I. — Cas des courbes

1. Soient deux courbes 0 = 0, ^ = 0, occupant une position arbitraire par rapport aux axes de coordonnées, et /(x,y) un polynôme. On se propose de rechercher, d'après la façon dont se comporte la fonction /(x, y) dans le voisinage de tout point {a^ b) commun aux deux courbes o et 6, s'il est possible de mettre /"sous la forme

A et B étant deux polynômes.

(1) Ce Uiéorème a été donné pour la première fois par M. Nœther dans le t. VI des Math. Annalen. Depuis, l'illustre géomètre y est revenu à diverses reprises {Math. Annalen, t. XXX, XXXIV et LX). La même proposition a fait aussi l'objet des très intéressantes recherches de M. Voss {Math. Annalen, t. XXVII), de M. Stickelbergcr {Id., t. XXX), de M. Bertini {Id., t. XXXIV)' et de Halphen {Bulletin de la Société Math, de France, t. V).

Nous allons chercher d'abord une condition, nécessaire et suffisante, pour que /soit de la forme (i), et où ne figurera pas le comportement (') de/ dans le voisinage des points de rencontre (a, b).