P3(>^, II
les P étant rationnels par rapport à X et algébriques par rapport à u. Supposons maintenant que la surface possède une intégrale double de première espèce; celle-ci sera de la forme
S ( X , u^ dk du,
S étant rationnel en \ et algébrique en u. Or, une telle intégrale ne peut être de première espèce. Prenons, en effet, une valeur arbitraire de u^ soit Wo; la fonction rationnelle S en X aura au moins un pôle correspondant à une valeur de u. On peut supposer ce pôle à distance finie et regarder son affîxe comme une fonction holomorphe a[u) de u dans le voisinage de Uq\ en posant alors
notre intégrale prend la forme
H dV du
If
m étant un entier au moins égal à un, et H une fonction finie et différente de zéro pour V = o, u = Uq.
Il est par conséquent visible que, pour un continuum convenable d'intégration, l'intégrale devient infinie, ce qui établit la remarque énoncée plus haut.
On en déduit, en particulier, que, pour une surface réglée, on a
9. Prenons, comme autre exemple, les surfaces déjà considérées, pour lesquelles on a
<4) . jK = R,(X, f., X', [^'),
( z = R2(X, IX, X', 1^'),
les R étant rationnelles par rapport aux X et aux ^ ; de plus, X et a sont liées par une relation algébrique de genre/»
et les deux paramètres V et ^' par une seconde relation algébrique
de genre/?'
Nous supposons, en outre, qu'à un point arbitraire de la surface ne correspondent qu'un seul système de valeurs ()v, jj.) et un seul système de valeurs ()/, u.').
Cherchons le genre pg de la surface définie par les équations (4). Soient
y*Pi(x, ix)cii, ..., jvp{\ ix)di,
p intégrales de première espèce linéairement indépendantes de la courbe/, et
J(^,{r,ix')di', ..., Jqjy{r, ix')
dl'
/?' intégrales de première espèce linéairement indépendantes delà courbe F. Formons l'intégrale double
JJ'^ii^. V-)-^kO'^ V-')dldV.
Elle sera évidemment de la forme
P(^, 7' ^)dx dy,
P étant rationnelle en x^ y^ z^ puisque, par hypothèse, les X et ^ sont rationnelles en x^ y et z. Nous formons ainsi pp' intégrales doubles de première espèce, qui sont linéairement indépendantes, et, par suite, le genre de la surface est au moins égal à pp'.
Il est aisé de montrer que ce genre est précisément égal k pp' . Toute intégrale double de la surface est, en effet, de la forme
JJ^{\\J-,l\\x')d\dl'.
Supposons-la de première espèce. Il sera d'abord nécessaire que l'intégrale simple
cp(X, [x, X', ix')dl
(// et ik' étant considérés comme des constantes) soit une intégrale
de première espèce pour la courbe Oa a donc
les A ne dépendant que de V et jji' dont ils sont nécessairement des fonctions rationnelles. On voit ensuite que
doit être une intégrale de première espèce de la courbe ■
F(V, ^')=o, et, par suite,
les B étant rationnels en \ et a. Donnons à ()., [x) p systèmes de valeurs fixes arbitraires; on pourra tirer, par des équations du premier degré, les A,(V, uJ) en fonctions linéaires des Qâ(^A p-')5 donc cp(X, a, )/, [a') est de la forme
cp(X, II, \', ;jL') = ^a//,P/(X, [a).Q/,(X', il'),
les a étant des constantes; il en résulte que toutes les intégrales doubles de première espèce sont de la forme trouvée plus haut. En définitive, nous avons, pour la surface définie par les équations (4),
III. — Digression sur les systèmes linéaires de courbes tracées sur une surface ( ^ ).
10. Avant de continuer l'étude des surfaces adjointes d'ordre
(M Les points essentiels de cette section sont empruntés à deux Mémoires remarquables de M. Enriques, sur lesquels nous aurons ultérieurement à revenir [Ricerche di Geometria sulle superficie algebriche {Mémoires de l'Académie de Turin, 1894 ), et Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche {Mem. délia Societa Italiana d. Scienze, 3» série, t. X; 1896)].
igS CHAPITRE VU.
m — 4i il GSl nécessaire que nous fassions quelques remarques générales sur les systèmes linéaires de courbes tracées sur une surface algébrique S. Nous considérons l'intersection de la surface S avec un système linéaire de surfaces, c'est-à-dire avec un système de surfaces
(L) ajLi-f- aaLa^-. . .4-a,,+iL;.+i= o,
les L étant des polynômes en {x,y^ z), et les a des constantes arbitraires. Il peut y avoir des courbes fixes d'intersection (c'està-dire indépendantes des a) du système L avec S; la courbe ou les coufbes qui nous intéressent sont les courbes de rencontre variables avec les a, et quand nous parlons de la courbe ou des courbes définies par L, il n'est question que de la courbe ou des courbes variables.
Le système linéaire sera dit réductible ou irréductible, suivant que la courbe variable d'intersection sera elle-même réductible ou non. La courbe générale d'un système linéaire peut avoir des points fixes que l'on appelle points-bases.
Un système linéaire sera dit d'ordre /', si par r points arbitraires de la surface passe une seule courbe du système \ c'est le cas où, dans l'équation écrite ci-dessus, les L sont des fonctions linéairement indépendantes sur la surface (*). Un système linéaire porte le nom de faisceau lorsque son ordre est égal à un, et le nom de réseau lorsque son ordre est égal à deux.
(') On peut se demander si une famille de courbes irréductibles, tracées sur une surface telle, que par r points arbitraires de la surface ne passe qu'une seule tourbe de la famille, forme nécessairement un système linéaire*. M. Enriques a montré {Rendiconti delta R. Accademia d. Lincei, 1898 ) que la réponse est affirmative si /• est supérieur à un. Pour le cas de r = i, il peut en être autrement, comme le montre l'exemple des génératrices d'une surface réglée. Il y a cependant des cas où le théorème de M. Enriques est encore applicable pour r = 1. C'est ce qu'a fait voir M. Castclnuovo [Alcuni resultati sui sistemi lineari di curve appartenenti ad una superficie algebrica {Societa Italiana délie Scienze, 1896)] pour les surfaces dont le genre géométrique égale le genre numérique; M. Humbert a aussi montré qu'il en est de même pour les surfaces qui n'ont pas d'intégrales de différentielles totales de première espèce [Sur quelques points de la théorie des surfaces algébriques {Journal de Math., 1894)]. Ces résultats intéressants semblent indiquer quelque dépendance entre la théorie du genre numérique et celle des intégrales de première espèce; nous aurons à y revenir.
On appelle degré D d'un système linéaire le nombre des points de rencontre variables de deux courbes du système L.
11. Faisons quelques remarques relatives aux intersections de deux courbes générales du système L, et qui nous permettront d'établir une distinction entre les différents systèmes que l'on peut avoir à considérer. Il est d'abord évident que si deux courbes quelconques du système ont toujours une partie commune, cette partie commune est fixe. Une remarque non moins évidente est relative au cas d'un faisceau linéaire [r =. i). Un point commun à deux courbes du faisceau doit être commun à toutes, comme le montre l'équation a< L, + ao Lo = o î ^^ point est donc un pointbase ^ il n'existe pas de points de rencontre variables et, par suite, D = o.
Supposons maintenant /'^ i . Le cas le plus général sera celui où, deux courbes générales du système ayant D points de rencontre variables, la condition de passer par un point de la surface n'entraîne pas, comme conséquence, pour ces courbes, l'obh'gation de passer par d'autres points déterminés par le premier. En d'autres termes, le svstème linéaire d'ordre /' — i, formé par les courbes L qui passent par un point arbitrairement donné de la surface, est de degré D — i . On dit alors que le système est simple.
Une autre circonstance moins générale peut se présenter : c'est celle où les courbes L, qui sont assujetties à passer par un point arbitraire, passent nécessairement par m — i autres points, et forment alors un système linéaire de degré D — m. Dans ce cas, les D points de rencontre se partagent en s groupes de m points, et l'on a D = ms. On dit alors que le système forme une involution \m. Il est clair que ce fait se présente toujours pour un réseau, si la surface n'est pas rationnelle.
