II. — Quelques applications

8. Une première application importante du théorème de Nœther est la suivante : z> et 'i> étant deux courbes qui n^ ont pas de tangentes communes en leurs points de rencontre, et q et r ayant la même signification que précédemment, supposons que la courbe f ait, pour points multiples d'ordre cj -{- r — i, chaque point de rencontre de ^ et ^\ dans ce cas on aura certainement

En effet, on peut, en chaque point de rencontre, choisir A' et B'

de manière que

/-A'cp = B'^

commence par des termes de degré q -h r — i : il suffît de prendre

9. Proposons-nous en second lieu de reconnaître si une expression de la forme

oii P désigne un polynôme, est susceptible de se mettre sous la forme d'un polynôme en x et y^ y étant une fonction algébrique de X définie par V équation

f{x,y)=o supposée de degré m.

Nous supposerons d'ailleurs que la courbe /n'a que des points doubles et est orientée arbitrairement par rapport aux axes.

11 s'agit, en d'autres termes, de savoir siP(^, y) peut se mettre sous la iorme

P(a7, y) ^^ kf{x, y) -r- B(a^ ^ ^y -^ Y)''-

Supposons d'abord que la droite olx -f- py -1- y = o ne soit pas tangente à la courbe f et ne passe pas par un point double. Soit («, b) un point commun à y et à 7.x -+- '^y -1- y == o ; ce point est

d'ordre ^ =^ I pour/ et d'ordre /-pour la eourbe(a^-|- '^y-^-^Y-'O. Appliquons la formule (6) du n° 5. Dans le cas actuel, on voit en formant le résultant de / et de {eux -+- ^y -\- ^Y que le nombre désigné par / est au moins égal à /' ^- i , que k est égal à r : on en déduit A' H- I ^r. Pour que la représentation soit possible, on devra donc pouvoir déterminer A' et B' de manière que l'expression

dans le voisinage de tout point de rencontre («, b) commence par un terme de degré /■.

Posons, en mettant en évidence les ensembles de termes homogènes de même degré en ^ — a et y — b :

P-Pi -P2+ ••,

On devra avoir les relations

Pi-A'o,A-o,

P2--A'o/2— A',/i=-0, P,.-l — A'o/;., — . . . - A'r-ifi = o.

Telles seront, par conséquent, les formes de P,, Po, •• -, Pr-i pour que la représentation soit possible.

Supposons maintenant que ax -f- J^j 4- y == o soit tangente à la

Fig. I.

courbe /en un point (a, ^)et que le contact soit simple. Bornonsnous d'ailleurs au cas où r ^ i . Pour les points en dehors du point de contact, P(x,y) doit simplement y passer.

Ptelativement au point de contact (a, b) on a k^=.i^ r--i , /^^o, donc k -^- I — 2. On devra pouvoir déterminer A' et B' de manière que l'expression

P- A'/— B'(a;r H- [ijK-;-T)

THÉORÈME DE NCHETHER. 9

développée suivant les puissances de ^ — «, y — b, commence par des termes du second degré. V^ est, par suite, de la forme

c'est-à-dire que la courbe P(^, y) -~ o doit être tangente en (<2, b)

Finalement considérons le cas où la droite y.x -+- py -{- y = o passe par un point double, en supposant toujours /•=-!. On a /{• = 2 , / = o , r = i , donc /:' -f- 1 = 2 .

Vis. ?..

Par suite

doitcommencer par des termes du second degré, ce qui exige que l'on ait

donc que la courbe P(^, j-) --- o soit tangente en (a, b) à la droite.