Soit <l>{x) le résultant de cp et de <L

(2) *(a7)=Xcp-r-[xJ;,

et supposons que ^{x) contienne {x—-a)k la puissance k. D'autre part, divisons >/ par ^, et soit n le degré de t];; on aura

où X est un polynôme en x eiy, de degré n — i en j au plus.

Si / est susceptible de se mettre sous la forme (i), on conclut immédiatement des relations (2) et (3) Tidentité

Le premier membre est au plus du degré n — 1 en 7, le second membre est au moins du degré n. Les points d'intersection de la courbe X = o avec la droite x -- a = o se trouvent aux points d'intersection de ^l (Bà — A u — v) = o avec la droite {x — a) = o, et comme ^ ne contient pas {x — a) en facteur, le nombre de ces points est au moins égal à n. On en conclut que X, de degré /i — lauplusen j, est divisible par ^ —« : donc aussiBA — Aa — v.

Efi'ectuant la division, et continuant le même raisonnement de proche en proche, on arrive à la conclusion que X est divisible par {x — a)K Donc finalement X est divisible par ^.

3. Réciproquement si X est divisible par $, on pourra mettre/ sous la forme (1). En effet, soit X^..?^, on aura identiquement

X/=PXcp-+-t];(v-T-Pi^);

donc A divise le produit ^ (v -i- P ^). Or, en vertu de la relation (2), A et ^ ne peuvent avoir en commun que des polynômes en ^ seul, ce qui est impossible puisque 6 n'admet pas de diviseur ne renfer-

(•) Nous demandons la permission d'introduire ce mot un peu vieilli, pour ne pas répéter toujours « la manière dont se comporte la fonction ».

THEOREME DE NOETHER. 3

mant que œ. Par suite, v + Pp. est divisible par A, el, en efïectuant la division, on obtient pour y une expression de la forme (i).

Donc /a condition nécessaire et suffisante pour que f soit susceptible d^être mis sous la forme Acp +B'| est que X soit divisible par <I>.

4. A cette condition nous allons en substituer une autre relative au comportement de /dans le voisinage des points (a, b) de rencontre des deux courbes cp et '^.

Supposons que le point {a, b) soit un point multiple d'ordre r pour J;, d'ordre q pour cp, avec <7^r, et que la droite ^ = <2, qui coupe ^ en r points confondus en (a, b), la coupe, en outre, en n~r autres points simples c<, Co, ..., c,^r, n'appartenant pas à o.

A' et B' étant des polynômes d'abord arbitraires, effectuons la différence

(5) /-A'cp-B't|;r.G',

et soit k' -^ I le degré des termes de moindre degré dans G' supposé développé suivant les puissances croissantes de ^ — <2 et y-—b- Désignons par l le degré des termes de moindre degré dans le polynôme ). [figurant dans (2)] supposé développé suivant les mêmes puissances. Nous allons montrer que si X est divisible par <ï>, on pourra toujours trouver en chaque point (a, b) des polynômes A' et B' de manière que V inégalité

(6) l^k'^ilr-\-k—i

soit satisfaite, et que réciproquement, si Von peut déterminer A' et B^ pou/' chaque point (a, b) de manière que cette relation soit satisfaite, X sera divisible par <ï>.

5. La première partie de la proposition est évidente, puisque, si X est divisible par $, on peut déterminer A et B de manière à avoir identiquement

f — ko — Bij; = o.

La réciproque s'établit de la manière suivante : Par une série de calculs analogues à ceux faits précédemment, on arrive à une iden-

lité de la forme en posant

(y) G = B'X--A'[JL -V.

Soit (ï) = (^ — ay^'j nous allons montrer que X est divisible par (x — aY du moment que la relation (6) est satisfaite. Partons de l'identité

dont nous supposerons les deux membres développés suivant les puissances croissantes de {x — a) et {y ~ h). Par hypothèse, C'\ commencera par des termes de degré au moins égal à r 4- A — i ,

donc à r.

Les points de rencontre de la droite x — a avec X==o sont aux points de rencontre de cette droite avec la courbe C^!; -4- C'"X — o. Or cette courbe possède déjà, en vertu de l'hypothèse faite, un point d'ordre au moins égal à r au point («, h). D'aulre partX, en vertu de la relation (2), s'annule aux points c,, Co, .••, Cn-r- Donc la courbe X = o est coupée par la droite ^ = a en au moins n points, et comme X est au plus du degré n — \ en y, il s'ensuit que X est divisible par x — a. La démonstration est achevée

ainsi, si A* = i .

