III. — De l'addition des systèmes complets

18. Définissons ce qu'on entend par système normal somme de deux systèmes donnés, en supposant toujours que ces deux systèmes soient irréductibles.

Soient deux systèmes | C< | et IC2I irréductibles et complets définis respectivement par les deux systèmes de surfaces

aoPo-^ «1 Pi-f-. . .H- a/.P^ :r= o,

PoQo-?lQl + --.-HPr'Qr'=0.

Le système

(I) ^ljj,Vj(l,,^o {/ = i, 1, ..., /•; /rr-i, 2,

définit un système irréductible qui contient totalement toutes les courbes composées C, + Co, mais qui peut ne pas être complet. Envisageons alors le système complet | C | défini par une courbe

DES SYSTÈMES LINÉAIRES DE COURBES SUR LES SURFACES. Io5

Il est complètement déterminé par une courbe C\ et par une courbe Go et, en plus, par les points bases des deux systèmes et le comportement spécifié en ces points.

19. On définit de même un système somme de plusieurs systèmes donnés. Soient | G, |, | G2 |, | G3 1 trois systèmes. Leur somme sera désignée par le symbole

! C ! = i C-f-Go-t-Cal,

et il résulte de la définition même qu'on peut, pour la former, effectuer d'abord la somme de | G< | et de | Go | et ajouter [Gs], qu'on peut intervertir l'ordre des opérations, et remplacer un des systèmes par la somme des systèmes qui peuvent le composer.

Un système double d'un autre |G|, qu'on désigne par la notation I 2G I est le système | G + G |.

Un système multiple d'ordre k de | G |, soit | A G |, est la somme de k systèmes égaux à | G |.

20. Evaluons le degré du système | G | : ce sera celui du système (i), c'est-à-dire le nombre des points d'intersection variables de deux courbes composées telles que G, + G2. Si «< et 723 sont les degrés respectifs de | G, | et |Go|, et si i est le nombre des points variables de rencontre d'une courbe G, et d'une courbe G2, on aura évidemment pour le degré n cherché de | G |

(a) « — /Il -T- n=)-\- 1 i.

21. Une autre relation importante est celle qui lie entre eux les genres des systèmes | G< | et | G2I et du système somme | G|. On l'obtient de la manière suivante :

Soient t:, et tt. les genres respectifs des deux systèmes | G, | et I G. 1, q^ le degré d'une courbe G, et q. le degré d'une courbe G. sur la surface/; soient en outre X, et Xo les ordres respectifs d'un même point-base pour les deux systèmes.

Effectuons la perspective de deux courbes G, et Go et d'une courbe G sur un plan arbitraire. On aura pour la perspective de la courbe G,

/i, étant la part provenant des points multiples situés sur les bgnes multiples de la surface/, et k, le nombre des points doubles apparents.

On aura de même pour la courbe G^

^^ ^ (£^:^0(iizL^ /,^/,, y

La courbe G, étant déterminée par une surface appartenant au système de surfaces adjointes dont l'une détermine la courbe composée G, -h Go, son degré sera égal kq,-\-q.r, elle aura comme points multiples provenant des lignes multiples un nombre de points équivalent à A, + h. points doubles, et ceux provenant des points-bases seront d'ordre \, + A. ; q«ant aux points doubles apparents, leur nombre sera égal à k, + /c,+ H, en désignant par H le nombre des points doubles apparents provenant des droites qui, passant par le point de vue, rencontrent à la fois G, et Go- l^ar suite, on aura ,

^ {qi±q^zill!^JA±^i^-^ __ 1,^ __ /,2 - k, - k. - II 'i

D'ailleurs, si l'on désigne par i le nombre des points mobiles de rencontre d'une G, et d'une Go, on a évidemment

Des relations précédentes, on déduit de suite

C'est la relation que nous avions en vue (*).

22. Les définitions que nous avons données précédemment de système complet et de système somme, et les formules qui s'y rapportent, sont relatives à des systèmes irréductibles bien déterminés, dont la dimension, par conséquent, est au moins égale à un, sans tenir compte de la partie fixe qui se trouve appartenir alors à la courbe résiduelle que nous avons désignée par F. Il y a lieu de voir comment les définitions précédentes devront être modifiées lorsque les systèmes envisagés ne peuvent plus être considérés comme irréductibles.

