Ges remarques faites, nous allons commencer par chercher

(^) La méthode que nous suivons dans cette section est empruntée à un élégant Mémoire de M. Castelnuovo, Sui multipli di una série lineare {Rend, dl Palermo, t. VII).

une relation entre /'a- et ;>.,. Dans ce but, considérons la série résiduelle de G« par rapport à g^, - elle aura la dimension /^ — va, puisque le fait pour une Sa de passer par G,, vaut précisément VA conditions. Mais la série résiduelle considérée contient évidemment la série g'^l;z\^^ ou coïncide avec elle; on aura donc

et par suite

( I ) r/, - r/,, ? 2 X: -f- I , si k < '—— y

(2) /'A— /'A-l^W, SI

30. Proposons-nous maintenant de trouver une valeur limite de h à partir de laquelle on soit assuré que la série g';,\ n'est pas spéciale. Nous en déduirons un résultat extrêmement intéressant relatif au maximum du genre p d'une courbe gauche de degré n.

Considérons toutes les valeurs de k jusqu'à l'entier -/^ immédiatement inférieur à ^'^~ et satisfaisant par suite aux inégalités

n — I ^ ^ n — 1 il Y < —

Ce nombre -/ est le nombre cherché. Nous allons montrer, en effet, que la série découpée sur C par les surfaces de degré /^ n'est

pas spéciale. On a

Supposons que la série gj^ soit spéciale. Projetons la courbe C sur un plan en prenant comme point de vue un point A de cette courbe. Nous aurons une courbe C d'ordre /i — i et sur cette courbe une série ^[l^-, projection de la série considérée qui devrait être spéciale. Une droite D arbitraire du plan détermine avec le point A un plan qui coupe C suivant une G„ qui a v.^ points indépendants. Donc, un groupe au moins de la série g' pourrait contenir v-^-i points de CJ pris sur la droite D sans contenir les autres points de rencontre. La chose est impossible si la série est spéciale, puisque v-/— i est au moins égal à ai — 3, et qu'une

adjointe d'ordre {n — i) — 3 qui passe par n — 3 points en ligne droite doit contenir la droite. La série g'^^i- n'est donc pas spéciale.

31. Appliquons le théorème de Riemann-Roch. La série peut ne pas être complète; désignons par d^/^^o son défaut. On a, puisque la série n'est pas spéciale,

D'autre part, écrivons toutes les inégalités (i) depuis la valeur r^ = 3 jusqu'à r^ et ajoutons-les-, on trouve

donc

dx=yJn — '^ — yj-p,

d'où la conclusion que nous avions en vue, puisque d^^^o; un maximum du genre p d'une courbe gauche de degré n est donné par la relation

Ce remarquable résultat est dû à M. Gastelnuovo (Mémoire cité).

32. IJ est intéressant de comparer ce résultat avec un théorème obtenu par Halphen. Celui-ci a établi ( ' ) que le nombre maximum des points doubles apparents d'une courbe gauche de degré n^ sans points singuliers, est le plus grand entier contenu dans

Comparons ces deux résultats : soit h le nombre des

points doubles apparents de la courbe C, supposée sans points

singuliers. On a alors

donc

h> ^ ^^ -' - xin - '1 - x)-

Si AZ =r^ 2À + i, on a

( ' ) HALniEN, Mémoire sur la classification des courbes gauches algébriques {Journ. de l'École Polytechnique, 1882).

et

les résultats sont identiques.

Si n = 2 À, on a encore

y ^ X — I , et

Le théorème d'Halphen se trouve établi et est donc compris, comme cas particulier, dans le résultat obtenu par M. Castelnuovo.

On peut remarquer que le minimum de h (ou le maxnnum de p) peut être atteint. Si n = 9A, il suffit, pour le voir, de considérer une surface du second degré et une surface d'ordre X. Le nombre des points doubles apparents de la courbe d'intersection étant, dans le cas général, donné par la formule connue

on aura, pour v = 2,

Si n = 2I + I, on considère une quadrique et une surface de degré 1 -[- i passant par une droite de la quadrique. Il y a, en dehors de la droite, une courbe d'intersection de degré 2 A -h i : appliquant alors la formule

•2{h — h') = (m — m' ) ( [JL — I) ( V — I)

relative aux deux courbes d'intersection des surfaces S^., Sv, d'ordres j?i et m' {m -h m' = [xv), ayant respectivement h et h' points doubles apparents, on trouve, en faisant /i'=o, m'=i, p. = >. + i,

La réciproque est vraie; pour toute courbe gauche sans point double, ayant le minimum du nombre des points doubles apparents, on peut faire passer une surface du second degré {voir Halphen, loc. cit.), mais la démonstration de ce beau théorème nous entraînerait trop loin de notre sujet.

33. Revenons à la série ^J^*.. Nous avons dit que cette série pouvait ne pas être complète, ce dont on se rend très bien compte, puisque, pour déterminer si cette série est complète ou non, il faut envisager la perspective de la courbe sur un plan arbitraire et considérer la série des groupes de points projetés. Une question se pose alors : comment varient les défauts dk de ces séries quand k augmente? INous allons montrer que les défauts d^ vont en diminuant ou restent fixes, quand k augmente^ et qu'il arrive par conséquent un certain moment à partir ducjuel dk reste fixe.

