I C2! - IG-G,— ^A[J

29. Des raisonnements analogues à ceux que nous avons faits au n" 21 montrent alors sans difficulté comment les relations (a) et (?) doivent être modifiées. En désignant par n, ai,, /loles degrés respectifs des trois systèmes et par tt, t:, , 71, leurs genres, on a

30. Faisons encore une remarque dont nous aurons à faire usage dans la suite. SoitlC] un système linéaire irréductible ayant des points-bases O de multiplicité \. Nous avons vu que ce système pouvait être déterminé au moyen d'un système de surfaces adjointes ou sous-adjointes. On fait passer par une courbe G une adjointe cp d'ordre v qui détermine une courbe résiduelle T, et l'on envisage parmi toules les adjointes d'ordre v qui passent par Y celles qui se comportent en O de telle sorte que l'intersection avec la surface donnée ait en ce point un point multiple d'ordre X. Laissant de côté cette dernière condition, toutes les adjointes (l'ordre v qui passent par F déterminent un système linéaire, soit [ L|, qui, si l'ordre V est pris suffisamment élevé, est irréductible, n'a

pas de points-bases, et est ce que l'on appelle un^ystème pur. Le système | L | contient partiellement le système 1 G [, et l'on a

|L1 - jG-;- SO^I

I C| = i L- .SO>-i.

Ainsi on peut, et d'une infinité de manières, considérer un système irréductible \C\comme le système résiduel de ses pointshases par rapport à un système pur.

Plus généralement on peut, et d'une infinité de manières, trouver un système pur | L [ contenant partiellement le système | G | et, en désignant par I G, I le système résiduel de 1G| par rapport à |L|, on

aura

I Lj = ! G-f-Gi-f-SO^ I ou

I G| = i L-Gi— S0>^|.

31. Terminons ce Chapitre par une observation importante. Les expressions symboliques dont nous avons fait usage et que nous emploierons encore dans la suite ne sont qii^ un moyen de simplifier le langage et de résumer par un symbole une série d^ opérations faites sur des systèmes linéaires de courbes. Elles n^ ont de valeur qu^ autant que V on a reconnu auparavant que ces opérations ont un sens et qu^ elles sont possibles. Il est donc important de ne jamais leur faire subir une modification sans se reporter aux définitions. Donnons quelques exemples :

Nous avons vu que de l'égalité

|G, |.^|G1-Gi,

on ne peut, en général, pas conclure à l'égalité réciproque

lG|^|Gi-G2|.

Il faut, pour passer de la première égalité symbolique à la seconde, vérifier auparavant que les points-bases de | G | se composent des points bases de | Ci | et des points-bases de | G2 | avec le comportement convenable.

Soit encore le système défini par

! Gi I = I G ^- OH

où O est un point base d'ordre À pour | G |. On le forme en faisant passer par une courbe G une surface adjointe d'ordre v; soit F la courbe résiduelle. Le système | G, | est défini par l'ensemble des surfaces adjointes d'ordre v, passant par F, et par les points bases de I G I avec un comportement convenable, sauf le point O. Or, il peut se faire que, de ces conditions, résulte pour ces surfaces adjointes la nécessité d'avoir le point O comme point-base, et alors le symbole précédent n'a pas de signification.

Considérons encore le cas où quatre systèmes | Gi |, | G2 L 1 G3 1, I G/, I seraient tels que le système somme | G, -f- G2 | serait équivalent au système | G3 + G4 |, en sorte que l'on peut écrire sjmboli-

Il6 CIIAP. V. — DES SYSTÈMES LINÉAIRES DE COURBES SUR LES SURFACES.

quement

On ne peut en déduire l'égalité

que si l'on sait, par ailleurs, que le système | C, | contient partiellement I C3 |, ce qui peut ne pas avoir lieu.

Ces quelques exemples suffiront pour montrer quelles précautions il faut apporter quand on fait usage des expressions symboliques, constamment employées par M. Enriques dans son Mémoire déjà plusieurs fois cité [Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche, J896).

DU SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTÈME LINÉAIRE DE COURBES ET DU GENRE NUMÉRIQUE.

