II. — Des intégrales d'ordre quelconque

11. Nous avons défini les intégrales d'ordre i et d'ordre n — 1 dans l'espace En', passons maintenant aux cas intermédiaires ('). Nous nous bornerons à l'étude des intégrales multiples d'ordre 2 et 3. L'extension au cas d'un ordre de multiplicitéquelconque se fera d'elle-même.

Nous nous proposons donc de définir les expressions symboliques de la forme

(') L'étude de ces cas a été faite pour la première fois par M. Poincaré {Acta mathematica, t. IX).

DES INTÉGRALES MULTIPLES DE FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. l3

considérées comme des intégrales doubles étendues à une variété à deux dimensions, fermée ou limitée. Dans une pareille expression, d'après la définition qui va suivre, l'ordre des différentielles dxi^ dxk n'est pas indifférent; les A^vt sont des fonctions données de x^^ Xo, ..., Xa et nous convenons que

A/A = — A^./, ce qui entraîne A//=::= o.

Supposons que la variété à deux dimensions le long de laquelle doit s'effectuer l'intégration soit déterminée par les n équations

OÙ a et ç sont à considérer comme des variables indépendantes. La variété ainsi définie pourra être finie et continue et par suite fermée. C'est ce qui aura lieu en particulier si les /sont des fonctions périodiques de u et v.

Mais aux équations (i5) nous pouvons joindre une inégalité

qui exprimera qu'on ne considère sur la variété (i5) que les points qui correspondent à l'intérieur de la courbe (p(w, (^)= o, soit A, tracée dans le plan des («, r). On a alors dans l'espace E,, une variété à deux dimensions ayant pour frontière la variété à une dimension correspondant à la courbe o{u^ r)=o.

Nous pourrions aussi, pour définir une variété fermée, imaginer dans l'espace à 3 dimensions (X, Y, Z), une surface fermée, déterminée en exprimant X, Y et Z en fonction de deux paramètres u et v^ et considérer x^^ x.y^ ..., Xn comme des fonctions des coordonnées des points de cette surface. Si au lieu d'une surface fermée dans le même espace (X, Y, Z), on a une surfacel imitée par un contour, elle donnerait lieu à une variété limitée par une certaine frontière.

Gela posé, l'intégrale (i 4) sera, ^^d^r définition, l'intégrale double ordinaire

Y){Xi,Xk) A ik -pT/ T" "" dv,

étendue à toutes les valeurs de u et ^, si la variété est fermée ; étendue à l'aire A définie par ^{u^ t^)< o, si la variété est limitée.

l4 CHAPITRE I.

Sous celle forme on voit, à cause de la relalion Ay^/= — A,/;, que les deux ternies qui correspondent aux deux couples ik et kl s'ajoutent. Remarquons aussi que, si l'on perjnule u et(^, cette intégrale change de signe : nous dirons alors, conformément à ce qui a été dit précédemment, que l'intégrale est prise d'un côté ou de l'autre de la variété sur laquelle se fait l'intégration.

12. Cherchons à quelles conditions cette intégrale étendue à une variété fermée, à l'intérieur de laquelle les A/^ et leurs dérivées partielles du premier ordre sont conlinnes, est égale à zéro- ou, ce qui revient au même, à quelles conditions cette intégrale ne dépend que de la frontière limitant la variété sur laquelle on intègre.

Nous ohtiendrons immédiatenient les conditions nécessaires en faisant varier seulement trois des lettres x^ soient xi^ x^i Xh- L'intégrale J se réduit à

\//, dxi clxk+ A/,/i dxic dx/i + A a/ dx/i dxi.

INous sommes dans le cas de l'espace à trois- dimensions. Pour que les conditions que nous cherchons soient remplies, il faut que l'on ait la relation

• ^^ àx/i dxi ' àxk

et cela quelles que soient les valeurs des x. Si d'ailleurs on remarque que cette relation ne change pas quand on effectue une transposition quelconque entre les «, Â, /i, on obtiendra ainsi autant de relations nécessaires qu'il y a de combinaisons possibles

1 , . , . . n{ii — i)(/i — 2) Y^.\ \

de 11 lettres trois a trois, soit — — — —p. -^

..^ \^ 13. Ces conditions sont-elles suffisantes? Pour le montrer, voyons d'abord ce qui se passe quand on emploie le second modo de représentation, c'est-à-dire quand on définit la surface d'intégration par une surface fermée S dans l'espace X\Z, ses coordonnées étant exprimées en fonction de deux paramètres a et r.