Enfin, il peut arriver, r étant plus grand que un^ que deux courbes générales du système n'aient pas de points de rencontre variables. Imaginons toujours le système linéaire d'ordre /' — i , formé par les courbes L qui passent par un point. Toutes ces courbes n'ayant pas de points de rencontre variables auront forcément une courbe commune, passant par ce point, qui fera partie de la courbe générale et qui sera déterminée par un seul point. Assujettissons ce système d'ordre ;- — i à passer par un second
point fixe, nous délaclierons encore, de la courbe générale, une seconde courbe jouissant de la même propriété. En continuant ainsi de proche en proche, on voit finalement que la courbe générale se composera d'au moins r courbes distinctes, car il pourra encore rester, la réduction précédente étant achevée, un certain nombre de courbes composantes. Soit m le nombre total de ces courbes ; elles forment un ensemble dépendant de r paramètres, et qui est tel que par chaque point de la surface ne passe qu'une seule de ces courbes. On dit alors que le sjstème linéaire est formé de ?n[m^r) courbes d'un faisceau, et, dans ce cas, on a évidemment D = o.
Revenant au cas où D est plus grand que zéi^o, nous ferons encore la remarque importante que les D points d'intersection variables doivent décrire la surface tout entière. Supposons, en effet, que quelques-uns de ces points décrivent une courbe fixe (F) de la surface ; une courbe particulière quelconque du système L coupera F en un certain nombre de points. L'un au moins de ces points appartiendra à une autre courbe du système qui, dans l'hj- ])Othèse admise, ne pourra que rester fixe quand on la fera varier. Le point considéré serait donc un point fixe et non un point variable de rencontre, comme nous l'avons supj)osé.
Ajoutons finalement que l'on a, entre /• et D, si /' > i et D > o,
l'inégalité évidente
puisque par /' — i points arbitraires on peut certainement faire passer deux courbes L.
12. Tout système linéaire simple, d'ordre /' supçrieur à deux, permet d'effectuer une transformalion de la surface dans un espace S,.' à /•' dimensions (r'^r)^ pourvu que /-' soit^3. Prenons /•' -|- I surfaces L arbitraires et envisageons le système
X - ^-' Cette transformation fera correspondre à la surface S, dans l'es-
aiLi-i-aaLa-
posons
pace à trois dimensions, une surface S' dans l'espace à r' dimensions (Xi, Xo, . . ., X;^'). A un point arbitraire de S correspond un seul point de S', et réciproquement, car, quand les /•' équations précédentes en (x,jKj z) ont une solution commune correspondant à un point de la surface, elles n'en ont qu'une en général, puisque le système est simple et que r'^3.
Cette surface S' sera d'ordre D. En effet, envisageons dans l'espace S/.' deux hjperplans arbitraires
Al Xi -i- A2 X2 H- . . . -4- A,.'X;,' -i- A,.'Hi = o,
A'i X, 4- Au.-T-. . .-f- a;..x,.'4- a;..+i = o,
qui déterminent une variété linéaire d'ordre r' — 2 ; elle coupera la variété S' d'ordre 2 en un certain nombre de points déterminés par les équations
AiLi -i-AsL,—.
. . 4- A,.'+i hr'+\ = 0,
A'i Li -h A2 L2 -f .
. .-H A,.'+lL;.'-j-l == 0,
qui ont, sur la surface S, D solutions communes variables avec les A. Le système linéaire étant simple, à ces solutions correspondront, en général, des points distincts de S'; par suite, la surface S' est bien d'ordre D.
Remarquons, en outre, qu'à une surface (L) correspond dansS/-un hyperplan
aiXi-i- «2X2-!-. . . 4- a,.'X,.'-i- a,.'+i = o
et réciproquement, et, par suite, que les sections hyperplanes d'ordre /• — î de S' correspondent à des courbes de S appartenant au système linéaire.
Si le système (L), au lieu d'être simple, appartenait à une involution \m, on pourrait encore effectuer la même transformation, mais alors cette transformation ne serait plus biunivoque. A chaque point de S correspondrait un point de S', mais à chaque point
de S' correspondrait m points de S, et l'ordre de S' serait égal à — •
On peut cependant, même dans le cas d'une involulion, modifier la transformation précédente, de manière qu'elle donne lieu à une correspondance biunivoque dans tous les cas.
Plaçons-nous toujours dans le cas général ; prenons /•' surfaces L
arbitraires Lj, Lo, . . ., L^', et envisageons le système
(L) aiLi+ aoLj-f-. . .-f- a,.'L,.' = o.
Adjoignons à ces surfaces deux surfaces déterminées Pi et Po, que l'on peut toujours supposer telles que la courbe du faisceau
(P) PlPl+3oP2=0
(les p désignant des constantes arbitraires) qui passe par un point quelconque A de S ne passe pas par les points conjugués de A dans l'involution L, si elle existe. Nous poserons alors
Al = - — , Ao = 7 j ' ' • ■> A,.'i — — j j ^r — p
Cette transformation est biunivoque, comme il résulte immédiatement des hypothèses faites sur V^ et P2 : à la surface S dans l'espace S3 correspond une surface S' dans l'espace S/ et ces deux surfaces se correspondent point par point. Chaque point de S' peut être considéré comme obtenu par l'intersection d'une droite parallèle à une direction fixe, l'axe des X;. , avec un hyperplan PoX^ — Pi == o parallèle à un hyper plan fixe. Aux courbes (L) sur S correspondent sur S' les sections faites par les hyperplans
«1X1+ aaXa-l-. . .+ a,.'iX,.'i 4- ccr' = o,
parallèles à l'axe X^, et aux courbes (P) correspondent les seclions faites par l'hyperplan
PlX;.'-i- p2 = 0,
parallèle à un hyperplan fixe. Quant à l'ordre de S', il dépendra, en général, des fonctions P, mais, dans tous les cas, une variété linéaire d'ordre r' — i parallèle à l'axe des X^' cou]5era S' en D points. Si donc D = o, la surface S' devra se réduire à un cylindre dont les génératrices sont parallèles à l'axe des X,-'.
La transformation précédente peut être modifiée. On conçoit, en effet, que, par une transformation homographique, on puisse ' faire en sorte que chaque point de S' soit déterminé par l'intersection d'une droite, passant par un point fixe O, avec une variété linéaire ou hyperplan I>r-\ passant par une variété linéaire fixe ^r'-2 dans l'espace 2^' et ne passant pas par le point O. Dans ces conditions, aux courbes (L) de S correspondent sur S' les sections
INTÉGRALES DOUBLES DE PREMIÈRE ESPÈCE. 2oS
faites par des hjperplans passant par un point fixe O, et aux courbes (P) les sections faites par des hyperplans passant parla variété linéaire Sr'2, et si D = o, la surface S' se réduit à un cône de sommet O.
On peut imaginer bien d'autres transformations analogues aux précédentes, qui s'indiqueront d'elles-mêmes d'après la nature du problème à traiter. C'est ainsi que, au lieu d'un faisceau auxiliaire (P), on pourra être conduit à prendre un système auxiliaire d'un ordre plus élevé ; nous en verrons, à la fin de cette Section, un exemple dans lequel on effectuera une transformation en prenant simplement un faisceau de courbes (L) et un réseau arbitraire. Le but principal qu'on se propose est de substituer aux courbes (L) des courbes planes.
13. Démontrons maintenant un théorème important relatif aux systèmes linéaires. Soit un système linéaire pour lequel la courbe variable d'intersection ne se compose pas des courbes d'un faisceau, c'est-à-dire pour lequel, comme nous l'avons vu, on a D > o. Nous allons établir que, dans cette hypothèse, la courbe variable d^ intersection est nécessairement irréductible.
Supposons que le théorème soit inexact, et faisons avec trois polynômes L la transformation générale indiquée au numéro précédent. On prendra
On aura alors, dans l'espace à trois dimensions, une surface S' dont toutes les sections planes parallèles à l'axe des Z seront formées de courbes réductibles, puisque ces sections correspondent à des courbes du système linéaire. INous avons donc à étudier une surface algébrique irréductible, telle cjue toutes ses sections planes, parallèles à une direction donnée, ou, ce qui revient au même, par une transformation homographique, telle que toutes ses sections planes correspondant à des plans passant par un certain point O sont des courbes réductibles.
