Nous avons supposé que la courbe gauche G n'avait pas de

points singuliers; il est intéressant, pour l'application à la théorie

des surfaces, de considérer le cas où la courbe gauche G aurait un

certain nombre t de points triples Ai, A2, . • ., A^. Gonsidérons

toutes les surfaces d'ordre k{k^d — 2) passant par les points

triples et rencontrant G en six points confondus en chacun des

points triples. On va voir facilement, en faisant usage d'un mode

de raisonnement analogue à celui qui a été employé plus haut, que

le groupe des

kd — 6 1

points variables est d'ordre

kd—Ç)t—p.

En effet, parmi les surfaces remplissantla condition précédente

se trouvent les cônes ayant pour sommet un point pris comme

point de vue et pour bases les adjointes d'ordre k à la courbe F

projection de G sur un certain plan. En désignant par h le nombre

des points doubles apparents, on aura alors sur F un groupe de

points en nombre

kd — ih — 6 ^, dont l'ordre sera

kd — ih — 6 ^ — /?.

Or, les ih points (a<, a^), (^<, ^o), . . . sont indépendants les uns des autres au point de vue du nombre des conditions imposées à une surface d'ordre k les contenant (on le verrait par un raisonnement analogue à celui du numéro 'précédent); il en résulte que les surfaces d'ordre k ayant six points de rencontre confondus avec chacun des points triples. A, comme il arrive aux cônes qui viennent d'être considérés, détachent sur G un groupe de points

en nombre

kd—6t,

dépendant exactement de

kd — 6 ^ — p

arbitraires. Or, soit u. le nombre des conditions exprimant qu'une surface de degré k rencontre la courbe G en six points confondus en chacun des points triples, le nombre des conditions pour qu'une surface de degré k passe par la courbe sera

fi. H- Âr/ — 6 / — /»-+-!

puisque, avec ce nombre de conditions, nous exprimons qu'une surface d'ordre /r, rencontrant la courbe aux points triples de la manière indiquée, rencontre la courbe en

kd — 6 ^ — /> + I

points arbitrairement pris sur elle, ce qui est impossible.

La question proposée revient donc à évaluer ^k ; à cet effet, on peut, par exemple, écrire que la surface doit passer par un point A et être tangente, en ce point, à chacune des branches de la courbe G passant en A. On a ainsi, pour chaque point triple, quatre conditions, si les trois tangentes à C au point A ne sont pas dans un même plan. D'autre part, les quatre conditions imposées en chacun des points singuliers A,, Ao, . . ., Absout eertainement indépendantes, car le fait, pour une surface d'ordre A(Â-^<i— 2), de rencontrer G en un certain nombre de points triples A, soit qu'elle n'ait de contact avec aucune branche, soit qu'elle ait un contact avec quelqu'une des branches passant en ces points, n'entraîne nullement comme conséquence que la surface ait en ces points un contact plus intime que celui qui résulte des conditions écrites, ou qu'elle passe par un autre des points triples. Pour s'en convaincre, il suffit de remarquer que, pour les courbes d'ordre k, dans le plan de F, les conditions relative^ aux nombres des points de rencontre confondus en un point triple sont indépendantes.

Nous pouvons donc écrire

et nous avons, par suite, pour le nombre cherché des conditions exprimant qu'une surface d^ ordre k{k'^d— 9.) passe

par G,

kd ^ '1 1 — P -\- \ '

Il est clair que cette formule pourra souvent être exacte quand k sera inférieur k cl — 2, et, en employant des considérations analogues à celle du n" 10, on aura, dans bien des cas, une limite beaucoup moindre ; mais il est inutile d'insister : le point que nous avons surtout en vue est que la formule précédente est applicable à partir d^une valeur suffisamment grande de k.

IV. — Expression numérique de pg ; du genre numérique d'une surface.

13. De même que, dans la théorie des courbes planes, on exprime le genre de la courbe par une formule où figurent le nombre des singularités, supposées ordinaires, de la courbe (points doubles ou points multiples d'ordre quelconque à tangentes distinctes), on peut chercher à trouver une formule numérique donnant le genre géométrique /?o. d'une surface.

Gomme il est bien connu, en désignant par kt le nombre des points multiples d'ordre i, on a, pour une courbe d'ordre m,

La diminution du genre due aux singularités, par rapport au

genre a une courbe sans points singuliers, se trouve

représentée par le terme soustractif

Considérons maintenant une surface de degré m sans singularités : son genre géométrique égal à

(jn — I ) ( /n — i){m — 3 )

Si la surface a des singularités, le genre pg peut se trouver diminué; nous écrirons

£ élant la diminution provenant de Vensemble des singularités.

