VA
nombre positif, puisqu'on a évidemment [i-^v^- Or d/( diminue ou reste constant quand k augmente, donc Vyt ne diminue jamais quand k augmente, et, à partir d'une valeur assez grande, garde une valeur constante v. A partir de cette valeur de k, on a toujours le même défaut a — v.
Supposons que les points I soient des points doubles à tangentes distinctes, en nombre 0 : on aura [a = 10. Or v/f représente le nombre des conditions pour qu'une surface Sa passe par les 0 points, en tout 8 conditions indépendantes, puisque k^n — 2. On a donc va= 0, et par suite
d= IX — vk = ô.
Supposons finalement le cas d'une courbe avec des points triples à tangentes distinctes, qui est le plus intéressant à considérer pour la théorie des surfaces. Il appelle l'attention sur la complication du problème de la recherche du nombre va.
Soit I un point triple ordinaire de G. Une surface Sa doit couper chaque branche de courbe passant par T en deux points, puisqu'une adjointe à une courbe plane en un point triple i coupe chaque branche de cette courbe en deux points confondus en i : donc, six points de rencontre. Il s'agit maintenant de savoir combien de conditions entraîne pour la surface le fait de passer en I et de couper en deux points, confondus en I, chacune des trois branches de G qui passent par I. Deux circonstances dij/'érentes sont possibles.
Si les trois tangentes à C en l ne sont pas dans un même plan, la surface S aura en I trois tangentes non situées dans un même plan; le point I sera un point double pour S, donc quatre conditions. D'ailleurs les points triples donnent des conditions indépendantes, comme on le voit en raisonnant sur les adjointes
LA GÉOMKTRIE SUR UXE COURBE ALGÉBRIQUE. 49
planes [k^n — 2). On a donc
d = IX. —V — it, et !',,= kii— p — 1 1,
t étant le nombre des points triples.
Si les trois tangentes sont dans le même plan, la surface S, tangente en I à deux des tangentes, est tangente à la troisième; le nombre des conditions se réduit à trois, et l'on aura
c? = fA — V = 3 ^, rk=kn— p — Zt.
ET S., ir.
DES SYSTÈMES LINÉAIUES 1)E COUliBES DANS UN PLAN.
I. — Systèmes linéaires de courbes irréductibles dans un plan.
1. Les systèmes linéaires de courbes que nous avons envisagés jusqu'à présent étaient définis a priori par une relation de la forme
OÙ les ^ sont des fonctions entières de x, y, et les h des constantes arbitraires.
Dans ce qui va suivre, nous considérerons un système linéaire comme défini ])ar la manière dont se comportent les courbes qui le composent en des points donnés du plan. Il y a lieu de j)réciser cette définition.
Soit o un point du plan, considérons les courbes passant par o et telles que, leur équation étant mise sous la forme
où C5/ désigne l'ensemble des termes bomogènes de degré i, il existe entre les coefficients des o jusqu'à un certain rang À un certain nombre de relations linéaires et bomogènes. Ces relations peuvent être regardées comme définissant une certaine manière de se comporter de ces courbes en o. En particulier, on exj)rimei'a d'une telle façon que les courbes ont en o, avec une courbe déterminée passant par ce point, un certain nombre d'éléments communs, parmi lesquels en premier lieu le degré de multiplicité. Ceci posé, l'ensemble des courbes d'ordre n, se comportant de manières données en des points donnés o,, Oo, . . . , o^ du plan, constitue un système linéaire, soit
(t) aoQo-f- alQl-^...^-a,.Q,.= o;
DES SYSTEMES LINEAIRES DE COURBES DANS UN PLAN. 5l
et si entre les polynômes Q, de même degré n^ n'existe pas de relation linéaire, homogène et à coefficients constants, on dira que le système est de dimension /•.
Le degré D de ce système linéaire est le nombre des points d'intersection variables de deux courbes arbitraires du système.
Le système linéaire sera complet ou incomplet ^mwdinl que l'on considère l'ensemble tout entier ou une partie de l'ensemble des courbes se comportant de la manière indiquée aux points donnés 0, ... Oh, qui sont appelés les points-bases du système.