Prenons le point O comme origine, et considérons une droite arbitraire passant par O, que nous prendrons un moment comme
axe des z. Si
désigne l'équation de la surface, la courbe plane définie par l'équation entre œ et s,
doit, par hypothèse, être réductible, quel que soit le paramètre X. Or, pour faire cette décomposition, il faudra résoudre une certaine équation d'un degré /?,
|JL« + A, [Ji«-i + . . . + A„ = o,
équation dont les coefficients A sont fonctions rationnelles de "k. A chacune des racines de cette équation correspondra une courbe composante, et les courbes composantes seront en nombre n pour \ arbitraire. Pour un nombre fini de valeurs de X, Téquation auxiliaire aura une racine double, et, par suite, on aura un nombre fini de plans passant par O-g, et tangents à la sur/ace le long d'une ligne. La droite O^ étant d'ailleurs une droite arbitraire passant par O, il y aura donc un système au moins simplement infini de plans touchant la surface S' suivant une ligne ; celte surface sera donc développable, et comme les plans tangents de ce système passent par un point fixe, ce sera un cône de sommet O. En revenant à la transformation initiale, on a un cylindre, et les courbes de S' correspondant au système linéaire sur S,
ai Lj -f- 7.2 L2 + «3 L3 = o,
sont les génératrices de ce cylindre : deux courbes du système n'ont pas alors de points variables de rencontré, ce qui est contre l'hypothèse que la courbe variable d'intersection ne se compose pas des courbes d'un faisceau. Le théorème est donc démontré.
14. Terminons ces considérations relatives aux systèmes linéaires tracés sur une surface, en démontrant un théorème relatif aux systèmes linéaires irréductibles, ou à chacune des courbes du faisceau dans le cas où D =: o. Nous allons montrer que cette courbe irréductible ne peut avoir, en dehors de certains points
INTÉGRALES DOUBLES DE PREMIÈRE ESPÈCE. 2o5
fixes {points bases du système)^ de points multiples qui n'appartiennent pas aux lignes multiples de la surface.
Supposons le contraire, et considérons un faisceau linéaire arbitraire de courbes du système (L). Par hypothèse, les courbes irréductibles de ce faisceau devraient posséder des points multiples variables décrivant une ligne C simple pour la surface S. Employons un mode de représentation analogue à celui employé au n'^ 12, mais dans laquelle, au lieu d'un faisceau auxiliaire, nous prendrons un réseau auxiliaire que nous pouvons supposer toujours tel que le svstème simplement infini de courbes de ce réseau passant par un point de la ligne G ne contienne pas, comme conséquence, d'autres points de cette courbe. A la surface S correspondra alors une surface S' : sur cette surface la courbe G aura pour image une courbe simple G'; aux courbes du faisceau (L) correspondront des courbes planes intersections de S^ avec des plans passant par une droite d, et, aux courbes du réseau correspondront des courbes planes intersections de S' avec des plans passant par un point. Par hypothèse, la surface S' serait telle que les sections planes passant par une droite auraient des points multiples variables en dehors des lignes multiples de la surface, sur une courbe simple G', ce qui est impossible.
En efï'et, un point arbitraire P de G', étant multiple pour une section plane déterminée sur S' par un plan passant par une droite d^ a comme plan tangent le plan Vd. Mais la tangente au point P à G', qui n'est pas située dans ce plan, coupe ce plan ; donc le point P est au moins un point double pour S', ce qui est contraire à l'hypothèse.
IV. — Du second genre {Curvengeschlecht) des surfaces algébriques, et du degré du système canonique.
15. INous avons vu comment la considération des intégrales doubles de première espèce conduisait au genre géométrique d'une surface [Flàchengeschlecht)^ introduit parGlebsch dans la théorie des surfaces algébriques. M. Noether (^) a appelé l'attention
(') Noether, Zur Théorie des eincleutigen Entspvechens algebvaischer Gebilde {Math. Annaten, t. VIII, p. 020).
sur un second nombre, jouissant du même caractère d'invariance, et qu'il a appelé le second genre de la surface ou Cur^^engeschlecht. C'est de ce nombre que nous allons maintenant nous occuper.
Considérons le système linéaire formé par les adjointes d'ordre m — 4 ; comme nous l'avons dit (page 1 89), on l'appelle le système canonique, et nous emploierons indifféremment cette expression pour désigner le système linéaire de surfaces ou celui des courbes correspondantes sur y*. Ce système linéaire de surfaces rencontre, en général, la surface /" suivant une courbe mobile irréductible /, les autres courbes de rencontre étant des lignes fixes parmi lesquelles se trouvent les courbes multiples de la surface. En nous plaçant dans ce cas général, nous pouvons alors parler du genre de celte ligne mobile irréductible, c'est le genre de cette courbe que M. Noether appelle le second genre ou Curvengeschlecht de la surface.
On voit bien aisément, par la considération des intégrales doubles de première espèce, ciue ce nombre est un invariant, c'est-à-dire est le même pour deux surfaces qui se correspondent par une transformation birationnelle, comme nous en avons considéré au n° 7. Reprenons les deux surfaces de ce numéro
se correspondant birationnellement, et désignons par
'(ai ^i-t- a2<72-i-. • .-+- ^Ps^rs) dx dy
ff
fz
l'intégrale double la plus générale de première espèce de la surface/, les a étant des constantes arbitraires et les cj les polynômes adjoints d'ordre m — 4- Si l'on fait la substitution
celte intégrale double doit se transformer en une intégrale double de première espèce relative à la surface F, et qui est, par suite,
(a, Q, + a2Q2 -4-. . .+ a,,,Q;,,) d\ dY
les Q étant des polynômes adjoints d'ordre M — 4 relatifs à la surface F que nous supposons de degré M. On aura donc une identité de la forme
= p(X, Y, Z)[a, Qi(X, Y, Z) +. . ,-^ap„Qp^{X, Y, Z)],
p étant une fonction rationnelle de X, Y, Z, ne dépendant que de la transformation, et nullement des paramètres a; son expression est évidemment
et dans le déterminant fonctionnel on doit considérer ^, R, et R2 comme fonctions de X et Y. De là résulte évidemment que la courbe mobile / d'intersection de la surface adjointe d'ordre m — 4
avec / a pour correspondante, par la transformation, la courbe mobile L d'intersection de la surface adjointe d'ordre M — 4
aiQi + a2Q2-}-...4-a/,^^Q^^,= o,
avec la surface F. Les deux courbes /et L se correspondent ainsi point par point et, par suite, elles ont même genre; le second genre est donc le même pour deux surfaces se correspondant point par point, comme nous l'avons énoncé plus haut. Nous désignerons le second genre (*) par/j^'^
16. Deux circonstances différentes peuvent se présenter relativement aux surfaces adjointes d'ordre m — 4- La surface adjointe générale de cet ordre peut ne passer par aucun point fixe ou aucune courbe fixe de la surface en dehors de certains points multiples ou des courbes multiples de la surface. C'est ce qui arrive, peut-on dire, le plus souvent; ainsi, pour la surface générale d'ordre /?z, les adjointes d'ordre m — 4 5 c[ui sont des surfaces
(') On ne confondra pas cet invariant /?^'^ et l'invariant /?^-^ qui va être introduit dans un moment avec les deux nombres p^ et /?2 antérieurement considérés et relatifs à la Géométrie de situation.
2o8 CHAPITRE VII.
quelconques de cet ordre, ne passent nécessairement par aucun point fixe de la surface. Mais une autre circonstance peut se rencontrer; il peut arriver que toutes les adjointes d'ordre m — 4 passent nécessairement par certains points simples de la surface ou par certaines courbes simples de la surface. 11 y a dans cette circonstance, comme nous aurons bientôt l'occasion de le voir, une source de complications assez sérieuses pour la généralité des énoncés de certains théorèmes.