DES INTÉGRALES MULTIPLES DE FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. l5

En partant de la relation, facile à vérifier,

. ^W^J/ç) D(Y,Z) D(/,,//,) D(Z,X) D(Y,Z) \Hu,v) D(Z,X) D(ir, p)'

on voit que l'intégrale J pourra s'écrire sous la forme

C'est une intégrale de surface dans l'espace à trois dimensions. La condition pour que cette intégrale étendue- à une surface fermée soit nulle est

En développant cette relation, on voit que les termes en A,/, disparaissent d'eux-mêmes, en vertu de l'identité

dZ D(X,Y) ^()X D(Y, Z) ~^ d\ D(Z,Xy~''' Il reste alors

^ D(X, Y) ( Zà dxn dZ ) "~^ D(Y, Z)" 2d dx,, IX

h-k \ h y ik \ h /

^ 0(Z,X) 1 Zlôxu àY -^'

ou, en réunissant tous les termes dans une sommation triple

dxh ÙXi ôx,J D(X,Y, Z)

ikh

la sommation étant étendue à toutes les combinaisons de n lettres

l6 CHAPITRE I.

trois à trois. Cette condition est satisfaite si les relations (i^) sont satisfaites, et l'on en conclnt que ces relations sont suffisantes pour que l'intégrale J étendue à une variété fermée définie par la surface S, et sous les conditions spécifiées, soit égale à zéro.

Cette démonstration laisse toutefois subsister nn doute. Nous avons supposé que les x étaient des fonctions de X, Y, Z, ces dernières étant exprimées en fonction de u et r. Il n'est pas certain que ce mode de représentation puisse s'appliquer à une variété quelconque à deux dimensions. Toute variété à deux dimensions peut, au contraire, se représenter par le système des équations (i5). Nous allons donc reprendre la démonstration en nous servant d'ailleurs du résultat précédent.

Nous devons alors concevoir que les x sont exprimés en fonction de deux paramètres u et v et d'une constante arbitraire s

^i = fi{u, ^, £) (i = 1,2, ..., n),

e variant entre certaines limites, et l'on suppose que les valeurs des X ne dépendent pas de £ quand le point (w, ç) est sur le contour A[(d(u, ç)= o] dont nous avons parlé plus haut. 11 faut montrer que l'intégrale J ne dépend pas de s. Posons

D'après ce qui précède, si les conditions (i^j) sont satisfaites, rintégrale le long de toute surface fermée dans l'espace (XYZ) sera nulle.

Prenons pour surface d'intégration la surface totale d'un cjlindre dont la base dans le plan des XY est la courbe A, et dont la bauteur est égale à £. Soit B la base supérieure, c[ui est une courbe égale à A. Or les x ne dépendent pas, par bypothèse, de s, quand le point («, ç) est sur le contour A : les déterminants fonctionnels

seront donc nuls sur la surface latérale et, par suite, l'intégrale relative à cette surface sera égale à zéro. Par suite, la somme des intégrales étendues respectivement à l'aire A et à l'aire B est nulle, et si l'on intègre d'un même côté de ces surfaces par rapport au

plan XY, ces deux intégrales seront égales. Les conditions (17) trouvées comme nécessaires sont donc bien suffisantes.

Fii

11 est important de remarquer en terminant que les conclusions précédentes exigent que, lorsqu'on déforme la surface en laissant sa frontière invariable, elle doit, en se déformant, ne rencontrer aucun des systèmes de valeurs des x pour lesquelles les A,-;^ deviendraient infinies ou mal déterminées.

Enfin, on conçoit, comme pour les intégrales d'ordre un et d'ordre /i — i, que, dans un domaine D où toutes les variétés fermées E2 ne pourraient pas se réduire à un point ou à une ligne, l'intégrale prise le long d'une de ces variétés devra se réduire à une somme de multiples d'un certain nombre d'entre elles, qui seront les périodes de l'intégrale considérée.