La propriété d'un système linéaire
(2) Ao 4^0 + /îi 4^1 + .•.+ /? ,4/-= o,
défini par des fonctions données 'i^o • • • '\r de ^ et jr d'ordre /?, d'être complet ou incomplet, est donc toute relative. 11 faut, pour que cette définition ait un sens, formuler, parmi les points communs à toutes les courbes ^{/, ceux que l'on considère comme pointsbases et le comportement des courbes en ces points. Suivant que l'on prend la totalité ou quelques-uns de ces points, et suivant le comportement choisi, le même système (S) pourra être complet ou incomplet. Il nous arrivera de dire que le système (S) définit un système complet : il faut entendre par là qu'on considère le système qui a comme points-bases tous les points communs aux courbes ^ avec, en ces points, le même comportement que la courbe générale du système (S). Le système complet ainsi défini a alors même genre et même degré que le système (S).
En vertu du théorème de INiJtlier, ces conditions se réduisent toujours à exprimer qu'une courbe a, en des points donnés, une multiplicité ordinaire donnée; c'est ce que nous supposerons dans la suite.
2. Démontrons d'abord que la courbe générale d'un système linéaire irréductible n'a pas de points multiples mobiles. Notons dans (i) un/a/5C<?«^^ arbitraire que nous pouvons écrire
où Qo, Qi sont deux polynômes irréductibles de degré n. On va montrer que les points multiples de (2) ne se déplacent pas quand
52 CHAPITRK m.
le rapport ^ varie. Or, en nn point multiple (^o,J"o) de (2), on a
et, par suite, les points multiples appartiennent aux deux courbes
Si ces deux courbes n'ont pas de partie commune, la proposition est démontrée. Supposons donc que ces deux courbes aient une partie commune, soil F = o, qui ne peut être ni Qo, ni Q,, car si Qo était partie commune, il en serait de même de Q,, à moins que tous les points de la courbe Qo ne satisfassent aux deux
relalions — — = o, - — = o, ce qui n a pas lieu, l^osons
en lous les points de la courbe F, on a, en vertu de (3),
dR dR
dx ' dy
et, par suite, sur cette courbe, la fonction R garde une valeur constante soit R = Ko- La courbe F appartient donc à
(4) Qo-RoQi = o.
D'autre part, la courbe F est une courbe dont tous les points
sont multiples, puisqu on a sur l , \x = Ko, -— = o, — = o. Un
en conclut que Rq est une constante telle que la courbe (4) admette au moins un facteur carré, et est, par suite, une valeur
particulière de la constante — — • Ainsi un point arbitraire d'une courbe F commun aux courbes (3), s'il en existe une, ne peut être point multiple de [XoQo-h H^» Qi = o, quand ^ est arbitraire, et le théorème est démontré.
3. Soit |G«| un syslè me complet d'ordre n. Désignons par A-/^ Je nombre des conditions auxquelles doit satisfaire une courbe d'ordre n pour passer de la manière indiquée parles points-bases. La dimension de |G,/| sera donnée parla formule
(ai +[)(/! + a)
11 peut arriver que A„ dépende de n. Tout d'abord ce nombre ne peut pas décroître avec n, puisque parmi les courbes du système |G,i^, I se trouvent les courbes |C«| et une droite arbitraire. En second lieu le nombre k,i est évidemment au plus égal à la somme des conditions relatives à chaque point-base pris isolément. Il a donc un maximum fini, soit k. Donc à partir d'une certaine valeur de n, on a kn^= k, et l'on a alors
Quand n a la valeur à partir de laquelle k„= k, le système est dit régulier; quand le système n'est pas régulier, la différence k — k,i porte le nom de surabondance.
Indiquons un exemple où kn variera au début avec n. On sait que toutes les courbes du troisième ordre passant par huit points ont un neuvième point commun. Si donc on prend les neuf points communs à un faisceau de courbes du troisième ordre, comme points-bases simples d'un système linéaire, on aura, pour n = 3, rn= I et kn= 8, tandis que, pour n > 4> on a k,i^= 9.