Donnons un exemple de l'une et l'autre des circonstances indiquées. Une surface du cinquième ordre peut avoir deux points triples; la droite D qui les joint appartient alors nécessairement à la surface. Les adjointes sont ici des plans passant par les deux points triples ; elles passent par la droite D.
Considérons en second lieu, avec M. Enriques, une surface du cinquième ordre avec deux points doubles A et B qui soient des tacnodes; il est aisé de voir que cette circonstance est réalisable. La droite AB percera la surface en un autre point G; toutes les adjointes d'ordre un sont des plans passant par AB, elles passent donc par le point G, et nous avons ainsi un exemple d'une surlace d'ordre m pour laquelle toutes les adjointes d'ordre m — 4 passent par un même point simple de la surface.
17. On a supposé expressément, dans la définition de/>^", que la ligne mobile / d'intersection de la surface avec une adjointe d'ordre m — 4 était une courbe irréductible. Dans l'hypothèse contraire, la définition de /j>^" n'a aucun sens. D'après le théorème du n'' 13, si la courbe / n'est pas irréductible, elle se composera des courbes d'un faisceau, et le nombre de ces courbes sera au moins égal à ,
M. Noether a établi que ces courbes sont en général de genre un. Il en sera certainement ainsi quand on ne se trouvera pas dans les circonstances spéciales signalées au numéro précédent; il peuty avoir exception pour ces cas particuliers. Nous ne sommes pas en mesure de donner maintenant la démonstration de ce théorème; nous la renverrons au Ghapitre suivant comme application des diverses généralités que nous allons développer sur la théorie des courbes gauches.
Indiquons seulement un exemple particulier où la courbe l est réductible. Reprenons à cet effet les surfaces considérées au n« 9, en supposant que le genre p^ de la courbe
F(X', [jl')=o
soit égal à l'unité. La partie variable de l'intersection de la surface avec le système canonique sera alors donnée par l'équation
aiPi(X, jj.)-t-...-i-apPp(X, [Ji) = o, équation qui, avec
donnera ip — i systèmes de valeurs (X, ^), On aura donc, comme partie variable de l'intersection, un faisceau de
np — '2 courbes du genre un.
18. Nous donnerons encore la définition d'un autre nombre invariant introduit par M. INoether dans la théorie des surfaces algébriques, en même temps que/>^'\ Ce nouvel invariant est le degré du système canonique, en entendant par degré d'un système linéaire, comme dans la Section précédente, le nombre des points de rencontre mobiles de deux courbes /. Désignons ce degré par /?(2) j les courbes / jouissant de la propriété d'invariance, il en est évidemment de même de leurs points de rencontre mobiles. Nous avons donc bien un nombre invariant, c'est-à-dire un nombre qui reste le même pour deux surfaces se correspondant point par point. Il est d'ailleurs bien entendu que /j^^) ^'a, comme/>^^', de sens que si la ligne /, intersection mobile du système canonique avec la surface, est irréductible. Il faut aussi que pg soit supérieur à l'unité j pour p„ = 2, on aura /?^-' = o.
M. Noether a établi que l'on avait
de sorte que l'on n'a pas, en réalité, un nouvel invariant; cette conclusion suppose toutefois que l'on ne se trouve pas dans les cas spéciaux du n" 16 : on peut alors avoir simplement l'inégablé
Nous nous bornons ici à ces énoncés, qui seront justifiés dans le Chapitre suivant; mais, quitte à renvoyer à un Chapitre ultérieur la démonstration de quelques points particuliers, nous avons tenu à introduire ensemble dans ce Chapitre les trois nombres fondamentaux
particulièrement étudiés par M. Noether.
19. Terminons ce Chapitre par une remarque générale sur la transformation d'une surface/au moyen de ses surfaces adjointes d'ordre m — 4- Plaçons-nous dans le cas général où le système canonique est un système linéaire simple (au sens de la Section précédente), et soit
Prenons alors quatre polynômes adjoints quelconques d'ordre m — 4
que nous assujettirons seulement à passer par /?.- 4 points pris arbitrairement sur la surface.
Nous pouvons nous servir de ces polynômes pour faire, comme au n« 12, une transformation de la surface; on posera
Nous aurons ainsi une surface F qui correspondra point par point à la surface /; son degré sera égal au degré du système linéaire
(■I^) ai Qi + a,Q2 + aaQs + «vQ* = o,
c'est-à-dire à
On peut donc transformer birationnellement la surfaee f en une surface de degré M ; c'est là un ihéorème tout à fait analogue à la proposition de la théorie des courbes algébriques, d'après laquelle une courbe plane de genre;, peut (sauf le cas hypcrelliplique) être transformée en une courbe de degré /> + i.
Les sections planes de la surface F correspondent aux courbes du système linéaire (L); elles seront donc de genre p^^ K
Pour indiquer un exemple, considérons une surface du septième degré avec une conique triple G et un point triple isolé A. Les adjointes du troisième degré, que nous avons à considérer, se composent des surfaces du troisième degré ayant G pour conique double et passant par le point A. Ges surfaces se décomposent nécessairement et sont formées du plan de la conique et d'une quadrique passant par G et par A; on aura donc
On a ICI
comme on le voit, en considérant la conique intersection de deux quadriques passant par G. Elle a quatorze points de rencontre avec la surface; or, deux de ces points sont sur G, et chacun d'eux compte pour trois, un autre est en A et compte également pour trois; on aura donc seulement cinq points de rencontre mobiles. D'après ce qui a été dit ci-dessus, la surface considérée du septième ordre correspond point par point à une surface du cinquième ordre.
SUR LES COURBES GAUCHES ALGEBRIQUES ET LA FOR- MULE SUSCEPTIBLE DE DONNER LE GENRE D'UNE SUR- FACE.
I. — Quelques formules relatives aux courbes gauches algébriques; surfaces adjointes à une courbe gauche.
\. Avant d'étudier les surfaces passant par une courbe gauclie, nous avons besoin de rappeler quelques théorèmes et formides relatifs aux courbes gauches (*). Nous nous limiterons essentiellement aux parties qui nous seront utiles pour la théorie des surfaces algébriques.
Une courbe gauche algébrique G est dite d'ordre ou de degré m, si sa perspective prise d'un point arbitraire de l'espace sur un plan quelconque est nne courbe algébrique d'ordre /??. Si l'on suppose cette perspective faite parallèlement à l'axe des z. on aura évidemment pour tous les points de la courbe
/représentant une courbe plane irréductible d'ordre m, et o et ^ étant des polynômes en ^ et y de degrés respectjfs n el n — i, tels que la courbe cp = o passe par les points d'intersection de f= o et 6 ^ o. Telle est la représentation employée par Cayley pour une courbe gauche. Les deux équations précédentes ne sont pas vérifiées seulement par la courbe, mais par un certain nombre
(') On trouvera dans la Géométrie à trois dimensions, de Salmon, la bibliographie des travaux de Cayley et de Salmon sur les courbes gauches algébriques. Deux Mémoires considérables sur ce sujet ont été publiés en 1882; ce sont les travaux d'Halphen (Journal de l'École Polytechnique, 1882) et de Noether {Mémoires de l'Académie de Berlin, 1882).
SUR LES COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES. 2l3
de droites parallèles à O^, qui correspondent aux solutions communes aux trois équations /*= o, cp r= o, -^ = o.
Le fait que toute courbe gauche devient ainsi, par l'adjonction de lignes droites, l'intersection complète de deux surfaces, rend évidente cette propriété, souvent admise sans démonstration, qu'une courbe gauche de degré ni rencontre en 7n]x points une surface d'ordre [Jl.
Au lieu de la représentation de Cajley on peut se servir d'une représentation paramétrique. Il est possible de faire correspondre uniformément les points d'une courbe gauche à ceux d'une courbe plane
On aura alors pour un point arbitraire {x^y, z) de la courbe gauche
les R étant rationnelles en (^, 't\). On peut supposer, en effectuant une transformation homographique arbitraire, que les trois fonctions rationnelles R ont les mêmes pôles sur la surface de Riemann définie par l'équation cp = o et que ces pôles sont simples. Si [x est leur nombre, le degré de la courbe gauche sera égal à |j., comme on le voit de suite en cherchant l'intersection de la courbe avec un plan quelconque.