14. Bornons-nous, pour terminer, à définir les intégrales multiples d'ordre 3 dans l'espace à n dimensions. L'expression symbolique

^ ~ I I I ^,^iki dxi dxic dxi,

considérée comme une intégrale triple, étendue à une variété à 3 dimensions, se définit de la manière suivante : Les dxi^ dxk, dxi sont trois quelconques des n différentielles dx^, ..., dxn, dont l'ordre ne doit pas être interverti. Les fonctions km sont des fonctions données de x,, x., ..., x„. Deux fonctions ^,7^7 sont égales en valeur absolue si elles ne diffèrent que par Tordre d

es

l8 CHAPITRE I. — DES INTÉGRALES 3ILLTIPLES, ETC.

indices, mais elles changent de signe quand on passe de l'une à l'autre par une transposition. On aura donc en particulier

Cela posé, si Ton suppose que la variété à 3 dimensions, sur laquelle on intègre, est définie par les équations

l'intégrale triple J (18) sera, par définition, l'intégrale triple ordi-

naire

J J J jU \)^u,v,w)

étendue, s'il s'agit d'une variété à frontière, à tout le domaine 'o{u^ ç, iv)<^o^ limité par une surface cp(«, ç, iv) = o dans l'espace {u^ r, iv).

On trouvera les conditions nécessaires pour que cette intégrale ne dépende que de la frontière de la variété d'intégration, en ne considérant d'abord comme variables que quatre des lettres œ, soient xi, ^a, ^/, ^m- On est alors dans le cas d'une intégrale d'ordre /? — i dans un espace à n dimensions {n =^4)- i^t;s conditions d'intégrabilité nécessaires sont donc

d\i/:/ à X /,-/„, àX/,„i àXm//,-

Ox„i Oxi dxu àxi

et le nombre de ces conditions est égal au nombre des combinaisons de n lettres quatre à quatre.

Pour démontrer qu'elles sont suffisantes, on procédera ensuite comme dans le cas des intégrales multiples d'ordre deux.

I. — Généralités sur les variétés à un nombre quelconque de dimensions.

1. Nous allons nous occuper, dans cette Section, de diverses questions concernant la Géométrie de situation dans les espaces à un nombre quelconque de dimensions, questions dont l'ensemble est souvent désigné sous le nom à'Analysis situs. Cette théorie a été fondée par Riemann, qui lui a donné ce nom 5 dans ses études sur les fonctions abéliennes, le grand géomètre ne considère que les espaces à deux dimensions, mais il a ensuite généralisé ses recherches pour un nombre quelconque de dimensions, comme le montrent des Notes publiées après sa mort dans le Volume renfermant ses OEuvres complètes ('). Indépendamment de Riemann, Relti avait de son côté étudié les divers ordres de connexion dans les espaces à n dimensions, et publié un Mémoire fondamental sur ce sujet (-). Dans son Mémoire sur les fonctions algébriques de deux, variables (^), M. Picard avait montré l'intérêt que présentent des considérations de ce genre dans l'étude des surfaces algébriques. Tout récemment, M. Poincaré ('') a repris d'une manière générale cette question de VAnalysis situs, et, après avoir complété et précisé les résultats obtenus par Retti, a appelé l'attention sur les dilTérences considérables que présentent ces théories, suivant qu'il s'agit d'un espace à deux dimensions ou d'un espace à un plus grand nombre de dimensions.

( ' ) OEuvres complètes de Riemann.

(2) Annali di Matematica, t. IV (1870-71).

(^) Journal de Mathématiques (1889).

('') Journal de V École Polytechnique (iSgS).

^. Considérons un espace à n dimensions (,r,, x^^ • • -, x,i) el, dans cet es|)ace, nn espace S//,„ à n — ni dimensions; un tel espace sera dit linéaiiement connexe si l'on peut joindre par une ligne continue, sans sortir de S//„i, deux points de cet espace. Au lieu d'employer l'expression à^ espace, il nous arrivera souvent d'employer le terme de variété, de multiplicité ou de continuuni, voulant désigner par là un certain ensemble continu de points dépendant d'un nombre de paramètres égal à la dimension de cette variété ou de ce conlinunm.

Il peut arriver que la variété Sn-m soit définie de diverses manières. On peut concevoir que l'on ail les m égalités

¥^{x^,X.i, . . ., Xn)= O,

et un certain nombre d'i-négalilés

Çl(a7,,ir.2, OCa)> o,

?./Ol,^2, ...,^«)> O.