4. Soient \Cn\ un système complet, régulier et irréductible, Tz le genre de la courbe générale, D le degré du système, et r„ sa dimension : // existe une relation importante entre D, ir et rn- On a, en effet, en désignant par \ le degré de multiplicité d'un point-base,
d'où Ton conclut la relation cherchée
T. -f- rn = D +
5. Sur chaque courbe d'un système linéaire complet, régulier ou non, les autres courbes du système déterminent une série re de groupes de points qui porte le nom de série caracté-
mean
ris tique.
La série caractéristique est complète, que le système soit régulier ou non. En effet, l'ensemble des courbes du système forme, par rapport à l'une d'entre elles, l'ensemble des adjointes d'ordre n qui, ayant déjà par définition chaque point multiple d'ordre \ comme point d'ordre X— i, sont, en outre, assujetties à avoir A points d'intersection réunis en un seul en chacun de ces pointsbases. En vertu du théorème démontré précédemment (Ghap. H, n" -4) la série linéaire ainsi déterminée est complète.
Si, en outre, le système linéaire est régulier, la série caractéristique sera non spéciale; car sa dimension est /•,, — i et l'on a
rn
Si le système linéaire n'est pas régulier, la série caractéristique sera spéciale. On a, en eff^et, en désignant par £« la surabondance
'où
Donc : La série caractéristique sera non spéciale ou spéciale suivant que le système linéaire de courbes sera régulier ou
non{*).
La réciproque est évidente : Un système linéaire est régulier ou non suivant que la série caractéristique est non spéciale ou spéciale. En particulier le système linéaire des courbes adjointes d'ordre > m — 3 est régulier.
(') Pour l'étude de la série caractéristique dans l'étude des systèmes linéaires de courbes planes, voir Segrk, Rendiconti di Palevmo, 1887, et Castelnuovo, Mémoires de V Académie de Turin, série II, t. XLII.
6. Le système adjoint à un système linéaire est formé par Fensemble de toiiles les adjointes d'ordre /^ — 3 à une courbe arbitraire du système.
Le système adjoint détermine donc sur chaque courbe du système la série canonique g'^:^!'^.
Il ne faudrait pas croire que Je système adjoint à un système |C„| soit toujours le seul système linéaire pouvant détacher sur Ci la série canonique. Voici un exemple du contraire : Considérons une cubique /^ et une quartique/^ quelconques : elles ont douze points communs A,, Ao, ..., A,2. Prenons ces j)oints comme pointsbases simples d'un système de quartiques. Ces quartiques seront de la forme
(5) (a^+Pj-i-X)/3+/4 = o,
soit un système de dimension 3. Une courbe quelconque de ce système, qu'on peut sup|)oser être y*/,, est découpée par toutes les autres suivant la série caracléristique, laquelle en vertu de l'équation (5) est aussi déterminée par les droites arbitraires
ax + F^7 + 7 = o,
et l'ensemble de ces droites forme le système canonique.
Dans ce cas, la série canonique et la série caractéristique coïncident, et le système linéaire |C/?| est coupé par lui-même suivant la série canonique.
7. Un système complet, somme de deux systèmes complets |C< I et IC2I d'ordres respectifs jn et n, est, par définition, un système d'ordre m -t- n^ ayant comme point-base d'ordre a + v un point base d'ordre [jl de l'un et d'ordre v de l'autre.
Désignons par D,, Do les degrés respectifs des deux systèmes, et soit i le nombre des points d'intersection d'une courbe C, avec une courbe C2 : le degré D du système-somme sera évidemment
D = Di-+-D2-f-2i.