236 CHAPITRE Vin.

Mais ici de^i circonstances pem^ent se présenter, qui ne se rencontraient pas dans la théorie des courbes.

44. Nous prendrons d'abord un cas particulier extrêmement simple ; nous avons dit que la présence d'un point multiple isolé d'ordre q irréductible entraîne, en général, pour la surface du système canonique, un nombre de conditions égal à

q{q — ^Mq — '^-)

Donc, pour une surface d'ordre /??, avec un point multiple isolé d'ordre q^ on aura

{m — x^ini — 2) (m — 3 ) g ( g — i ) ( ^ — 2 ) Pff- G G

Appliquons cette formule au cas d'un cône d'ordre //z, sans ligne double ; nous avons q = /?z, et la formule donne

(m — i)( ni — '2 )

Nous arrivons donc à ce résultat, que pg est négatif. Nous avons ainsi un exemple où la formule donne pour pg un nombre négatif, tandis qu'il est clair que />^, d'après la définition même, est un nombre positif ou nul, et l'on a ici pg = o.

Cette circonstance n'est pas la seule qui puisse se présenter. On pourra avoir, dans d'autres cas, une formule fournissant, en général, la valeur de pg^ mais donnant, dans certains exemples, une valeur différente et inférieure à /?^, tout en étaht positive. Il pourra notamment arriver,, les singularités se composant de diverses courbes multiples ou de divers points multiples isolés, que la diminution totale e dans la valeur de /> «^ ne soit pas la somme des diminutions partielles provenant des diverses singularités partielles. C'est là un fait qui ne se présente jamais dans la théorie des courbes, où, dans la diminution du genre, chaque point singulier agit comme s'il était seul, comme le montre le terme

soustractif

dans la formule rappelée plus haut relative aux courbes planes. Prenons, pour vérifier cette assertion, le cas particulier suivant (^). Considérons les trois c[uadriques quelconques

Elles ont huit points communs A^ , Ao, . . ., Ag. En désignant par z)n une forme homogène arbitraire de degré n en u^ ç^ ^p, formons l'équation

Elle représentera une surface d'ordre 2/?, ayant comme points singuliers isolés les points A qui sont des points multiples d'ordre /2, ne présentant d'ailleurs aucune particularité. Un point multiple isolé général d'ordre n diminue, s'il est seul, le genre géométrique d'une surface de

unités. Donc ici, si dans la diminution du genre géométrique, chaque point A agissait comme s'il était seul, on aurait pour le genre de la surface

{'in ~ i){in — 2){2n — 3) o ^(^^ — i)( n ~ 1) g- 8 ^n-,.

Le genre géométrique de la surface considérée serait donc n — i . Mais on voit aisément que ce résultat est inexact; les polynômes adjoints Q d'ordre 2/1 — 4 7 dont le nombre donne />^, satisfont à la seule condition que la surface

ait les points A comme points multiples d'ordre ii — 2. Or, la surface d'ordre 2/2 — 4

fn-2{u, V, W)= O,

oi\ fn-2 est un polynôme arbitraire de degré n — 2, homogène en

(') Cet exemple est emprunté à un Mémoire de M. Castelnuovo, Osservazioni intornoalla Geometria sopra una superficie {Rendic. Istituto Lombardo, iSgO-

238 CHAPITRE YIII.

w, {f, w, remplit ces conditions, et elle dépend de

paramètres; on a, par suite,

Pff~ ô. '

résultat bien différent de la formule trouvée plus haut, qui donnait p„z= n — I. Ainsi on voit, par cet exemple, que les conditions imposées aux adjointes du système canonique par les diverses singularités peuvent ne pas être indépendantes, et, par suite, la formule gui, dans d'autres cas, aurait donné exactement pg, donne une valeur moindre.

lo. Dans l'exemple du numéro précédent, nous avions seulement des points singuliers isolés. Pour donner un exemple dans lequel se trouvent des lignes singulières, prenons une intéressante surface du sixième ordre étudiée par M. Noelher (*). C'est une surface du sixième ordre ayant pour courbes doubles une courbe gauche G du quatrième ordre de genre un, et une droite D qui ne la rencontre pas. Nous formerons facilement, dans un moment, l'équation d'une telle surface^ il est clair que l'on a pour cette surface ,

car il ne peut y avoir de quadrique passant par G et D, puisque D ne rencontre pas G. D'autre part, voyons ce que nous trouverions pour/7o^ en retranchant de

i Ll il i ou lO

le nombre des conditions exprimant qu'une quadrique passe par G, augmenté du nombre des conditions exprimant qu'une quadrique passe par D; cette somme est égale (d'après la formule kd — /> + I ) à

(') NoETiiER, Ueber eine Flàche G'^' Ovdnung vom Flàchengeschlecht — i {Math. Jnnalen, i883).

nous trouverions donc pour le genre

10 — II ou — I.

