IV. — Des courbes normales

20. La théorie des séries linéaires de groupes de points sur une courbe pLnne trouve son application dans l'étude des courbes algébriques dans un espace à un nombre quelconque de dimensions. Après avoir défini ce qu'on entend par courbe normale, nous allons montrer, en effet, que cette notion n'est autre que celle d'une série linéaire normale ou complète.

21. Commençons par rappeler quelques généralités sur les espaces à n dimensions, qui se trouvent déjà développées au Chapitre IV du premier Volume de cet Ouvrage.

Nous avons vu que dans un espace à /^ dimensions (^< , ^2, • • • , ^/i), un espace à /• dimensions était défmi par n — r relations linéaires distinctes

Ui^o, ..., U;,;.= o;

puis généralisant la notion de perspective d'un point, nous avons montré comment, en prenant comme point de vue un espace S;^, on pouvait projeter un point A sur un espace S,,^^, en prenant l'intersection de ce dernier avec un espace S,.+ , passant par A et S;-.

22. Rappelons encore que dans l'espace à n dimensions, une courbe est une multiplicité à une dimension, qu'on peut définir en

disant que ^,, ^o, oc,^ sont des fonctions algébriques d'un

paramètre. Or, d'après un théorème élémentaire d'algèbre, un nombre quelconque d'irrationnelles algébriques s'exprime rationnellement à l'aide d'une seule. On en déduit que, pour une courbe, ^<, ^2, • • •. ^/^ peuvent être regardées comme des fonctions rationnelles de deux variables x etj)/ liées entre elles par la relation algébrique f{x, y) = o, et cela de telle manière qu'à un point arbitraire x^,x,, . . . , x,, de la courbe ne corresponde qu'un point {x,y).

Dans cette théorie, quand on parle d'une courbe dans un espace d'ordre /z, il est entendu que cette courbe n'est pas contenue

dans un espace linéaire d'ordre moindre, c'est-à-dire qu'il n'y a pas entre les x de relation identique de la forme

Ao^- Ai^i-f-. . .T- A„a7,i = o,

les A étant des constantes, et en vertu de la relation y (^, y') = o.

Enfin, le degré d'une courbe est le nombre des points de rencontre de cette courbe avec un hj^perplan arbitraire.

Ces notions préliminaires conduisent de suite à quelques remarques intéressantes (^).

On voit d'abord qii^une courbe d'ordre n est toujours contenue dans un espace à n dimensions ou dans un espace moindre, car si elle est dans un espace de dimension supérieure, par n -|- i points de la courbe, on pourra mener un bjperplan qui devra la contenir. On peut donc abaisser le nombre des dimensions jusqu'à n.

Une courbe d' ordre n dans un espace à k dimensions {et non moins) correspond point par point à une courbe d'ordre n — k -^ 1 située dans un plan. On le voit immédiatement pour /: r= 3 en faisant une perspective avec le point de vue sur la courbe. Le procédé est général : dans l'espace à k dimensions, en projetant la courbe sur un espace d'ordre k — i, on obtient une courbe d'ordre n — i, et en continuant ainsi de proche en proche, on arrive finalement à une courbe d'ordre n — /c + 2 sur un plan.

Une courbe d'ordre n dans un espace d'ordre n {et non d'ordre moindre) est unicursale, puisqu'un hjperplan passant par n — i de ses points n'a avec elle qu'un point de rencontre.

23. Définissons maintenant ce qu'on enten^ par courbe normale. Une courbe algébrique dans un espace (^,, x^, ••., Xr) d'ordre r est normale, si elle n'est pas la perspective sur cet espace d'une courbe du même degré, contenue dans un espace d'ordre supérieur (^,, ^27 • • -^ ^r)^ (''>'')•

Soient

C) Les questions qui nous occupent ici trouvent leur origine clans un petit Mémoire de Cliiïord [On the classification of loci {Philosophical Trans., 1878)].

les équations de cette courbe qu'on suppose ne pas être contenue dans un espace à dimensions moindres, c'est-à-dire que l'on n'a pas entre les ^ de relations identiques telles que

les a étant des constantes. Si n désigne le degré de cette courbe, il résulte de ce que nous avons dit que ce degré sera déterminé par le nombre des points d'intersection de l'hjperplan

^0 -+~ ^'1 ^1 -^ • • • +■ à,-cr,. = o

avec la courbe. Ce nombre est donc précisément égal au degré de la série linéaire de groupes de points déterminée, sur la courbe /= o, par le système linéaire

(a) ho^o-^ hi'ii^i + ...-}- hr'^r=o.