Soient, en effet
aoQo-+- aiQi + . . .= o,
56 CHAPITRE m.
les deux systèmes donnés. Le système
2A//.Q/Pa = o
appartient au système-somme. Il suffît alors de compter le nombre des points d'intersection, en dehors des points-bases, des deux courbes
Le genre de la courbe somme de deux autres, supposée irréductible, est donné par la formule
ainsi qu'il résulte immédiatement des trois relations
8. Tout système algébrique S de courbes planes indécomposables^ tel que, par k points arbitraires du plan^ passe une seule courbe du système, est un système linéaire. — Il existe plusieurs démonstrations de ce ihéorème dues à MM, Gastelnuovo et Enriques, et à M. Humbert ; voici la démonstration de M. Humbert : Admettons que la proposition soit vraie pour A- — i points, nous allons montrer qu'elle est vraie pour A points. En effet, considérons l'ensemble des courbes du système 2 passant par un point A; ce système est infini de l'ordre k — i et, par su,ite, linéaire. Soit
(a) Xi/i+ X2/2 + . . '^'>^kfk= o
ce système. Envisageons alors une courbe fo{oc^ y) z=z o de S ne passant pas par A, et soit B (^05^0) un point quelconque de cette courbe. L'ensemble des courbes de S passant par B forme encore un système linéaire de dimension k — i, qui contient la courbe /„ et les courbes de (a) passant par B : il appartient donc au système linéaire à k dimensions
DES SYSTEMES LINEAIRES DE COURBES DANS UN PLAN. Sj
dans lequel les constantes A sont assujetties à la seule relation
^^ 1 /l ( '^"o , J'o )-!-...-+- Ik//, ( .To , .7o ) == O ,
les coordonnées Xq^ j^o tl" point B satisfaisant seulement à l'équation/o(^, y) = o. On en conclut que toute courbe du système (p), quels que soient les )., appartient à S. Car, pour des \ donnés arbitrairement, on peut choisir un point .rojKo, tel que l'o.n ait à la fois
Toutes les courbes du système (p) appartiennent donc à S et comme par k points du plan ne passe qu'une courbe de ^, on en conclut réciproquement que toute courbe de S appartient à (j3), c'est-à-dire que le système 2 est linéaire.
Il reste à démontrer que le théorème est vrai pour A- = i . Dans ce cas, deux courbes du système ne peuvent se couper qu'en des points fixes. Soient /, et /. deux de ces courbes d'ordre n\ elles ont n- points communs, et toute courbe -i; du système passe par ces points. Or, on peut choisir \ de manière que la courbe
passe par un point de ^|^ en dehors de ces points; cette courbe aura alors n--\- i points communs avec ^ et, par suite, coïncidera avec elle, c'est-à-dire qu'on aura
et le théorème est démontré.
Nous étudierons bientôt pour les surfaces une proposition comprenant comme cas particulier le théorème précédent quand k est supérieur à l'unité.
II. — Systèmes linéaires de genre zéro. Surfaces dont toutes les sections planes sont unicursales.
9. Parmi les systèmes linéaires, il y a lieu de mentionner ceux de genre zéro. Nous en ferons une application à la recherche des surfaces dont toutes les sections planes sont unicursales.
Soit doue un système complet de genre zéro et d'ordre n. On aura d'abord la relation
et, en désignant par /• la dimension du système et D son degré, on a en outre
la surabondance £ étant nulle si le système est régulier. On va voir de suite que s = o. En effet, dans le cas contraire, prenons D + £ points arbitraires du plan ; on pourra, par ces points, faire passer un faisceau de courbes du système. Le nombre des points de rencontre de deux courbes de ce faisceau sera au moins égal à 1').- + D -+- £ ou à n- + £, ce qui exige que l'on ait £ = o.
10. Les transformations de Crcnwna dans le plan fournissent un })rcmicr exemple de systèmes linéaires de genre zéro. Ces transformations sont définies, en coordonnées homogènes, par les équations
(a) I pY r^cp(a-, 7, ^),
( pZ = <\>(or^ y,z),
où p est un facteur de proportionnalité, et où /, cp, 'b désignent trois fondions homogènes de même degré n en œ, y, z, linéairement indépendantes. Elles sont telles qu'à un point (X, Y, Z) ne correspond qu'un ])oint {œ^y,z) et réciproquement. Les deux faisceaux '
n'auront alors qu'un point commun variable avec ). et |a, et des équations (a), on pourra déduire le système (j^)
(?) ' aj:=*(X,Y,Z),
( az= VF(X,Y,Z),
les fonctions F, *, W étant du même ordre v et sans facteur commun.