Tout d'abord, s'il s'agit des systèmes réductibles, sans partie fixe, c'est-à-dire composés des courbes d'un faisceau, on peut; comme pour les systèmes irréductibles, définir un système complet. La notion de système complet somme de deux autres s'ensuit immédiatement, si les deux systèmes ne sont pas relatifs au même faisceau, c'est-à-dire différents. Le système défini par l'équation (i) du n" 18 est alors irréductible, et il existe un système irréductible normal ICj + Gol, somme des systèmes donnés, et dont le degré est égal à 2/, i étant toujours le nombre des points de rencontre variables d'une courbe C| et d'une courbe G2. Si, au contraire, les systèmes | Ci | et | Co | sont tous les deux composés des courbes d'un même faisceau, le système (i) est réductible, et le système somme peut n'être plus irréductible.

IV. — Addition d'un système complet à une courbe fixe ou à un point.

23. Supposons maintenant qu'il s'agisse d'un système irréductible avec partie fixe, qu'on peut représenter par la notation

Go+I G, 1,

(') Cette relation est identique à celle que l'on rencontre dans la théorie des systèmes linéaires de courbes planes. Elle a été étendue aux courbes sur les surfaces par M. Enriqucs qui a fait usage à cet effet de considérations assez délicates sur la connexion des surfaces de Riemann; la vérification directe est immédiate, comme le montre le calcul qu'on vient de lire.

dans laquelle Go désigne la partie fixe et | Ci | l'ensemble des courbes irréductibles.

Par système complet contenant totalement le système précédent, nous entendrons le système le plus ample ajant la courbe composée Co-f-G, comme courbe totale, et comme points-bases les points-bases de | G, |, sans rien spécifier relativement à la courbe Gq. Pour construire ce système, il suffit par Go + G, de faire passer une adjointe 4) d'ordre v suffisamment élevé; soit F la courbe résiduelle en dehors de Go -4- G,; l'ensemble des adjointes d'ordre v passant par Y et ayant, avec la surface /, aux points-bases de | G, |, le comportement voulu, déterminera ce système d'une manière unique. On peut le représenter par lGo-hG< |, Go étant supposé un système de dimension zéro, sans points-bases. U est évident que dans ce cas le degré du système complet n'est pas le même en général que celui du système proposé.

Le système |GoH- Gi | peut d'ailleurs être réductible ou irréductible. G'est ainsi que le système de toutes les surfaces adjointes d'ordre m — 4, qui passent toujours par les courbes exceptionnelles de la surface/, détermine un système complet qui sera réductible si ces courbes existent.

La définition du système somme s'étend d'elle-même. | G, | etlG^I étant deux systèmes quelconques réductibles m non, la somme |C,4-Gol est le système complet le plus ample ayant comme points-bases les points-bases des parties variables de | G, | et de I Gol avec leur comportement.

Remarquons enfin que les formules (a) et ([i), qui donnent le degré et le genre d'un système somme, dans le cas où les systèmes composants sont irréductibles, ne peuvent pas en général être appliquées sans modifications.

24. Donnons encore quelques explications relativement à l'opération qui consiste à ajouter un point à un système linéaire de courbes. Gette locution est fréquemment employée dans les Mémoires de M. Enriques; toutefois, l'éminent géomètre ne nous paraît pas avoir explicitement donné la véritable origine de cette opération.

Envisageons sur la surface / un système linéaire irréductible simple et complet |G| défini par le système de surfaces aoLo -f- aiLi -^. . ,-f-a,.L,. = o,

DES SYSTÈMES LINÉAIRES DE COURBES SUR LES SURFACES. lOCJ

les surfaces L/ étant des surfaces générales du système, ce que l'on peut toujours supposer. Soit O un point simple de / qui soit un point-base d'ordre A du système | G |, et pour simplifier nous admettrons que ce point-base soit unique. Effectuons la transformation birationnelle

qui admettra le point O comme point fondamental. A la surface/ d'ordre m va correspondre une surface /' d'ordre n, si n est le degré du système |G|; au système |G| va correspondre le système I G' I des sections planes de /', qui n'aura pas de points-bases -, au point O correspondra, comme on le voit facilement, une courbe unicursale ù d'ordre )^, qui n'aura pas, en général, de points multiples. Gela posé, par une courbe G' et par ù faisons passer une surface adjointe <ï>' d'ordre v', qui coupe la surface/' suivant une courbe résiduelle F', et envisageons le système de toutes les adjointes d'ordre v' passant par Y'; elles déterminent un système complet I G'-i- Q I de courbes dont le genre iz' se détermine par la formule (P) : si tï est le genre des courbes G et G', comme la courbe ù est de genre zéro, on aura

De plus, la courbe générale de ce système coupe une courbe G' en /z 4- A points, et le système | G' | est déterminé par celles des adjointes <ï>' qui contiennent ù.