Nous avons vu qu'à partir de la valeur y de A", on est assuré que la série ^-^J. n'est pas spéciale. D'ailleurs, on a

à partir de A" = y 4- i . Donc, en posant

rk= kn—p — dk, on a la relation

kn—p ~dk— [{k — i)/i—p— d/c-i]^n, ou

dkS.dk-i.

En désignant par ti le nombre y {n — 2 — y) considéré plus

haut, on a

dk'^dyj-iz — p.

Par suite, à partir d'une valeur de k assez grande^ on a rfc= kn — p — d^ o'^d'^Tz — />,

d étant un nombre fixe compris entre o et t: — p.

34. On pourrait se proposer de trouver une valeur de A" à partir de laquelle dk a atteint certainement son minimum d. M. Gastelnuovo a démontré (Mémoire cité) que cela a certainement lieu pour

Nous ne démontrerons pas ce résultat; nous allons seulement chercher à obtenir une expression de d^ en prenant pour k un nombre supérieur ou égal à n — 2.

Considérons la perspective F de la courbe gauche C sur un plan, en prenant un point de vue arbitraire O. La courbe F a un certain nombre li de points doubles apparents a^b^c^ . . . correspondant aux couples de points (a,, ^2), (^<, ^2): • • • delà courbe G, puis des points multiples «, projections des points multiples I de cette courbe. Les courbes d'ordre k^n — 2 adjointes à F déterminent

une série complète g^) non spéciale, et l'on a, par suite

Donc, les cônes d'ordre k et de sommet O passant par ces adjointes définissent sur la courbe G une série linéaire de même ordre et de même dimension. Ges cônes passent par les points (a<, «2), ... et par les points multiples L En chaque point I ils coupent la courbe G d'une manière bien déterminée, c'est-à-dire qu'il y a sur chaque branche de la courbe gauche en I autant de points de rencontre qu'en a une adjointe au point i avec la branche correspondante de la courbe F. Considérons alors toutes les surfaces Yl,. d'ordre k passant par («,, «o), • • . par les points I et se comportant, en ces points, de la manière bien déterminée indiquée pour les cônes de même ordre.

Ges surfaces détermineront sur G la même série linéaire g'^^

puisque la série linéaire correspondant à S,, est de même ordre que pour les cônes et que la série relative aux cônes est complète. Envisageons maintenant toutes les surfaces S^ d'ordre k mais passant seulement parles points I, et de la manière indiquée; elles détermineront sur G une série d'ordre

Nous allons montrer que cette série est complète. Il suffit d'établir que le fait, pour une surface S/f, de passer par (^a^^a^)-, (6<, 62), ... équivaut exactement kih conditions ou, en d'autres termes, que ces 2 A points sont bien indépendants relativement à une 2^. Nous avons donc à faire voir qu'une surface 2^ peut passer para,, (/?<, ^^2)7 (^M Co), ... sans passer par <22. Pour cela, considérons dans le plan de F une courbe d'ordre k — \{k — \^n — 3) passant par ^, c, ... et se comportant aux points i comme une adjointe, ce qui est toujours possible, mais ne passant pas

par a. Oo aura alors un cône d'ordre k — t ne passant pas par Oa et rentrant dans les Sy^i. En lui adjoignant un plan passant par a,, et non par a^, on a bien une S/t qui passe par «1, {b^ , ^v), (ci, Co), ... et non par a^.

Donc, les S/f déterminent sur G une série non spéciale complète, d'ordre /^/^,-T- ih et de dimension /^/,. + ih — p.

INous sommes maintenant en mesure de répondre à la question, que nous nous sommes proposée, d'obtenir une expression du défaut d\ nous y parviendrons en prenant pour k un nombre supérieur ou égal à n — 2.

Soit d'abord le cas le pins simple où la courbe gauche G est supposée n^ avoir pas de points multiples. Dans cette hypothèse, les surfaces S^ sont alors les surfaces arbitraires S^ de degré k. Les surfaces S^ déterminent donc sur G une série non spéciale et complète ir''^ : on a

rik = nk^ rk = nk - p

et, par suite, dans ce cas

D'où nous concluons le résultat déjà obtenu au Ghapitre VIII du tome P' : le nombre N/f des conditions exprimant qu'une surface d'ordre k passe par une courbe gauche d'ordre n sans points multiples est égal à

Gonsidérons maintenant le cas où la courbe G a des points multiples. Soit a le nombre des points de rencontre d'une Sa avec G confondus aux points I : si ces points sont à tangentes

distinctes, on a

Les surfaces H^ déterminent sur G une série non spéciale complète. Or on a

n^, = nk — ih — jji..

L'ordre de cette série est donc nk — |jl et sa dimension nk — \^—P' Désignons par va le nombre des conditions qu'il faut imposer à une Sa pour qu'elle devienne une Sa, c'est-à-dire qui expriment qu'une Sa se comporte aux points I de la manière spécifiée plus haut. La dimension /> de la série «j;^. déterminée sur G par toutes

les surfaces Sa- d'ordre k sera alors

TA- r= A/i — [x — /) — v/, ^ /en —p — (\x — V/c).,

et comme nous savons que celte série n'est pas spéciale {k^n — 2), il en résulte que son défaut d/( est

di^.