On suppose que les fonctions F et o sont des fonctions analytiques bien déterminées, et que les divers déterminants fonctionnels des F considérées comme fonctions de ni des lettres x ne s'annulent jamais tous à la fois. Les égalités et inégalités précédentes, si elles peuvent être vérifiées pour certaines valeurs des x^ définissent en général une multiplicité à n — m dimensions, qui sera linéairement connexe, ou se partagera en plusieurs variétés linéairement connexes. Nous supposerons qu'il , n'y ait qu'une seule variété connexe, et nous aurons alors un espace Sn-m-

3. Cette manière de définir un espace Sn-m n'est pas la plus générale. On peut définir un tel espace, au moins dans le voisinage d'un point par des équations de la forme

X^ — 4^1 («1, W25 • • •. Un-m), Xn= '\n{u^. lii, . . ., Ua-ni),

les à étant des fonctions bien déterminées des w, que, en nous réduisant aux espaces analytiques, nous pouvons supposer comme plus haut être des fonctions analytiques des u dans un certain domaine. Nous avons alors une certaine portion de l'espace S«7«; on peut ensuite faire l'extension analytique de cet espace, c'est-à-dire des fonctions 'i;, et le prolongement de la représentation paramétrique nous donnera de proche en proche un prolongement de S//,,,. Il se peut que, dans chacune de ces représentations ou dans quelques-unes d'entre elles, les paramètres ne puissent pas prendre toutes les valeurs du champ de convergence, mais satisfassent à une ou plusieurs inégalités

P/(?^l, «2, • • -, Un-m) > O.

4. La notion de frontière d'une multiplicité ^n-m se pose d'elle-même ; une frontière est une multiplicité d'ordre n — m— \ qui empêche la continuation de S//„,. Supposons d'abord que cette variété soit définie par les égalités et inégalités considérées au début du numéro précédent; s'il existe des valeurs des x formant une multiplicité d'ordre n — m ~ \ ^ satisfaisant aux équations et inégalités

cpX>0 (X = 2, ...,^),

la multiplicité définie par ces équations et inégalités sera une frontière de ^n-m\ dans le cas actuel, il pourra y avoir q frontières en associant successivement aux ni équations chacune des inégalités transformée en égalité.

Avec la définition générale des variétés résultant du prolongement analytique d'une représentation paramétrique, une frontière est formée par l'ensemble des points correspondant à une des inégalités relatives aux paramètres, cette inégalité étant transformée en égahté. Ainsi, soit, pour une certaine représentation.

une des inégalités auxquelles doivent satisfaire les paramètres;

on suppose que, dans le domaine, la fonction 'j soit susceptible de s'annuler en changeant de signe. La relation

P( Wi, i/2, ••.. Un-m)=^0

définira une certaine portion d'une frontière dans le domaine correspondant à la relation paramétrique envisagée, et cette portion de frontière se prolongera analvliquement avec ce domaine.

11 peut arriver (\\\uiie multiplicité n\àt pas de frontière. Pour le moment au moins, nous ne considérerons que des multiplicités S/^,„ restant tout entières à distance finie; une telle multiplicité, quand elle n'aura pas de frontière, peut être dite une multiplicité fermée.

Dans toutes ces définitions, nous ne faisons qu'étendre à un nombre quelconque de dimensions des notions familières dans l'espace à deux et trois dimensions. Une variété à deux dimensions dans l'espace à trois dimensions est ce que l'on appelle une suif ace; les frontières de celles-ci sont des courbes, et une surface restant tout entière à distance finie et n'ayant pas de frontière est une surface fermée.

5. Il peut arriver que des multiplicités analytiques se coupent elles-mêmes, et qu'elles se recouvrent totalement elles-mêmes. Pour bien faire comprendre ce que nous entendons par là, prenons une surface analytique dans l'espace à trois dimensions (/^ = 3, m =: 2). Une portion de surface qui a une ligne double; se coupe elle-même. Un exemple bien connu d'une surface se recouvrant elle-même est fourni par un rectangle de papier ahcd que Ton replie sur lui-même de la façon suivante : Soient «6 et cd deux côtés parallèles, de telle sorte que a et d^ ainsi que h et r, désignent des sommets opposés. On contourne la feuille de papier de manière que ah vienne coïncider avec dc^ en faisant coïncider par conséquent les sommets opposés. On réalise ainsi une surface limitée par une seule frontière et qui se recouvre totalement ellemême.