Si la courbe (G) n'est pas normale, cette série g'^^ ne sera pas complète. En effet, s'il existe une courbe de mêiiie degré n^ contenue dans un espace à r' (/•'> /') dimensions et dont la courbe donnée soit la perspective, on peut toujours faire en sorte, par une série de transformations homographiqnes convenables, que la courbe (G) soit la perspective, sur l'espace ^^^, = o, ..., Xf^o-, d'une courbe (G') dans l'espace (^,, ^o, . . ., Xf), en prenant comme point de vue l'espace ^^ = o, ^0=0, ..., ^,,==0, U = o, où U= o désigne l'équation d'un hjperplan, qu'on pourrait réduire à ^r.f , =^ o, .r,-^i étant la variable d'homogénéité. Dans ces conditions, les équations de la courbe (G') s'obtiendront en adjoignant aux équations (G) des relations telles'que

d'où l'on conclut immédiatement qu'on peut former sur/ une série linéaire ^•';^' de même degré que la première et la contenant totalement : la série g^^ n'est donc pas complète.

Réciproquement, on verrait de suite, sans qu'il soit besoin d'insister, que si la série g\^ n'est pas complète, la courbe (G) n'est pas normale.

Ainsi donc ces deux notions de courbe normale et de série normale se ramènent l'une à l'autre.

24. Gomme application des considérations précédentes, proposons-nous la question de savoir si une courbeplanef{œ, J')=^ o est normale on non, c'est-à-dire si elle peut être considérée, ou non, comme la perspective d'une courbe gauche du même degré de l'espace à trois dimensions. Les équations de cette courbe gauche peuvent se mettre sous la forme

et si n est le degré de/", et par suite de (F), le système linéaire

définira sur /une série linéaire g^^. La question revient donc à savoir s'il j a sur la courbe f une série linéaire de dimension 3 et de degré n. D'autre part le système précédent ([3) contient le système

(y) hox -^ hiy-^ hs= o

formé de toutes les droites du plan, qui définit surj^une gf^. Tout revient finalement à reconnaître si cette série est complète ou non. On appliquera, dans chaque cas, le procédé indiqué plus liaut (n*' 3).

On peut faire la remarque générale que si la courbe/ a au plus n — 3 points doubles, elle est normale. En effet, par n points en ligne droite A faisons passer une adjointe d'ordre n — a formée de la droite A, de d droites passant par les d points doubles, et de n — 3 — d droites arbitraires (n — o^l d). Nous avons à considérer ensuite le système linéaire de toutes les adjointes d'ordre n — a qui passent par le résidu F formé de tous les points où toutes ces droites, non compris la droite A, rencontrent la courbe/. Or chacune de ces droites an — i points communs au moins avec cette adjointe, donc elle en fait partie, et par suite, il ne reste qu'wne droite mobile arbitraire. On retombe sur le système considéré g^ qui est, par suite, complet.

2o. Nous venons de donner un exemple [n — '6^d) où la courbe est nécessairement normale. Nous allons maintenant exa-

LA GÉOMÉTRIE STR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. Scj

miner un cas où la courbe n^est pas normale. C'est le cas où le

nombre des points doubles d est supérieur à -^~~ ^ - "-"— ^ .

Une courbe gauche, dont /est la projection, a ses équations de la forme

Il suffit de montrer qu'on peut disposer de a et ç de manière que cette courbe soit une courbe gauche de degré n. Prenons pour p» ri o une adjointe d'ordre n — 2, et pour u une adjointe d'ordre n — i passant par les points de rencontre simples de v et de /. Ces derniers sont en nombre nP- — in — id et le nombre des arbitraires dans u est donc égal à '

SI ce nombre est supérieur à deux, c'est-à-dire si

on pourra prendre pour u une fonction qui ne soit pas de la forme v{kx -]- Ey -u C), et l'on est assuré alors que la courbe (F)

est gauche : car - n'est pas un poljnome en {x,y) pour ^ et j'

arbitraires; et il ne peut l'être non plus pour {x, y) sur/, car /est irréductible et, par suite, on ne peut avoir u -— v{kx H- Bj- -- C) pour tous les points de /, sans que ceci ait lieu identiquement.