I. - Du système adjoint à un système linéaire sur les surfaces de genre géométrique supérieur à zéro.

\ . Nous nous proposons dans ce Chapitre de définir le système adjoint à un système linéaire de courbes sur une surface, et d'étudier ses propriétés. Cette opération d'adjoiictio/i'^oue unrôJe fondamental dans la théorie des systèmes linéaires de courbes snr une surface. Des relations qui existent entre un système et son adjoint nous déduirons, en particulier, l'invariance du genre numérique d'une surface.

2. Voici d'abord une définition générale : soit sur la surface /(^, y, z) =^ o d'ordre m un système linéaire irréductible | C | de genre tz et de degré n ; on donne le nom de courbes sous-adjointes d'ordre n --Z ^- r au système |C| aux courbes qui jouissent de la propriété de couper une courbe générale C en un groupe de points appartenant à une série g-n^-^-irm-

Cela posé, envisageons en premier lieu le cas où \q système |C| est celui des sections planes de la surface f. Le système des surfaces sous-adjointes d'ordre m — 3 -H r découpe sur cette surface un système de courbes sous-adjointes d'ordre m — 3 + r au système |C|, et nous démontrerons plus tard que réciproquement toute courbe sous-adjointe d'ordre m — 3-+-/' au système des sections planes appartient à ce système. Parmi ces sous-adjointes, les plus intéressantes sont celles d'ordre w — 3, et parmi ces dernières, celles qui sont découpées par les surfaces adjointes d'ordre m — 3 constituent le système adjoint proprement dit au système ] C | des sections planes de /. Ce système est évidemment

Il8 CHAPITRE VI.

compris dans le système sous-adjoint d'ordre m — Set peut coïncider avec lui, si les systèmes des surfaces adjointes et sousadjointes coïncident.

3. Avant de définir le syslcme adjoint à un système linéaire irréductible |C| quelconque sur la surface /, rappelons la définition du système canonique.

Le système canonique | K | sur une surface est déterminé par le système des surfaces canoniques, c'est-à-dire par le système des surfaces adjointes d'ordre m — 4- Ce système peut être réductible : nous avons vu, en effet, qu'il contenait cerrainement comme partie fixe l'ensemble des courbes exceptionnelles d(t la surface/. Sa courbe variable pourrait être elle-même réductible et se décomj)Oser, par suite, en un certain nombre de courbes d'un même faisceau. Ce dernier cas donne lieu à des observations intéressantes, comme nous l'avons vu au Chapitre VllI du Tome I.

4. Soit maintenant |C| un système linéaire donné sur la surface y, que nous supposerons complet, irréductible, simple, de genre t: supérieur à zéro, et de degré n. Nous aurons plus tard quelques restrictions à faire sur ce système. Considérons le système de surfaces qui détermine | C |, soit

(0 aoLo-^ «iLi -•"••• — «rLr^ o

les surfaces L étant des surfaces arbitraires du système, ce que l'on peut toujours supposer. Envisageons un système quelconque à trois dimensions, tel que

{•>■) aoLo-^ «iLi-i- aoLî-H ajLs— o, ^,

et effectuons la transformation

Lio •-'0 ^-'0

A la surface / d'ordre m va correspondre une surface /' d'ordre n. Au système (si) correspondront les sections planes de /', et au système (i) le système complet | C | contenant ces sections planes.

Sur la surface/' le système | G' j a un système adjoint | C^ | dé-

terminé par les surfaces adjoiotes d'ordre n — 3. Le système |Ga| correspondant sur f k | G^| est, par définition, le système adjoint au système | G |.

5. Le svsLème adjoint, ainsi défini, dépend d'une opération effectuée sur une surface-image ; d'où une certaine indétermination apparente, et une difficulté pour établir les relations d'invariance qui existent, sur la surface/, entre un système et son adjoint. On conçoit donc Pintérêt qu'il J a à modifier cette définition de manière à ne faire dépendre le système adjoint que d^ opérations effectuées sur la surface même. On y arrive facilement dans le cas où la surface donnée/ a un genre géométrique pg différent de zéro. G'est ce que nous supposerons tout d'abord dans la suite des théorèmes que nous allons établir. JNous nous réservons de traiter ensuite le cas où le genre géométrique pg de la surface est nul.