D'ailleurs, on a évidemment v = /«, puisque, aux points de rencontre de
aa? -F Pj + Y^ = o, avec la courbe
A/+Bcp + G4^= o,
en nombre /i, correspondent les points de rencontre de
avec
AX -t- BY + CZ = o.
De plus, dans le plan (x.y^z), le réseau
A/(a7, jK, ^) + B cp(:r, j, ^) 4- G '^{x, /, ^) = o
est un réseau linéaire de courbes de genre zéro, puisque celte courbe est évidemment unicursale.
11. Nous allons faire une application des résultats qui précèdent à l'élude des siu^f aces dont toutes les sections planes sont unicursales (<). Tout d'abord, on voit aisément qu'^^/ze telle surface est unicursale et peut être représentée par des équations de la forme
Prenons en effet sur la surface supposée d'ordre /?, n — 3 points en ligne droite, et par celte droite faisons passer un plan quelconque. Soit À le paramètre variable dont dépend la position du plan. La courbe d'intersection de la surface et du plan est unicursale; si donc, dans ce plan, on considère un faisceau d'adjointes d'ordre n— i passant parles n — 3 points considérés, ce faisceau rencontrera en un seul point mobile la courbe d'interseclion, dont les coordonnées seront par conséquent des fonctions rationnelles du paramètre variable \k des courbes du faisceau. D'autre part, les coefficients de l'équation du faisceau contiennent rationnellement le paramètre A dont dépend la position du plan; et la conclusion est immédiate.
(•) É. Picard, Siu^ les surfaces dont toutes les sections planes sont unicursales {Bulletin de la Société philomathique de Paris, 1878, et Journal de Crelle, t. 100).
Envisageons maintenant, dans le plan (a, [5, y), le système linéaire
Ce système, par hypothèse, doit être de genre zéro.
Le système linéaire complet (S), défini par le système (S), et dans lequel ce dernier est compris, est de genre zéro et a même degré D que (S).
D'après ce que nous avons dit plus haut, le système complet (S) sera de dimension D + i (' ), et D sera en outre, comme on le voit de suite, égal au degré n de la surface.
Prenons, dans le plan (a, ji, y), D — i points arbitraires
(«1,^1,71), •••• (a])i, Pi)i, Yi,i)
distincts entre eux et différents des points communs aux quatre courbes /. Si m désigne l'ordre des courbes /, nous pouvons trouver une courbe d'ordre m appartenant au système (S) et passant par ces points; cette courbe dépendra de deux paramètres et aura une équation de la forme
X U(a, p, Y) + IX V(a, [i, y) + ^ W(a, [i, y) = o.
Ce réseau est de degré un; il définit par suite une transformation birationnelle, soit
a =33 Ui (X, Y, Z), ji == Vi (X, Y, Z), Y -= W, (X, Y, Z).
Les points fondamentaux de cette transformation, dans le plan (a, P, y), sont d'une part les points-bases du sys|,ème (S) et d'autre part les D — i points fixes (a/, ^/, y,).
En effectuant cette transformation, une courbe arl)itraire de (S) se transforme en une partie fixe commune à toutes les courbes du système, que nous pouvons laisser de côté, et en une partie
(') Dans les Mémoires cités, M. Picard admettait implicitement ce résultat, c'est-à-dire qu'un système complet de genre zéro est régulier : la démonstration en est intuitive, comme on l'a vu au n° 9. M. Guccia a repris depuis, à un tout autre point de vue, l'étude de la réduction des systèmes linéaires de courbes dans plusieurs Mémoires des liendiconti di Palermo (t. I).
variable avec les paramètres du système (S), soit (Si) F(X,Y,Z) = o.
Quant aux courbes particulières
(a) XU -i-[jiVh-vW = o
qui appartiennent à (S), mais qui passent par les points (a/, [B/, y/), elles se transforment, en laissant toujours de côté la partie fixe précédente, en une droite arbitraire XX + piY -l- vZ = o et en D — I droites fixes distinctes correspondant aux points fondamentaux (a/, Pi, y/). Désignant par ^(X, Y, Z) l'ensemble de ces D — i droites, la transformée de (a-) est donc
(a,) (XX + [jlYh-vZ)*(X, Y, Z) = o.