Ces généralités indiquées, nous allons considérer une courbe gauche G d'ordre m, n'ayant d'autres singularités qu'un certain nombre t de points triples à tangentes distinctes. Deux nombres jouent un rôle important dans l'étude des courbes gauches. Le premier est le nombre h des sécantes doubles de la courbe passant par un point arbitraire A de l'espace; dans ce nombre h ne figurent pas les droites passant par A et les points triples de la courbe; on appelle h le nombre des points doubles apparents de la courbe. Le second est le rang r de la courbe, c'est-à-dire le degré de la développable formée par les tangentes à la courbe gauche. Il est facile d'avoir l'expression de r à l'aide de m, h et /. Considérons, en effet, le cône ajant pour sommet A et pour directrice la courbe; la classe de ce cône sera égale à /*, car, par une
2i4 CHAPITRE VI ir.
droite arbitraire D passant par A, on peut mener autant de plans tangents à ce cône qu'il y a de tangentes à la courbe rencontrant D ; on a donc, d'après la formule de Plûcker relative à la classe,
puisqu'une section plane du cône est une courbe de degré m avec h points doubles et t points triples.
2. Considérons, en particulier, le cas où G est l'intersection complète de deux surfaces
de degrés a et v. Nous nous plaçons d'ailleurs dans le cas le plus général correspondant aux hypothèses faites sur la nature de la courbe. Par suite, si G avait un point triple, les deux surfaces auraient chacune un point conique ordinaire en ce pomt, et d y aurait pour l'intersection de / et cp quatre branches de courbes passant par ce point; la courbe G ne serait pas alors l'intersection complète. Nous devons donc, dans cette hypothèse, considérer une courbe sans points triples. Pour calculer r et h, on peut procéder de diverses manières; commençons par le calcul de r. Soient
Xcp;^-f-Ycp;.+ Zcp;,-+-cpi = o
les équations d'une tangente à la courbe G intersection de /et cp. Nous avons à chercher le nombre de ces tangente? rencontrant une droite arbitraire
On aura l'équation
AX + BY -4-GZ +
cette équation est de degré [j. + v — 2, et par suite r = [j(.v([J!. + V — 1), La formule, donnée plus haut pour r (en y faisant ^ = o),
r = m{m — i) — 2 h ( /n = [xv),
donne alors
^^ [xv([^ — i)(v — 0 '1
Il ne sera pas inutile de vérifier ce nombre par un calcul direct. Cherchons l'équation du cône ayant pour sommet un point {œ',y, z') de la courbe et ayant celle-ci pour directrice; soit x, y^ z un point quelconque de ce cône. La droite passant par les deux points (^,JK, z^ t) et {x' ^ y\ z' ^ t'), a pour coordonnées d'un quelconque de ses points
x'-^-Xx^ y-+-'^y, z'-hl-Zj t'-hlt.
On devra donc avoir pour une valeur de 1
f(x' -+-lx, jk'h- ly, z'-h Xz, t'-h 11)= o, o{x'-h Ix, y'-h ly, z'-hlz, t'-hlt)= o,
ce qui peut s'écrire
dx' / i . '^A ^^
En éliminant 1 entre ces équations, on a une équation qui, on le vérifie aisément, est de degré
en {x\y, z). Donc, pour (^, y, z) donné arbitrairement dans
l'espace, on aura
[av([x — i)(v — I)
valeurs de (^',y, z') correspondant à des points de G (qui est de degré ji-v), telles que la droite joignant (^,JK, z) et {x'^y', z')
2l6 CHAPITRE VIII.
rencontre la courbe en un second point. Par suite
UvCtJL — I)(V — l) h= -^ ,
comme nous l'avions trouvé plus haut.
3. Supposons maintenant que la courbe G de degré m soit seulement l'intersection partielle de deux surfaces de degrés ji. et v; désignons par C la courbe complémentaire d'intersection dont m! désignera le degré : on a
m 4- m'= [jLv.
Si la courbe G a un point triple, la courbe G' passera par ce point triple, qui sera pour elle un point simple dans les circonstances générales oii nous nous plaçons. Revenons à la surface (i) considérée au numéro précédent. Les
m(iJL H- V — 2)
points de rencontre de cette surface avec la courbe G se composent des points de rencontre de r tangentes de la courbe avec la droite arbitraire; mais, de plus, la surface (i) passe par les points de rencontre de G et de G', puisqu'en ces points les deux surfaces/" et cp sont tangentes et que, par suite, les dérivées premières de/ et 0 sont proportionnelles. Soit 0 le nombre des points de rencontre de G et de G' en dehors des points triples de G; d'autre part, la surface (i) passe par les ^points triples de G et aces points pour points doubles. On a donc
m ( [JL -t- V — -2 ) = r -t- 0 + G ^ formule qui va nous être utile dans un moment.
4. Nous pouvons maintenant définir les surfaces adjointes à une courbe gauche. Soit toujours la courbe gauche G, et considérons comme ci-dessus deux surfaces / et cp de degrés respectivement égaux à [ji et V passant par cette courbe gauche. Ges surfaces auront en commun une seconde courbe G'. Envisageons une surface S arbitraire de degré
passant par G' et ayant comme points doubles les t points triples de G. Gherchons quel va être le nombre des points de rencontre de la surface S avec G, en dehors des t points triples et des B autres points communs à G et à G'. Ge nombre sera égal à
m(ij. 4- V — 4)— 0 — 6^,
OU, d'après la formule du numéro précédent, à
m([jL-t-v — 4) — m([JL + v — 2)+/-, c'est-à-dire
r — im.
Or, le rang de G est donné (n° 1) par
r =■ m {m — i ) — ih — 6 ^.
On aura donc pour le nombre cherché
m {m — 3)— ih — (jt = (m — i)(fn — 2 ) — 2 A — Gt — o.,
nombre qui est égal à
en désignant par p le genre de la courbe gauche de G, c'est-à-dire le genre de sa perspective sur un plan arbitraire et d'un point de vue arbitraire. La surface S considérée rencontre donc la courbe G en ip — 2 points en dehors des points communs à G et à G'.
On donne aux surfaces S le nom de surfaces adjointes à la courbe gauche G; il y a, comme on voit, un très grand degré d'arbitraire dans leur définition, puisqu'on peut prendre arbitrairement les surfaces / et cp passant par G. Ges surfaces adjointes rappellent les courbes adjointes d'ordre m — 3 dans la théorie des courbes algébriques par cette propriété remarquable d'avoir, en dehors de certains points assignables a priori, un nombre '2p — 2 de points de rencontre avec la courbe, en désignant par/> le genre de la courbe ( ' ).
(') La notion de surface adjointe à une courbe gauche est due à M. Noether {Math, Annalen, t. VIII, p. 5io). M. Noether ne démontre pas seulement qu'une surface arbitraire S passant par G' rencontre G en ip — 2 points; il établit de plus que ce groupe de 2jo — 2 points sur la courbe G dépend de /> — i arbitraires. Nous n'aurons pas besoin, dans la suite, de ce dernier point, dont la démonstration est assez délicate.
21(5 CHAPITKE VIII.