6. Gommençons par démontrer l'importante proposition suivante : Une courbe canonique arbitraire Ys. sur f découpe sur la courbe générale d'un système irréductible |G1 un groupe de points qui, ajouté à un groupe de la série caractéristique de |G| et aux points-bases de |G], comptés avec leur degré de multiplicité.^ constitue un groupe de la série canonique g ^-k-i-, Tc étant le genre d'une courbe G.

Soit |K'| le système canonique de la surface/', image de / effectuée au moyen de la transformation (3), et soit O un pointbase multiple d'ordre), du système |G|. A. ce point correspond sur /', comme nous le savons, une courbe exceptionnelle û, unicursale et de degré )v, qui est coupée en), points par une courbe G' image de G. Le système |K'|, déterminé par les adjointes d'ordre n — 4 à/', contient comme partie fixe les courbes 0; on peut le considérer comme la somme |SO-;-K"| des courbes Q, et d'une partie résiduelle |K"| qui peut avoir ou ne pas avoir de partie fixe. D'autre part, il résulte de la relation d'invariance qui existe entre les surfaces adjointes d'ordre m — \ à /et les surfaces adjointes d'ordre n — 4 de la transformée f que le système |R| sur /correspond au système |K.''j sur f .

D'ailleurs les points de rencontre d'une K' et d'une G' sont, dans le plan de G', sur une adjointe d'ordre n — 4> et ces points,

avec n points en ligne droite, c'est-à-dire avec les points de rencontre de deux C, sont snr une adjointe d'ordre /? — ^ 3 à G'. Ils forment, par conséquent, un groupe spécial de 27t — :>. points.

Revenant alors à la surface /, le groupe spécial que nous venons de définir correspondra aux points de rencontre de K et de G, aux points-bases comptés chacun avec leur degré de multiplicité et aux points de rencontre variables de deux courbes G, d'où la proposition énoncée.

7. Nous sommes en mesnre maintenant de définir le système adjoint \Ca\ au système |G;, sur la surface /, par nne série d'opérations elFectuées sur cette surface même, sans recourir à une surface-image. Dans ce but remarquons que, sur la surface y, la courbe composée G' -h K.', ou G' -h 2Q H- K", déterminée par un plan et une adjointe d'ordre n — 4^ est sur une adjointe d'ordre Il — 3 à/'; donc la somme |G' -h K'j, ou la somme |G'-t- SQ ]- K"|, est le système adjoint à '|G'|, comme il résulte de la définition d'un système somme, et à ce système |G'^J correspond sur/ le système adjoint |G„| à |Gj. Or, pour effectuer la somme |G' -t- SU + K"|, on peut, d'après ce que nous avons dit au Ghapitre précédent (Ghap. V, n" 14), effectuer d'abord la somme |G'-|-SO| et lui ajouter [K'' , ce qui, sur la surface /, revient à considérer le système jG-+-SOj et à lui ajouter le système IRj. Le premier de ces deux systèmes n'est autre que le système des courbes d(î même ordre que les courbes G, sur la surface /, et ayant comme points-bases les points-bases de |G;, mais avec un degré de multiplicité inférieur d'une unité, le second système est le svsième canonique de la surface/. ,.

Le système adjoint IG^j est donc la soniuie de ces deux systèmes. // a nécessairement, d'après cette définition, comme points-bases d'ordre A — i tout point-base d'ordre \ de jG] et, en outre, les points-bases de |K| avec leur degré de multiplicité, si ce dernier système en possède. On pourra donc représenter symboliquement le système adjoint par la formule

(a) lGa!-iG-:-20^- Kl

qui résume toutes les opérations qu'il faut effectuer sur la surface/ pour l'obtenir.

SYSTEMIi ADJOINT A UN SYSTEME LINEAIRE DE COURBES. l '2 1

8. De celle définition des adjointes, exprimées par la relation symbolique (a), nous allons déduire nne série de conséquences importantes.

Sur toute surface de genre géométrique différent de zéro, tout système linéaire irréductible, qui admet un système adjoint, est contenu dans cet adjoint et, le système résiduel d' un système par rapport à son adjoint est le système canonique.

Ce résultat peut être exprimé par l'égalité symbolique

9. Soient |C,| et jC^I deux systèmes irréductibles et |G| leur

somme