Or, les courbes (S) et (a-) ont D points de rencontre variables, auxquels correspondent évidemment, puisque la courbe générale de (S) ne passe pas par les points (a/, ^3/, y/), les points de rencontre de la courbe F avec la droite XX + uiY-j- vZ = o. D'où l'on conclut déjà que la courbe F est de degré D.
D'autre part, la courbe F est la courbe générale d'un système linéaire de genre zéro, puisque le système (S) est de genre zéro. Elle doit donc avoir un nombre de points multiples fixes équiva-
. ,(D — i)(D — 9.) . , , (D — t)(D — 9.) lent a ^ -> et qui ne peuvent être que les ^^ —
points de rencontie des D — i droites distinctes $ = o.
Le point capital à établir maintenant est que les Y) — i droites formant 4>, sauf le cas D = 4 5 passent par un même point O, et, par suite, que la courbe F a en O un point multiple d'ordre D-i.
Prenons en effet une des D — 1 droites, soit AB, et supposons qu'il V ait sur AB un point multiple d'ordre /?, c'est-à-dire que p — I droites viennent se rencontrer en un même point G de AB. Il reste D — p — i droites qui devront couper AB au même point, car si une des D — p — i droites en question ne coupait pas AB au même point que les autres, ce point serait un point double pour F et il y aurait sur AB un point multiple d'ordre />, un point multiple d'ordre D — p — i, plus un point double, soit en tout
1) | , points. 11 y a donc, dans celte hypothèse, sur AB un point C multiple d'ordre D — p.
Mais prenons une droite CD parmi celles qui passent en G'. Il y a sur C^D, p — i points doubles, plus un point multiple d'ordre D— y9, donc en tout D -+-/? — 2 points de rencontre avec F, et
comme p
faut (lue p =^ 1 pour que ce nombre ne dépasse
Fig. 5.
pas D. Dans ce cas, nous avons sur AB un point double G et un point G' d'ordre D — 2. Mais alors, sur la droite GD, il y aurait D — 2 points doubles, soit fi(D — 1) points de rencontre avec F. Ge nombre n'est inférieur à D que si D = 4, ou D = 3.
D'ailleurs, pour D — 3, il n'y a évidemment pas d'exception. Donc, sauf pour D=:4, 'es droites O, en nombre D — i, concourent en un même point, et ce point est pour F un point multiple d'ordre D — i .
Revenant maintenant aux fonctions/, , /o, /s, /', q"i définissent notre surface, elles se transforment en quatre fonctions F<, Fo, F;,, F.., telles que les quatre courbes F/=o (tî= 1, 2, 3, 4) ont en commun un point multiple d'ordre D — i, on peut supposer que ce soit le point X = o, Y = o, et la surface est alors représentée par des équations de la forme
a;- A,(X, Y) + ZBi(X, Y),
j^ = A,(X,Y) + ZB2(X,Y),
^=.A3(X,Y) + ZB3(X,Y;,
t = A4(X,Y) + ZBi(X, Y),
où les vV sont des fonctions homogènes d'ordre D et les B d'ordre \) — i , c'est-à-dire que la surface est réglée.
Pour D = 4, les trois tlroiles ^I> peuvent former un triangle. J^a surface est alors représentée par les équations
^ = Fi(X,Y,Z), jK = F-2(X, Y,Z), z--=F,{X,Y,Z), / = F,(X,Y,Z),
Pis. 6.
où les F sont des courbes du quatrième ordre avec trois points doubles A, B, C. De telles courbes sont des transformées de coniques, comme on le voit en posant
Les équations de la surface se mettent finalement sous la forme
X = Xi(X', Y', Z'), 7 = X2(X', Y', Z'), z = 1,{X\ Y', Z'), t = Xv(X', Y', Z'),
les X étant des coniques. C'est une surface de Steiner. En résumé :
Les seules sai-faces algébriques dont toutes les sections planes sont unicursales sont les surfaces réglées unicursales et la surface du quatrième degré de Steiner (*).