Au système | G'+ 0 | correspond sur/ un système complet que l'on désigne par la notation symbolique

IG-f-0|,

et qu'il est facile de définir. Remarquons d'abord que les courbes G sont des courbes particulières quelconques de ce système, bien qu'elles ne soient pas des courbes générales. De plus, ce système ne peut pas avoir d'autres points-bases, s'il en a, que le point O, puisque, sur/', le système |G'-+- 0| n'a pas de points bases; sa courbe générale doit couper une courbe G en /i -H A points variables, et son genre doit être égal à t: + A — i . Gela posé, par une courbe G faisons passer une adjointe ^ d'ordre v, et soit F la

1 lO CHAPITRE V.

courbe résiduelle. Le système | C -f- O | sera défini par l'ensemble des adjointes <ï> d'ordre v passant par F et qui se comportent au point O de telle sorte que la courbe générale d'intersection coupe une courbe G en n-]-\ points variables, ce qui exige que le point O soit pour cette courbe générale d^ intersection un point multiple d^ ordre a — \ et non moindre, puisque, s'il était d'ordre A — 2, il j aurait /i -H 2 A points d'intersection variables. Le genre de cette courbe est d'ailleurs bien égal à tt -[- )v — ^ i , et ce système contient les courbes C comme courbes particulières.

Il résulte de là que le système | C -f- O |, sur /, est le système des courbes de même ordre que les courbes C, et ayant comme points-bases les points-bases de | C |, mais avec un degré de multiplicité inférieur dhine unité. Si donc le point O est de multiplicité un pour I C |, il ne sera pas point-base pour | C -j- O |.

Revenant au système | C'4- Q | sur/', on en conclut encore que ce système coupe Q en X — i points au moins.

Pour évaluer le degré n^ du système | G + O |, on remarquera que le nombre total des points d'intersection de deux courbes (] est égal au nombre total des points d'intersection de deux courbes I G -t- O I ; on aura donc

n -f- a2== ni-\-(l — i;^ d'où

/Il = /i — I -h î X .

Gette valeur est celle que Ton déduirait de la relation (a) en attribuant au point O ou à la courbe 0 un degré égal à — i.

2o. De la définition précédente, on conclut celle du système qu'on représente symboliquement par

iG + OP| (p^X).

On en déduit que le système |G-1-0p|, sur/, est le système des courbes de même ordre que les courbes G, ayant comme pointsbases les points-bases de | G |, mais avec un degré de multiplicité égal à )v — p.

Le degré et le genre du système |G4-0p| se déterminent de suite. On a

Pour p = )., ces deux formules donnent

V. — Soustraction des systèmes complets ; systèmes résiduels.

26. Nous avons défini précédemment ce que l'on devait entendre par système contenu totalement dans un système donné. Nous allons définir maintenant ce que l'on entend par système contenu partiellement dans un système donné.

Soit d'abord un système | C| irréductible et complet défini par des adjointes <ï> qui passent par une courbe résiduelle F et ont, en outre, avec la surface /des comportements convenables en certains points. Une courbe G, qui n'est pas une courbe totale de système | G |, mais par laquelle on peut faire passer au moins une surface <ï>, sera dite une courbe partielle du système; il existe alors au moins une courbe résiduelle G2 de | G | par rapport à Gi , telle que la courbe composée G^+G, soit une courbe G; l'ensemble des courbes G2 forme un système qui est le résiduel de Q\ par rapporta | G |, ce que l'on exprime par la notation symbolique

I G2 I - I G ! —Cl.