Si A->i, on posera X=:(^ — a)X,, X, étant encore de degré Al — i au plus en j, d'où l'on conclut que G(]> + C'X contient i^x — a) en facteur; donc tous les termes homogènes du même degré en {x — a), {y — b), et en particulier les termes de G^ d'ordre inférieur à / 4- A'4- i , contiennent x- a en facteur. Or ^ ne contient pas {x — a) en facteur; par suite, on peut écrire

G =.(^-a)Gi-+-G",

ÇJ' étant de degré au moins égal à /+ A"'— r; en sorte que nous pouvons substituer à la relation (9), la relation

(9) (a7-a)X,= A'(ir — a)^*'+(^ — «)Gi4;-t-G"'V-HXG',

d'où l'on conclut que G"^ -4- \C' contient {x — a) en facteur

(10) G"4>-i-XG'=(^ — a)G'i,

THÉORÈME DE NOETHER. 5

et que C'^ commence par des termes de degré au moins égal à A'+ /. Or de la relation (6) il résulte /:'+/>> r; donc la droite x^=a coupe la courbe G', = o au point (a, b) en au moins r points confondus. Mais C'^ s'annule aussi aux points ((2,c); en effet, de la relation $ =r 'Xcp 4- pnj; il résulte que si [x^y) se déplace sur la courbe ^{x, y) = o dans le voisinage du point (a, c), la fonction \ contiendra [x ~ a)^ en facteur, quand on aura remplacé y — cpar son développement en x — a, puisque O contient (^ — a)^ en facteur et que cp(a, c) :^^o. Donc G'^ , qui est défini par la relation (10), contiendra (x — a)^~^ en facteur et s'annulera aux points (<2, c); on en conclut finalement que la courbe

qui est de degré au plus égal kn — i en y, est coupée par la droite ^ = <2 en /z points au moins, donc que Xi est divisible par {x ■ — a).

La démonstration est achevée si k r=^ 1.

Si A" > 2, on continuera le même mode de raisonnement, sans qu'il y ait rien à j changer.

Ainsi, en défînitiv^e, X sera divisible par <ï>, et par suite / sera susceptible de se mettre sous la forme Acp 4- B4;, si en chaque point [a, b) de rencontre des courbes o et ^ on peut déterminer des polynômes A' et B' tels que la différence f ^ A'o — B'^l; ordonnée suivant les puissances croissantes de {x — a) et {y — b) commence par des termes d^ ordre k' -\- i satisfaisant à V inégalité

l-^k'^ilr-hk — i.

6. Gette relation est susceptible d'une forme plus simple dans le cas où les deux courbes cp et ^ n'ont pas de tangentes communes en leurs points de rencontre, c'est-à-dire dans le cas où k = qr. Reprenons la relation

^ = Xo -t- [i<i^ ou

<î> = (X/-4-X/+,-f-.. . )(cp^+cp^+i -4-...) H- (fz,„ -!-...)(<];;. H-. . .),

en mettant en évidence les termes homogènes de même degré, dans le développement suivant les puissances croissantes de {X — a) el {y — b). Si <ï> contient (x — a)^ en facteur, le second

membre doit commencer par un terme en (^x — a)^. Si donc I -^- q <^k, on devra avoir

X/Py- [x,„ <!;;.== o, et comme Oq et 'Ir sont premiers entre eux, on aura

a étant un polynôme.

Mais on peut écrire

et alors nous avons une forme analogue pour ^, mais dans laquelle le degré de X a augmenté d'une unité. On peut donc faire en sorte que l -\- q^k.

Dans ces conditions, si l'on peut déterminer A' et B' de manière

que

(II) k'^i^r^q — i

la relation (6) sera satisfaite.

7. Voici encore une remarque intéressante. La fonctioji / étant de la forme AcpH-B'i;, désignons par a, m, n les degrés respectifs de/, cp, ^ et supposons que les termes homogènes de plus haut degré, t:^m et ^„, dans '^ et ^, soient sans facteurs communs. Dans ce cas, on peut toujours faire en sorte que A et B soient d'ordre p. — m et [A — n.

Supposons, en effet, que A et B soient de degrés respectifs ^^m-\-^ et [JL — /i + p et désignons par Aj;.,„t^p, B^^ ..„+p l'ensemble des termes homogènes de plus haut degré, on devra avoir

donc, en désignant par a un polynôme,

A(x-;«+p^ «"T^rt. B|;.„+p:^ — «cp„, ; D'où l'on conclut en écrivant/ sous la forme /= (A — a<];)cp + (B-i-ao)'V, que les degrés des coefficients de cp et ^ peuvent être diminués

TEIEOREME DE NOETHER.

d'une unité au moins. Continuant ainsi de proche en proche, on arrive ainsi au résultat annoncé.