Voici donc encore un exemple, à rapprocher de celui du cône d'ordre m, où la formule fournit pour le genre un nombre négatif. Indiquons maintenant la forme de l'équation de la surface.

Soient

les équations de deux plans donnant la droite D, et

les équations des deux quadrlques dont l'intersection donne G. La surface du sixième degré, qui aura pour courbes doubles G et D, a pour équation

(«0^2+ «lAB -+- A2B2)cp2

+ (èoA2+ ^^1 AB -\- ^2B2)cp4; H( C0A2-H Cl AB -4- C2B2)62^ o,

les <2, b, c étant des constantes. On peut démontrer que cette surface correspond point par point à un cône du troisième ordre sans droite double.

16. Les exemples précédents montrent que l'on ne peut s'attendre à trouver une formule numérique qui donne, dans tous les cas, le genre géométrique/?^ d'une surface algébrique. Après les cas particuliers que nous venons de traiter, revenons au cas général d'une surface ajant comme singularités une ligne double G, dont nous désignerons le degré par d et le genre par/», cette ligne double ayant t points triples qui sont aussi des points triples pour la surface. Le genre /?^ de la surface est égal au nombre

diminué du nombre des conditions qui exprime qu'une surface de degré m — 4 passe par la courbe G. Or nous avons cherché, dans la section précédente, le nombre exact des conditions exprimant qu'une surface de degré k passe par une courbe G; nous avons trouvé, pour représenter ce nombre de conditions, l'expression

(a) kd—^A — p-^i, .

24o CHAPITRE VIII.

pourvu que k dépasse une certaine limite; dans le cas contraire, l'expression précédente n'est qu'un maximum pour le nombre des conditions. Par suite, si k = /n — 4 est assez grand pour que l'on puisse avoir, par ]a formule ci-dessus, le nombre exact des conditions pour qu'une surface de degré m — 4 passe par la courbe double, on aura

pg= g — '- ' —{m — \)d-^-it+p— I.

Si, au contraire, il n'était pas légitime de se servir de l'expression (a) pour k = m — 4? le second membre de l'égalité précédente ne représenterait pas/?^, mais un nombre plus petit ; nous poserons, dans tous les cas,

Pn= ^ ^ — —(in — ^)d-+-9.t-^p — i :

on appelle pn le genre numérique de la surface, et l'on a nécessairement, d'après ce qui précède,

Pn ^Pg-

Tandis que pg est essentiellement positif (ou nul), le nombre pn peut avoir un signe quelconque.

17. C'est M. Gajley ( ^ ) qui a remarqué le premier que la formule, trouvée pour pg, en se servant sans précaution de l'expression (a), pouvait donner un nombre négatif (-). Cet exemple, très généra], est celui des surfaces réglées algébriques quelconques. Avant de l'indiquer, reprenons l'expression de pn en introduisant, au lieu du genre/?, le rang r de la courbe double C. On 'a, comme nous l'avons vu,

r = d{d — i) — ih — 6^; et d'autre part,

( ' ) A. Cayley, On the Deficiency of certain surfaces {Math. Annalen, t. III, 1871).

(^) Nous avons vu plus haul qu'un cùnc suffit pour fournir un exemple de surfaces à genre négatif.

On en déduit pour/?/^

(m — i)(m — i)(m—'i) on , ''

Pn= ç {m ~ 3)d-+- - -\-it.

Ceci posé, si l'on considère une surface réglée algébrique générale, elle a une courbe double, et sur cette courbe double un certain nombre de points triples. Dans un Mémoire sur les surfaces réglées algébriques, Salmon a montré que l'on avait entre le degré cl, le rang r et le nombre t des points triples de cette courbe double, les relations

3^^(m — 4)[3t/— m(w — 2)], r = m(m — '2)(m — 5)—-2{7n~6)cl.

Eu se servant des formules de Salmon, on trouve, pour/;,/

Pn = ; h a.

On voit que p,i ainsi obtenu est négatif, et égal au genre, pris avec le signe moins, d'une section plane quelconque delà surface.