Comme exemple, prenons le cas général où G serait l'inlersection complète de deux surfaces /et cp d'ordre |jl et v; une surface arbitraire d'ordre a-j-v — 4 est alors une surface adjointe de G. On a bien
ip — 1 — \vt ( a -h V — 4 ),
p étant le genre de la courbe G. On peut le vérifier, si l'on veut, avec les formules du n° 2, puisque
5. On peut présenter d'une manière plus large la définition des surfaces adjointes à une courbe gauclie en se plaçant dans le cas plus général oii les deux surfaces /et cp auraient la courbe G', ou, d'une manière plus générale, les courbes G', si la courbe désignée par G' se décompose, comme courbes multiples d'un degré quelconque de multiplicité. On doit supposer que la surface d'ordre a + V — 4? passant par les courbes G', se comporte d'une manière convenable aux points de rencontre a des courbes G' avec G. On évitera toute difficulté en considérant la surface S
déjà envisagée au n° 2. Gette surface S est de degré [i. + v — 2, et elle se comporte d'une certaine manière aux points a, chacun de ces points comptant pour un nombre déterminé d'unités dans l'évaluation du nombre des points de rencontre de S avec G. Or, supposons maintenant que l'on considère une surface S, d'ordre {jL + v — 4, passant par les points a, et se comportant, relativement à son intersection avec G en ces points a, comme la surface S. Une telle surface S aura, en dehors des a, un certain nombre de points de rencontre qu'il est facile d'évaluer. En effet, le nombre des points de rencontre de S avec G est, en dehors des points a, égal à /' ; par suite, en désignant par a la part des points a dans l'évaluation du nombre des points de rencontre de G avec
S, on a
Pour la surface S, le nombre des points de rencontre en dehors
des a sera
m([jn- V — 4)— «,
d'après l'hypothèse faite sur la manière dont S se comporte aux points a. On aura donc, pour le nombre cherché,
r — im,
c'est-à-dire ip — 2. Nous retombons donc sur le même résultat que plus haut, en envisageant les surfaces adjointes à la courbe gauche sous un point de vue plus général.
II. — Sur une relation entre les invariants />^^^ et jo^2) d'une surface algébrique.
6. Nous ferons de suite une application de la notion des surfaces adjointes à une courbe gauche, en démontrant un résultat relatif aux invariants />^^^ ei p^-^ définis au Chapitre précédent. Nous considérons l'adjointe générale Q d'ordre m — 4 d'une surface/ de degré m, et nous nous plaçons dans le cas où la partie variable / de l'intersection de Q avec /est irréductible.
Supposons d'abord, comme il arrivera en général, que l'adjointe générale Q n'ait aucune partie fixe commune avec /en dehors des lignes multiples et des points multiples isolés de la surface. Si donc nous nous bornons au cas des singularités que nous appelons ordinaires, nous supposerons que la seule ligne commune à /et à toutes les surfaces du système canonique est la ligne double de la surface. Envisageons une ligne déterminée, d'ailleurs quelconque, /o, intersection partielle de / avec une certaine adjointe Qo- Les surfaces adjointes à la courbe Iq sont d'ordre
Les points triples de la courbe double, si elle en a, ne présenteront aucune particularité, car la ligne Iq ne passe pas en général par ces points. Les points a de rencontre de Iq avec la courbe double devront compter pour deux dans l'évaluation du nombre des points de rencontre de Iq avec ses surfaces adjointes; on vérifie en effet facilement que la surface (S) du n° 5 est tangente en
un point a à la nappe de la surface passant par ce point qui contient la ligne Iq. Ceci posé, parmi les surfaces adjointes à /q se trouvent les surfaces
(2) SA,aQ/Qa = o
(les A étant des constantes), Q/ et Q^ étant deux polynômes adjoints du système canonique. En particulier, la surface décomposable
peut jouer le rôle d'une surface adjointe à la ligne Iq. Le nombre des points de rencontre de cette surface avec Iq^ en dehors de la courbe double, et, par conséquent, le nombre des points de rencontre variables avec les A de la surface (2) sera
puisqu'il j a/?^-^ points pour chacune des surfaces Q, et Q/^. Mais
nous savons, d'autre part, d'après le numéro précédent, que ce
nombre est égal à
ip^^^ — 2.
On a, par suite, la relation importante (')
Nous avons supposé, dans ce qui précède, que toutes les adjointes Q ne passent pas par un même point simple ou n'ont pas en commun une même ligne simple À de la surface. Prenons d'abord le premier de ces cas particuliers. Les points simples isolés communs à toutes les surfaces Q figureront parmi les
points de rencontre de Iq avec une surface adjointe à cette courbe ; ils ne seront pas compris, au contraire, parmi les
points de rencontre (variables avec les A) de la surface (2) avec Iq.
(') Cette relation est due à M. Noether {Math. Annalen,t. VIII, p. 52i); les cas d'exception qui vont être signalés ont été indiqués par MM. Castelnuovo et Enriques {Math. Annalen, t. XLVIII, p. 281).
On aura donc et, par suite,
S'il y avait une ligne simple \ qui rencontrât /« en dehors de la ligne multiple, un point de rencontre ^ ne compterait pas parmi les 2»^'^ — 2 points variables de rencontre de Iq avec une de ses adjointes, et il compterait seulement pour un dans le nombre total des points de rencontre de /« avec cette dernière surface. Pour la surface (2), le point p compte pour deux dans le nombre total des points de rencontre de cette surface avec /«• Par conséquent, les ip^-^ points de rencontre variables de (2) avec Iq sont en nombre inférieur à 2/>(^^— 2, et Von retombe encore sur V iné- (^ alité
qui remplace V égalité de Noether dans le cas particulier indiqué.
Un exemple de cette dernière circonstance nous sera fourni par la surface déjà considérée du cinquième degré possédant deux tacnodes (Ghap. VH, n^ 16). On a pour cette surface
puisque les adjointes d'ordre m — 4 s^ont ici des plans pivotant autour de la droite joignant les tacnodes, et que ces sections sont alors des courbes du cinquième degré ayant deux points doubles aux points où la courbe a un contact avec elle-même (points équivalents à deux points doubles ordinaires). On a, d'autre part, évidemment
et, par suite, on a l'inégalité ci-dessus et non l'égalité. Nous sommes dans le cas où il existe un point simple commun à toutes les adjointes Q; c'est le point où la droite joignant les tacnodes rencontre la surface.
Dans l'exemple donné {lac. cit.) d'une surface du cinquième degré avec deux points triples, on a
et l'égalité est vérifiée; il y a bien ici une ligne 1 (la droite joignant les deux points triples), mais la ligne / ne rencontre pas ). en dehors des points multiples.
Reprenons pareillement l'exemple également considéré antérieurement, d'une surface du septième ordre avec une conique triple et un point triple isolé. On avait alors
Il y a ici une droite simple par laquelle passent toutes les adjointes d'ordre trois, mais il est visible que les lignes / ne rencontrent pas cette droite : on aura donc
et, par suite,
7. Nous avons, dans le numéro précédent, considéré le cas où la courbe variable d'intersection / de la surface / avec le système canonique est irréductible. Voyons ce que l'on pourrait dire dans le cas où la ligne / serait décomposable. D'après un théorème général du Chapitre précédent (n« 13), nous savons que la ligne / se composera des courbes d'un faisceau, et ces courbes seront en nombre au moins égal à
On peut établir que, si nous ne sommes pas dans le cas exceptionnel visé plus haut où toutes les surfaces du système canonique passent par certains éléments simples de /, toiftes ces courbes sont de genre un. Prenons une de ces courbes, soit G; on peut encore considérer comme surfaces adjointes à la courbe G la surface
mais cette surface n'a aucun point commun avec G puisque par un point simple de la surface ne passe qu'une courbe du faisceau. Le nombre 2/?(') — 2 se réduit donc à zéro, et l'on a
Quant au nombre des courbes G, il est au moins égal à /?.- i ; il peut lui être supérieur, comme le montre l'exemple du n'^ 17 du Ghapitre précédent.
La conclusion yo^*^ = i peut être inexacte, si l'on se trouve dans le cas exceptionnel. L'exemple, déjà plusieurs fois considéré d'une surface du cinquième degré avec deux tacnodes, suffit à le montrer. Nous avions alors Pg=^ 2 et, par suite, un faisceau linéaire; nous avons vu que l'on avait /?^'^= 2.
Il a été implicitement supposé, dans tout ce qui précède, que Pg était supérieur à un. Quand /?o^= i, on aura une seule adjointe
La courbe d'intersection l de Qi avec la surface, en dehors de la ligne double, étant supposée irréductible, il arrive, dans bien des cas, que cette courbe est unicursale. Mais l'exemple suivant, indiqué par M. (]astelnuovo, montre que cette conclusion n'est pas nécessaire.