Envisageons maintenant deux systèmes irréductibles et complets |G| et |Gi| telles que la courbe générale de |G, | soit une courbe partielle de | G |, on dira que le système \ G, | est contenu partiellement dans |G|. Quelques explications sont nécessaires pour bien préciser cette définition. Nous avons défini ce que l'on entend par système somme | G | de deux systèmes donnés | G, | et | Go |

I G I = ! Cl + C2 I et il résulte de cette définition que chacun des systèmes | G^ | et | Co

est contenu partiellement dans | G | et que chacun d'eux est le résiduel d'une courbe arbitraire de l'autre par rapport à | G|. Nous avons défini aussi ce que l'on devait entendre par système

IGj - IC-f-OPl, (p^X),

O étant un point-base d'ordre ). pour | G, | : dans ce cas, bien que la courbe G, soit une courbe totale de | G |, le système | Gi | sera dit contenu partiellement dans | G|, parce que la courbe générale de I G, I n'est pas une courbe générale de | G |, et | G, | sera dit le système résiduel de Op par rapport à | G |.

Dans le premier de ces deux cas, le système | G) | n'a pas d'autres points-bases que ceux de |G|, et avec une multiplicité au plus égale; dans le second, il a un point-base avec une multiplicité supérieure. D'une manière générale le système | Gi | peut avoir des points-bases qui ne soient pas bases pour | G |, ou des pointsl)ases communs avec multiplicité différente, et la courbe générale de |G| I peut être une courbe totale de |G|. De ces explications, il résulte que de l'égalité

IG2I - :ci-c,

on ne peut pas, en général, déduire

mais que, réciproquement, si la seconde égalité peut être posée, on peut, comme conséquence, écrire la première, ce qui a lieu dans les deux cas spécifiés plus haut. Nous verrons tout à l'heure comment on peut modifier cette représentation symbolique de manière à comprendre tous les cas. ''

27. Démontrons maintenant, relativement aux systèmes linéaires irréductibles contenus partiellement dans un autre, un théorème complètement analogue au théorème démontré au (^hap. II, n" 7, relatif aux séries linéaires dégroupes de points sur une courbe.

Soit un système linéaire irréductible | G | défini par

oij les cp sont des adjointes d'un certain ordre passant par une courbe

DES SYSTÈMES LINÉAIRES DE COURBES SUR LES SURFACES. Il3

résiduelle F, et par des points-bases avec, en ces points, le comportement convenable. Soit | G, | un second système complet irréductible contenu partiellement dans | C|. Il existe, par conséquent, des surfiiccs du système (cp) qui passent par une courbe donnée de I C, |, soit G', , et par les points-bases de ce système avec le comportement voulu. Toutes ces surfaces déterminent un système linéaire complet | G^, |, résiduel de G', par rapport à |G|. Nous allons démontrer que ce sjstème résiduel \ C, \ est indépendant de la courbe C\ de | G| | choisie.

Soit I G!; I le système résiduel d'une seconde courbe Q!\ de | G, 1 par rapport à | G |.

Il suffit évidemment de montrer que T, G', et une courbe G^ sont sur une même adjointe du système (cp). Or, le système j G| est déterminé par les adjointes cp passant par F et une courbe G^. Les trois groupes de courbes ci-dessous sont donc respectivement, par définition, sur une même adjointe es,

Par suite, en appliquant le théorème du reste, on en conclut que (r, G'!,) et G', sont sur une même adjointe, donc que le système résiduel de G', par rapport à | G | est le même que le système résiduel de G'; par rapport à | G | ; c'est ce que nous voulions établir.

En représentant par | G2 | sans accent, le système résiduel, on pourra écrire symboliquement

IG2I- iC i -Ci== I C-G, i.

28. Il résulte aussi de la démonstration précédente^ qu'une courbe G, et une courbe Go étant sur une surface adjointe | cp L la courbe composée G, -\- G2 est une courbe totale de |C|, et que les points-bases pour |G| qui ne sont pas points-bases pour | G, | sont bases pour | Go | avec le degré de multiplicité voulu. La somme I G, -i- Go I différera donc du système |G|, en ce que le premier système a, en outre des points-bases du second, les points-bases de I G, I non bases pour | G |. Désignant par A ces points et par [7. P. ET S., II. 8

11^ CHAIMTHE V.

leur degré de miiltiplicilé, et nous rcpoilanl à ce que nous avons dit relativement à l'addition d'un point, on voit que l'on peut

écrire

|G ! =1g,-+-sa'"-.-Co|

et en déduire