III. — Théorème de Riemann-Roch

17. On connaît le théorème de Riemann-Roch relatif au nombre des constantes arbitraires dont dépendent les fonctions rationnelles qui ont comme pôles simples /2 points donnés sur une courbe algébrique.

Considéré au point de vue de l'étude des séries linéaires de groupes de points, ce théorème s'énonce de la manière suivante :

Si g'^,^ est une série complète, la difjérence \i,-~ p -\- r— n, où p désigne le genre de la courbe f^ est égale au nombre des adjointes d'ordre m — 3 linéairement indépendantes passant par un groupe de la série.

Le théorème est évident dans le cas des séries complètes non spéciales.

Envisageons donc le cas d'une série spéciale. ,Cette série g^^ est alors comprise partiellement dans la série canonique ^J^lo- ^^ existe par suite une série résiduelle g2p-.2-n ^^ ^n P^^ rapport à g^~pL, et le nombre /•' est égal, d'après ce que nous avons vu, au nombre ia des adjointes cp„,3 linéairement indépendantes passant par un groupe de ^J], diminué d'une unité. Soit

r'= {JL — f.

( ' ) Nous étudions ici le ihcorème de Riemann-Uoch sous sa forme géométrique, dans l'ordre d'idées de Brill et Nœther.

Or, par un groupe G de g'',^ et par r' points arbitraires de / (mais non par r' ^ i), on peut faire passer une o„,3. Appliquons successivement le théorème du n^ 13. Soient ?<, Po, . .., P^, les points arbitrairement choisis; la série

est complète, d'ordre /z + i , de dimension r, et de plus elle est spéciale.

11 en est de même de la série

(^r.+i + P2) = gW2.

Finalement, on arrivera ainsi à une série g^+r'+i qui sera encore complète, mais ne sera plus spéciale, d'où l'on conclut l'égalité

et, en tenant compte de l'égalité précédente ;•'= |jl — i ,

ce qu'il fallait démontrer.

On donne souvent au nombre ^ le nom ({'indice de spécialité de la série ^J^.

18. La loi de réciprocité de Brill et Nœther se conclut immédiatement de ce qui précède. On considère deux séries

^n. S'n' (n-hn'=ip — -2),

résiduelles l'une de l'autre par rapport à la série canonique; des égalités

n ~ r = p ~ IX,

on déduit

n-{- r'—r = p — i OU

19. Il ne sera pas inutile de montrer comment on peut, de la forme géométrique que nous venons de donner au théorème de Riemann-Roch, passer à la forme analytique rappelée au début.

Soildonc R(^,y) la fonction rationnelle la plus générale ayant n infinis simples en des points A<, Ao, .. ., k.,i de la courbe /. Nous remarquerons d'abord que cette fonction dépend linéairement àiQ constantes arbitraires, car, en désignant par a, , ^2, ....a„ les abscisses des A, le produit

{x — ax) ... (.r — a,i) R(57, jk),

qui doit rester fini à distance finie, sera de la forme

(^- - bi) .. . {x- - ba)'

^1, b.2', ■ ■ -, bd étant les abscisses des points doubles, le polynôme V{œ^y) s'annulant aux points de rencontre des droites x =^ h avec la courbe /, et son degré étant déterminé par la condition que R reste aussi finie à l'infini : toutes ces conditions s'expriment par des relations linéaires et homogènes.

Cela posé, envisageons l'équation R(^,j)') ^a, où a est un paramètre variable, et où R est maintenant une fonction rationnelle déterminée devenant infinie en Ai, A^, . . ., A/^. Cette équation définit une série linéaire g]^^ dont un groupe particulier est le groupe Ai, Ao, ..., A/^ qui correspond à la valeur a zr:= oc. Si cette série n'est pas complète, elle sera contenue dans une série ^J^ complète qui sera définie par un système linéaire d'adjointes

en désignant par cpo une adjointe s'annulant en A,, Ag, . . ., A,/. Par suite, la fonction rationnelle

est l'expression générale des fonctions ayant les infinis simples A, , A2, -, ., A.,1' Et c'est la fonction la plus générale jouissant de cette propriété, car, autrement, cette fonction plus générale définirait un groupe d'ordre n, contenant A,, Ao, ..., A/^ et de dimension supérieure à /•. Ce nombre r est donné par la relation

et, par suite, le nombre des constantes figurant dans l'expression

cherchée est

C'est V expression analytique du théorème de Riemann-Roch.