Considérons, en effet, une surface du cinquième ordre passant par une section conique, et ayant trois tacnodes A, B, C situés sur cette courbe. Cette surface n'a qu'une seule surface adjointe d'ordre m — 4i à savoir le plan ABC, puisque l'ordre des surfaces adjointes est ici égal à 5 — 4 = i ? et qu'elles doivent passer par les trois points A, B, C. L'intersection du plan ABC avec la surface se compose de la section conique et d'une cubique passant par le point A, B, C, considérés comme simples, et cette dernière courbe, ayant un genre plus grand que zéro, n'est pas unicursale.
III. — Sur le nombre des conditions exprimant qu'une surface passe par une courbe gauche.
8. La recherche du nombre des conditions exprimant qu'une surface algébrique de degré donné passe par une courbe gauche donnée présente d'assez grandes difficultés. Commençons par démontrer un théorème qui fera connaître une limite supérieure pour ce nombre de conditions.
Beprenons, à cet effet, la représentation paramétrique indiquée au n° 1 . Nous aurons, pour la courbe gauche,
cp(^, 7j) = o, (d'un degré X et d'un genre /?), les R étant des fonctions rationnelles de (ç, '/",) ayant d pôles
simples communs sur la surface de Riemann cp ; la courbe gauche sera de genre p et de degré d.
Soit un polynôme arbitraire F(^, r, z) de degré m en ^, jr, -; substituons dans F à ^, y, z les valeurs précédentes. L'expression
devient alors une fonction rationnelle de (?, '^i) avec <i pôles d'ordre m, ce qui équivaut à md pôles simples. Or le nombre des arbitraires figurant dans une fonction rationnelle ayant md pôles donnés est, d'après le théorème de Riemann-Roch,
md — p H- a H- I,
0- désignant le nombre des adjointes d'ordre À — 3 passant par les m<i pôles. Par suite, si
nul > '2/? — 2,
a- sera nécessairement nul, et le nombre des arbitraires sera
// = jnd — p -T- 1.
L'expression F pourra alors se mettre sous la forme
ai Ji+ a2J2 -^- • • -+- 2C/iJ/i,
les J étant des fonctions rationnelles déterminées de (?, yi), les a dépendant des coefficients du polynôme F : si l'on veut que la surface
passe par la courbe gauche, il faudra que
ai = o, «2 = 0? • • •> '^/t = *'•
On aura donc un nombre de conditions égal à A, ou à wn nombre inoindre, s'il se trouvait que ces équations ne soient pas distinctes. Nous arrivons ainsi à la conclusion suivante :
Le nombre des conditions N„,, exprimant qu'une surface de
degré m passe par une courbe gauche de degré d et de genre
p, est au plus égal à
md — p -\- \,
en supposant que Von ait
mdy- ip — 2.
9. Le théorème précédent ne donne qu'une limite supérieure. Dans des cas très étendus, cette limite supérieure représente le nombre véritable. Bornons-nous, pour le moment, au cas où la courbe gauche n'a aucun point multiple; on peut alors affirmer
que
N,n= md — p H-i,
si, la courbe gauche étant donnée, le nombre m est pris suffisamment grand.
La démonstration de ce théorème est assez délicate. Nous allons d'abord examiner le cas particulier où la courbe serait l'intersection complète de deux surfaces
y étant de degré [a et cp de degré v. Deux circonstances sont à examiner suivant que m est inférieur ou supérieur à [jl --}- v ; soit
d'abord
m = [Jl -t- V — 0.
D'après un théorème dont nous avons déjà plusieurs fois fait usage, toute surface passant par l'intersection de / et cp a son équation de la forme
?//-(- pcp =o,
u étant de degré v — B, et p de degré jjl — 8. Le nombre des arbitraires figurant dans l'équation de la surface est donc au plus
égal à
^^ (l^ — o-Hi)(;x — o-H-2)([^ — 0 + 3)
Par suite le nombre N/^^ des conditions exprimant qu'une surface de degré m passe par la courbe est au moins égal à
([JL + V — 0 +l)([J. + V — 0 + 2)(;JL + V — 0 + 3)
et, en réduisant cette expression, on trouve
I ^ . ,^ (5 — 1)(5-2)($-3 -f^v(ja + v-20 + 4)+ ^ g ■ •
P. ET S. l5
226 CHAPITRE VIIF.
Or il est facile d'évaluer le genre p de la courbe, puisque (n^ 2) le nombre des points doubles apparents est égal à
i;av(|^ — 1)(V — l).
D'autre pari, comme on a r/— av, l'expression précédente devient
et nous trouvons ainsi
Supposons maintenant que m soit supérieur à p^ -H v, soit m = \x + V -h 0.
Les surfaces, passant par la courbe, sont toujours de la forme
llf -\- V^ =z o.
Il étant de degré v + o, et v de degré |ji 4- o. Mais on peut remplacer u par u + wp, et v par v — to/*, le poljnome (o étant de degré o; le nombre des arbitraires figurant dans l'équation de la surface est alors au plus
et la différence
cV\ ([^ + V-i-0 -^ l)('[a + VH-0 -f-2)([-t-h V + C + 3) ,
représente le minimum du nombre N/„ cberché des conditions, pour qu'une surface de degré m passe par la courbe; cette expression se réduit ici à
nul — p H- I, et l'on aura par suite
l\ous concluons de l^ analyse précédente que l'inégalité {2) a
lieu pour les surfaces de degré supérieur à
Mais, d'autre part, nous savons, d'après le numéro précédent, que l'on a
(3) ^,^<md~p-\-\, dans le cas où
(4) md^ ip — 1.
Or, en posant in r= jj. |- v + 8 , l'inégalité précédente donne
f^v( ^ | V + S) >( ^V — l) (|JtV - 2 ) — [JIV( [JL — I) (v — I) — 2,
qui se réduit à
Par conséquent, la condition (4 ) sera vérifiée pour les surfaces de degré supérieur à |j.-f-v 4^ et nous pouvons déduire des inégalités (2 ) et (3)
N;„ = md —p -h\, dans le cas où
Le théorème énoncé est donc démontré pour le cas particulier considéré, et nous avons une limite du nombre îh.
10. Examinons maintenant le cas où la courbe C n'est pas l'intersection complète de deux surfaces, et supposons qu'on puisse faire passer, parla courbe C, deux surfaces de degré |ji et v, l'mtersection de ces surfaces se complétant par une courbe irréductible G' sans point singulier, dont nous désignerons le degré par d'. Envisageons une surface arbitraire S, passant par G, et de degré m supérieur à |j. + v— 4. Une telle surface coupe G^ en dehors des Q points communs à G et à G', en un nombre de points égal à
comme il résulte de suite des considérations présentées au n" 5. Les surfaces 2 déterminent donc sur G' un groupe linéaire de points dont le nombre est égal à l'expression précédente, et ce
groupe de points dépend, d'après un corollaire du théorème de Riemann-Roch (<), au plus de
û?' [ m — ( ,u + V — 4 )] 4- yo' — 2
constantes arbitraires. Le nombre des conditions pour qu'une surface S, passant par G, passe aussi par G' sera donc au plus égal à
car, si l'on fait passer la surface 2 par des points arbitraires de G' en nombre égal à ce dernier nombre, la surface devra contenir G' •puisque le groupe des points de rencontre dépend d'une arbitraire de moins.