D'autre part, la courbe précédente est bien de degré ^, comme on le voit en la coupant par le plan a.x -\- ^jy -r- z i- v :rr o : le degré est égal au nombre des points de rencontre variables des deux courbes /" o, {ax -^^y -^ y) i^ -^ ?^ — o, et comme u et v ont, en commun avec/, n{n — 3— ar/— 2^/ — /zfn — 3) points, le degré sera égal à n(n — 2) — n{n — 3 ) — /z.

Gomme application, on voit qu'une cubique plane qui n'a pas de points doubles est normale; et qu'elle n'est pas normale si elle a un point double.

4o CHAPITRE II.

V. — Série linéaire de groupes de points sur une courbe gauche. Série déterminée sur une courbe gauche par toutes les surfaces d'un ordre donné.

26. Les séries linéaires de groupes de points que nous avons envisagées jusqu'à présent sont relatives à des courbes planes. Ces notions s'étendent immédiatement au cas des courbes gaucbes ou, plus généralement, des courbes dans un espace à n dimensions.

Soit, par exemple, dans un espace S,i, la courbe définie par

Le système linéaire des surfaces

détermine sur cette courbe une série linéaire de groupes de points à laquelle correspond, point par point, une série linéaire sur la courl)e/, dans le plan {x^y).

L'étude de l'une revient à l'étude de l'autre ; d'où l'on conclut, sans qu'il soit besoin d'insister, la signification qu'il faut attribuer à ces expressions àe série complète, régulière, spéciale, elc, lorsqu'il s'agit d'une série linéaire sur une courbe gauche. Ainsi l'étude d'une série linéaire sur une courbe gauche revient à l'étude de la série correspondante sur la perspective de la courbe sur un plan arbitraire.

La dimension de la série sera égale à la dimension du système des surfaces (i), si, parmi ces surfaces, il n'en existe aucune passant par la courbe : cette condition est l'analogue de celle que nous avons exprimée, pour les courbes planes, en disant que les fonctions ^ du système linéaire de courbes étaient linéairement indépendantes, relativement à la courbe considérée/.

27. Nous nous bornerons, dans ce qui va suivre, au cas d'une courbe gauche dans l'espace à trois dimensions. Soit G une telle courbe de degré n et de genre/?. Nous nous proposons d'étudier la série linéaire déterminée par le système linéaire formé par Vensemhle de toutes les surfaces d'ordre k. Elles déterminent

LA GEOMETRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. 4l

une série de groupes gnk-, et la dimension r^ de cette série serait connue si l'on connaissait le nombre des conditions exprimant qu'une surface de degré k passe par la courbe, ce nombre étant évidemment égal à r^-f- i • Nous avons déjà traité ce problème dans le premier Volume (Ghap. VIII). Nous croyons devoir revenir sur ces considérations, en nous plaçant plus particulièrement au point de vue de la théorie des séries linéaires de groupes de points, ce qui nous conduira à quelques conclusions importantes (^ ).

28. Voici d'abord une définition qui nous sera utile : Nous dirons que v points sont indépendants^ sur la courbe G, par rapport aux surfaces de degré k, Sa, si l'on peut faire passer par V — I quelconques d'entre eux une surface Sa, qui ne passe pas par le v''""^.

Envisageons alors un groupe G,i de n points, obtenu en coupant la courbe G par un plan arbitraire. Parmi les points de G„, il y en aura un nombre max imu m y ^ qui seront indépendants par rapport à une Sa, tel par conséquent que le passage d'une Sa par va points quelconques de G,i entraîne son passage par les /i — va autres, mais qu'on puisse par va — i points ou un nombre moindre faire passer une Sa ne passant pas par les autres points du groupe.

Ge nombre va est évidemment compris entre o et n.

Si 2 A" + I <^ /i, on aura

car on peut faire passer /: plans par k groupes de deux points pris dans G/i, et qui ne passeront pas par les autres points du groupe si la courbe n'est pas plane. On aura ainsi une Sa passant par '2k points du groupe sans passer par les autres; donc va — 1^2 A".

Si 2 A- 4- ir!/2, on aura

VA = Al ;

cela est évident d'après ce qui précède.