

— ) dxi dx2 . . . dx,i.

mais dans laquelle les dérivées partielles sont affectées alternativement du signe + et du signe — .

Considérons le premier terme de l'une ou de l'autre de ces intégrales

(10) //.../ ^Ç^clx\ dx-i . . . dx,i-

J Jin) J '^•^l

On peut effectuer l'intégration par rapport à œt , et, en désignant respectivement par B et A les points d'entrée et de sortie d'une parallèle à l'axe des ^,, l'intégrale précédente se réduira à l'intégrale d'ordre n — i

/ / ••• dx^dxs . . . dx,i(P\ — PB).

Tous les points A appartiennent à la région des points de la variété V pour laquelle -. — >> o ; tous les points B à la région pour

1 11 àF

laquelle -r — <; o.

^ âxi ,

Introduisant les variables indépendantes Ui^ii2, ••., Un-i, choisies dans un ordre qui corresponde au côté extérieur de V, on aura pour les points A

dxi dxj, . . . dx,i = r— dui . . . dun-\

JJ(ai, .... Un-l)

et pour les points B

dX2 dx^ . . . dXn = — ^ , ^ï' "',Xn) ^^^ ^ ^ ^ dUn-i^ U( Wi. . . . , u,i-i )

de sorte que l'intégrale (lo)sera égale à l'intégrale d'ordre (/i — i) / / • • • / P ^r^ — - — ^' ' "' — ^ dui du2 . . . dun-u

lO CHAPITRE I.

étendue au côté extérieur de la variété V définie par l'équation F = o.

Le même mode de raisonnement montre, en s'appuyant pour les signes sur le lemme du paragraphe précédent, que l'intégrale

/ / ' ' ' I ± — dXi dX2 . . . d-Tn

est égale à l'intégrale d'ordre n — i

fL.:-f'W::':

dui dii-i . . . dii„-i'

étendue comme la première au côté extérieur de la variété V; et de même pour tous les autres termes de l'intégrale (9). Finalement nous pourrons écrire l'égalité

r f .,. f(^±,^-±: ±^]dx,... dx„