Geciposé, le nombre des conditions pour qu'une surface 2, de degré m, passe par G est
( • ) Le corollaire du théorème de Riemann-Roch dont nous nous servons ici est Je suivant. Soit considéré sur une courbe C un groupe linéaire de points variables en nombre (J- ( [J- > 2/? — 2 ); l'ordre de ce groupe, c'est-à-dire le nombre des points qui peuvent être pris arbitrairement dans un groupe, est au plus égal à [x — /?. On peut d'ailleurs démontrer directement ce résultat en le rattachant au théorème d'Abcl. Supposons, en effet, que l'ordre du groupe soit supérieur à [X— /?, par exemple soit égal à [x— jt? + i; prenons sur la courbe/? points arbitraires A,, A2, ..., Ap. Par ces points on peut faire passer au moins une courbe du système linéaire, puisque
cette courbe rencontrera C en un certain nombre de points B (en dehors des points bases du système linéaire) égal à [x— 7?, et comme
on pourra, par les points B, faire passer une courbe du système Ifnéaire dépendant d'au moins un paramètre. Appliquons alors aux p points de rencontre variables de cette courbe avec la courbe G le théorème d'Abel ; nous aurons, en appelant ces points (^,,^1)» •••> i^y^Xp),
Q.i^i, ri)dx,-h...-h Q. (^,„ y^, ) da:^, = 0 (/ = i , 2, ...,/? ),
les Q étant les adjointes relatives aux intégrales de première espèce. Mais des égalités précédentes on conclut que le déterminant
est nul, ce qui est absurde puisqu'une position particulière des 7? points coïncide avec les A pris arbitrairement au début.
d'autre part, le nombre des conditions pour qu'une surface de degré m, passant déjà par G, passe par C est, comme nous venons de le voir,
d'[m — (|a -f- V — 4)] +/)'— I — £■', (s'^o). On suppose d'ailleurs que l'on a les deux inégalités md ^ ip — 2, />? > [JL -h V — 4.
Le nombre des conditions pour qu'une surface de degré m passe par G et G' est donc représenté par l'expression
( 5 ) md — jj -\- 1 -^ d' [m — ( [J^ + v — 4 )] ^- />' — i — s — s'.
Mais nous savons (n" 9) que le nombre des conditions pour qu'une surface de degré m passe par l'intersection de deux surfaces de degrés respectifs ^ et v a pour minimum l'expression E du numéro précédent : ce nombre est, par suite, égal à
Nous devons donc égaler (5) et (6), ce qui donne, en se rappelant que d -\- d' =^ [j.v.
Or il est facile d'avoir la valeur du premier membre; si /-' et h désignent le rang de la courbe G' et le nombre de ses points doubles apparents, comme r et h désignent les mêmes nombres pour la courbe G, on a
r=:d{d—[) - ih, r'^d'(d'—i) — -ih\ ou
7^ = i{d — i)-^'ip, r'= 2{d'—\)-\-ip';
Mais des égalités obtenues au n^ 3,
<f ( [JL -h V — 2 ) — /' -h 0 , d'{\L-T-V — 2 ) = /-' -^ 6 ,
on déduit
r — 7^' =^ ( <i — t/' )( |jn- V — 2 ) ;
23o CHAPITRE VIII.
donc
et le premier membre de l'équation (7) se réduit à
c'est-à-dire à zéro. On a, par suite, d'où nous concluons enfin
£ = Ô = Tj = o,
puisque ces trois quantités sont positives. Le nombre des conditions pour q II une surface S de degré m passe par la courbe considérée C est donc représenté exactement par
md — /? -i- I .
On suppose, bien entendu, remplies les conditions du commencement de ce numéro, c'est-à-dire que G est une partie de l'intersection de deux surfaces de degré \k et v, celle intersection se complétant par une courbe irréductible G', et de plus m satisfait aux deux inégalités
ind > ip — 2, ni^ \j. -\-v — 4-
Nous voyons donc que, pour m suffisamment f^rand^ on a exactement le nombre cherché de conditions (').
11. Nous allons indiquer une autre méthode pour établir le théorème précédent-, elle donnera, dans bien des cas, une limite de m supérieure à celle que nous venons de trouver, mais elle a l'avantage d'être plus rapide. Nous l'empruntons à un Mémoire de M. Gastelnuovo (-).
(') M. Noether énonce et démontre rapidement le résultat précédent à la p. 4^ de son Mémoire cité plus haut sur les courbes gauches ^Mémoires de l'Académie de Berlin, 1882); quelques points de la démonstration nous ayant paru avoir besoin de développements, nous avons suivi une tout autre voie.
(2) G. Gastelnuovo, Sui multipli di una série lineare di gruppi di piinti appartenente ad una curva algebricha {Rendiconti del circolo niatheniatico di Palermo, 1893).
Prenons un point de vue arbitraire et projetons la courbe gauche C sur un plan quelconque ; la perspective sera une courbe T ayant h points doubles correspondant aux couples de points {a^^a^)^ {b^^ b^)^ . . . , de la courbe G. Considérons les adjointes d'ordre k à r, c'est-à-dire les courbes d'ordre k passant par les h points doubles {k^d — 2); ces adjointes rencontrent, en dehors des points doubles, la courbe F en
kd — ih
points variables, et l'on sait que Vordre de ce groupe de points
kd — ih — /? ,
est égal à
c'est-à-dire que, parmi les kd — ih points, on peut en prendre arbitrairement kd — ih — />, les/? autres étant déterminés par ceux-ci. On a alors un ensemble correspondant de cônes d'ordre /c ajant pour sommet le centre de projection, et pour directrices les adjointes d'ordre k à F.
Considérons, d'autre part, l'intersection de la courbe avec une surface quelconque d'ordre k{k^d — 2) passant par les 2 A points («,,«2)5 {p\i^'i)i •••• Nous aurons kd — ih points en dehors des points fixes.
Cet ensemble de points dépend d'au moins
kd — ih — p
arbitraires, puisque les cônes considérés ci-dessus font partie des surfaces qui nous occupent ; d'autre part, le nombre des arbitraires, dans l'ensemble de points, ne peut pas dépendre de plus de kd — 2 A — p arbitraires, d'après la remarque dont nous avons déjà fait usage au n° 10 {yoir\-à. note).
Ainsi donc le groupe de points variables, détachés sur la courbe C par toutes les surfaces passant par les points (a,, «o), (6,, èo), . . ., dépend exactement de kd — ih — p arbitraires, c'està-dire que kd — 2 A — p de ces points peuvent être pris arbitrairement, la position des autres en résultant.
Nous allons déduire de là le nombre de constantes arbitraires dont dépend réellement le groupe de points détaché sur la courbe C par l'ensemble des surfaces d'ordre k. Montrons que ce
nombre est égal à kd — p. Il suffît, pour cela, de montrer que le nombre des conditions pour qu'une surface passe par (a,, a^)^ (6,, 62), . . . est précisément égal à 2^ et ne lui est pas inférieur ; nous n'aurons donc qu'à ajouter ih au nombre des conditions déjà trouvé kd — ih — p et nous trouverons ainsi kd — p. Il en résultera que le groupe des points de rencontre de G avec une surface d'ordre A' dépend d'au moins A<3? — p arbitraires, et, comme il ne peut lui être supérieur, la proposition sera établie. Or, il est aisé de voir que les iJi points
sont bien indépendants les uns des autres au point de vue du nombre des conditions imposées à une surface d'ordre k passant par ces points ; en effet, dans le cas contraire, une surface d'ordre k passant par 2/1 — i de ces points passerait nécessairement par le dernier. Mais cela n'est pas possible, car on peut avoir, par exemple, une surface d'ordre k passant par «21 ^n ^2> • • • et ne passant pas par a,: Pour le montrer, prenons un cône avant pour sommet le point projetant considéré plus haut, et pour directrice une adjointe d'ordre k — i (qui est au moins égal à d — 3). Ce cône peut passer par />, , ^2, ••• et ne pas passer par a^-, car ou sait, d'après la théorie des courbes planes^ qu'une courbe d'ordre supérieur ou égal k d — 3 peut passer par certains points doubles de la courbe sans passer par les autres. A la surface conique précédente adjoignons un plan quelconque passant par ao, on aura une surface cherchée passant par tous les points (a, b^ • • • ), sauf par le point a,.
En résumé, nous pouvons affirmer que le groupe des points de renconli^e de la courbe G avec une surface d^ ordre k dépend exactement de kd — p arbitraires. Ges raisonnements
supposent
Il résulte du théorème précédent qu'une surface d'ordre /i,
assujettie à passer par
kd— p -k-v
points choisis arbitrairement sur G, contient nécessairement la courbe. Ainsi se trouve établi le théorème que nous avions en
vue : le nombre des conditions exprimant qiûune surface d^ ordre k[k^d — 2) passe par la courbe G est égal à
kd — /» -t- I.