18. La considération du genre numérique d'une surface, quand il ne coïncide pas avec le genre géométrique, n'offrirait que peu d'intérêt si ce genre numérique n'était pas, comme p., un nombre invariant. Or, il résulte des remarquables recherches de M. Zeuthen (•), que p,i est un invariant; pour énoncer avec précision le beau théorème de M. Zeuthen, nous devons ici nous borner à considérer deux surfaces / et f se correspondant point par point et n'ajant que les singularités ordinaires. Si m, />, d, t d'une part, et m!, p' , d\ t' d'autre part, représentent les nombres relatifs aux surfaces /et/', on peut établir que

{m — \){m - 2)( m — 3 ) ^ , ^ —{m — f^)d-^it-^p — v

— g {fn — \)d -H 2 ^ -+-/>— I ,

sui

( 1 ) Zeuthen, Études géométriques de quelques-unes des propriétés de deux -faces dont les points se correspondent un à un {Math. Annalen, t. IV). P. ET s. j6

c'est-à-dire que

Pn=p'n,

résultat qui est évident si pn ^'^ p'n sont respectivement égaux ^ Pg et/?'^, mais qui, dans les autres cas, exige une démonstration spéciale. La démonstration de M. Zeutlien, comme celle de M. Noeiher ('), qui a repris la question après l'éminent géomètre danois, sont fort longues. Nous ne les suivrons pas dans cette voie. Dans des travaux récents (-), M. Enriques a étudié à un point de vue nouveau, extrêmement fécond, le genre numérique d'une surface; ses belles reclierclies trouveront place dans le Tome II de cet Ouvrage.

Le fait que l'on n'a pas toujours y?,; =i/?^ introduit dans la théorie des surfaces un élément de classification qui n'avait pas son analogue dans la théorie des courbes. Un premier tjpe de surfaces, le tjpe général, correspond aux surfaces pour lesquelles

Pn^Pg-

La surface, dans ce cas, est dite régulière; on appellera irrégulière une surface pour laquelle

Pn<Pg'

19. Après avoir indiqué la formule susceptible (au moins dans certains cas) de donner/?^, indiquons les formules susceptibles de donnery?^'^ elp^-K Nous nous plaçons dans le cas général où ne se présente pas la circonstance spéciale indiquée au n° 0 et où l'on a, par suite,

Il suffira de calculer l'un de ces deux invariants; c'est />^2' que nous allons obtenir le plus rapidement. Nous supposons que/>^^ 2, et nous considérons deux adjointes distinctes du système canonique; elles ont en commun, en dehors de la courbe double C, une courbe Y qui coupe G aux t points triples, et, en outre, en 0

(') NoETHER {Math. Annalen, t. VIII; Mémoire déjà cité). (^) Enriques (Mémoires cités au Chap. VII, p. 197).

autres points, et nous avons vu au n"^ 2, que l'on a

r — d{im — lo) — 0 — 6^, 7' étant le rang de G. On en déduit

0 = û?(2m — 10)— /• — 6^. Or, la courbe F est de degré

elle coupe donc la surface/ en un nombre de points égal à

mais, parmi ces points, il y en a, sur G, qui représentent un nombre de points d'intersection égal à

26 + 3^, et, par suite.

En réduisant et substituant au rang r le genre p de la courbe gauche, on trouve

^(2)== /77(m — 4)2 — (5 m — i^)d-{- 'ip -^ 9^ — 4,

et l'on a, pour le second genre />^'^ de la courbe,

Il peut arriver ici quelque chose d'analogue à ce qui s'est présenté pour la formule donnant/?^ ; alors rjiême qu'il n'y a pas d'adjointe d'ordre m — 4 (/>^= o) et, par suite, quand le second genre p^^\ tel que nous l'avons défini, n'a aucune signification, la formule précédente n'en continue pas moins à donner un nombre déterminé positif ou négatif. Il y a donc encore lieu d'introduire, à côté du second genre {C urçengeschlecht) ^ un autre nombre qu'on peut appeler le second genre numérique, mais nous n'insistons pas, pour le moment, sur ces notions que nous devrons plus tard approfondir. Ge qui précède suffit pour montrer quelles surprises réserve la théorie des surfaces algébriques; en particulier, la distinction qu'il peut y avoir lieu de faire, comme nous l'avons

montré sur des exemples, entre le genre géométrique et le genre numérique d'une surface, distlnclion qui n'a pas d'analogue dans la théorie des courbes planes, montre sous un nouveau point de vue la différence profonde qui existe entre le cas de deux variables et celui d'une variable, différence que nous avions déjà rencontrée dans le domaine de la Géométrie de situation et dans l'étude des intégrales de différentielles totales.