Les circonstances que nous venons de rencontrer sont générales; il peut arriver qu'une variété S,^,« se recouvre totalement

elle-même; appelons variété double une telle variété ('). Pour définir d'une manière générale une variété de cette nature, considérons dans le voisinage d'un point A, que nous ne supposons pas sur une frontière, une représentation paramétrique; on pourra évidemment de celte représentation déduire, entre les coordonnées (^,, ^27 •••7 ^n) d'un point quelconque de la variété suffisamment voisin de A, m relations de la forme

Fi(a7i,5?2, . . .,^«)= O,

les F étant holomorphes autour des coordonnées ^*\ ..., ^JJ de A. Envisageons d'autre part n — j?i — i formes quadratiques homogènes en x^ — ^J, ..., ^•/^ — ^l, définies et linéairement indépendantes; nous les supposerons positives et les désignerons par

ll(Xi, X2, . .., Xn), >Wi-/«-l(^l, 372, . . ., iT/i).

Ceci posé, aux /?i équations ci-dessus, adjoignons les /i — m — i équations

)./(^i, x^, . . ., x,i)= Zi {i^i,7, . . ., n—m — i),

les £/ étant des quantités positives très petites. Nous avons mainlenant n — i équations qui définiront évidemment une petite courbe fermée C autour du point A, courbe située dans l'espace S„„i. Sur cette courbe, on peut concevoir tracé un certain sens de flèche bien défini.

Imaginons maintenant que le point A se déplace sur ^ii-m\ en nous servant des prolongements successifs des représentations paramétriques et des équations au:siliaires Xi= £/, ou x\, . . ., ^JJ sont chaque fois à remplacer par les coordonnées actuelles de A, nous pouvons considérer que le point A, pendant son mouvement, entraîne avec lui la courbe fermée G qui se déforme en même temps, mais pour laquelle le sens de flèche marqué au début est

(') M. Poincaré appelle variété unilatère, les variétés de ce genre; comparer la définition qu'il donne de ces variétés (Mémoire cité) avec celle que nous donnons dans le texte.

loujours défini sans ambiguïté. Deux circonstances peuvent alors se présenter.

En premier lieu, il peut arriver que A, revenant à son point de départ après avoir suivi sur Sn^m, sans traverser une frontière, un chemin fermé quelconque^ la courbe C au retour vienne se replacer sur sa position initiale, les deux sens de flèche coïncidant. Dans ce cas, la variété est simple; elle ne se recouvre pas elle-même.

11 peut arriver au contraire, en second lieu, que, pour certains chemins fermés décrits par A, on ne retrouve pas au retour le même sens de flèche pour la courbe C; nous auron^ alors une variété double.

6. Au point de vue analytique, on voit qu'à un sens défini sur la courbe C, correspondent des signes déterminés pour les coefficients difi'érentiels

dxi dx-i dxn

""'^Hi' ""'^-dl' ••" '-'=-ds

Posons

^(Fl,F2, .. .,F/,,F/4.i, . . ., F„j.Xi, . . ., ln-m-\)

à{-Ti, 372, . . ., Xi-ijXi-i-i, . . .,X,i)

on a

ai a2 «/? I

Al ~ Aa ~

A« zt/Af -+-... -1-A2

En choisissant le signe + pour le radical, on a pour les a/ des valeurs déterminées en grandeur et en signe. D'ailleurs A, , A2, . . -, A,i sont des fonctions linéaires des déterminants fonctionnels des F considérées comme fonctions de /?^ des lettfes œ, et leurs (•oefficients qui ne dépendent que de X,? •••7 X?-/«-« sont arbitraires. Si donc la surface est simple, ces déterminants fonctionnels devront reprendre la même valeur en grandeur et en signe quand, partant d'un point A sur la variété Sn-m^ on y revient après avoir parcouru un chemin fermé quelconque sur cette variété.

On pourrait encore présenter la question de la manière suivante : Considérons dans l'espace E,, une demi-droite passant par le point A. Soit Ai, Ao, . . . , A„ ses paramètres, de sorte que ses

équalions sont de la forme