II

r r rfp 0(3:^2,^3. .-^^/O

^ D(Mi, .. ., Un-l)

rintégrale d'ordre n étant étendue au domaine défini par F < o, et l'intégrale d'ordre n — i au côté extérieur de la variété V (F = o). On représente symboliquement l'intégrale d'ordre (n — i), écrite dans le second membre de celte égalité, par l'expression

!j I . . . / P dx2 dx:i . . . dx,i

— Q dx^ dx, . . . dxn dx,-T-...^Sdxi dx^ . . . d,Tn-i ,

dans laquelle l'ordre des indices des variables x,, ^2, . • -, ^n ne doit pas être interverti; c'est à-dire que, par définition, cette intégrale est égale à l'intégrale

ce f\v^ (^2,-^3. ••».^«)

-S"^^ ^"->]rf«, ...rf»„-..

étendue, suivanl l'ordre des u, ù un côté ou à l'autre d'une variété V définie par l'équation (5) F = o, ou par le groupe des équations équivalentes (8).

9. La formule (i i) donne immédiatement la condition pour que l'intégrale (12) prise le long de toute variété fermée V à /i — i dimensions, à l'intérieur de laquelle les fonctions P, Q, ..., S et leurs dérivées partielles du premier ordre sont uniformes et continues, soit égale à zéro.

Il est nécessaire et suffisant que l'on ait

ÔX^ OX-i OX,i

relation dans laquelle, comme nous l'avons dit, on prend toutes les dérivées partielles avec le signe -\- si n est impair, et avec alternativement les signes + et — si n est pîiir.

10. Au lieu d'une variété fermée à n — i dimensions, on peut considérer une variété à frontière, qui sera définie, par exemple, par l'équation F(^,,cro, ...,^,^) = o et par une inégalité <t>(cr<, ^2? •••> ^//Xo, si l'on suppose que l'équation ^ -= o sépare sur l'hypersurface F deux régions distinctes : l'une pour laquelle $ >> o, l'autre pour laquelle $ << o.

Les équations F = o, <I> = o prises ensemble constituent une variété à« — 2 dimensions que l'on appelle la yV-o/z^/c^/'e complète de la variété définie par les conditions

F(a7i, Xi, . . ., a7„)= O, 4i{Xi,X.2, . . ., Xn)< O.

Si, au lieu de définir la variété fermée par l'équation F = o, on la suppose définie par les équations (8)

^n= failli, W.2, . . ., Un~l).,

on obtiendra une variété limitée en adjoignant à ces équations une

inégalité

o{ui, U2, .... W,i i)< o,

qui détermine l'ensemble des points intérieurs à la variété fermée à /? — 2 dimensions cd =i o dans l'espace {u\ , ^^27 • • «5 ^^n-i )•

Si alors on considère un ensemble de variétés à /i — i dimensions, avant une même frontière définie par l'équation

on verra facilement, sans qu'il soit besoin d'insister, que la relation (i3) exprime la condition nécessaire et suffisante pour que l'intégrale (12) ne dépende que de la frontière limitant la variété sur laquelle on intègre.

La démonstration suppose, bien entendu, que dans tout le domaine à n dimensions, balayé par cet ensemble de variétés avant même frontière, les fonctions P, Q, . . ., S et leurs dérivées partielles du premier ordre sont uniformes et continues.

On en conclut encore, comme pour les intégrales linéaires, que si le domaine D, tout en étant continu et connexe, est tel que toutes les variétés fermées k n — i dimensions que Ton y peut tracer ne peuvent pas se réduire par une déformation continue à une variété d'un nombre moindre de dimensions, l'intégrale prise le long d'une variété fermée -d n — i dimensions se réduira nécessairement à une somme de multiples d'un certain nombre d'entre elles, qui seront les périodes de cette intégrale.