Sur une inégalité fondamentale relative à un système
contenu partiellement dans un autre.
12. Le système adjoint jG«| détermine sur une courbe générale du système |G| une série de groupes de points appartenant à la série canonique ^.JT-,, mais qui peut ne pas être complète. Désignons par 8(G) son défaut qui va jouer dans la suite un rôle capital, La dimension de cette série sera alors
et c'est aussi la dimension de la série déterminée sur Ja courbe plane G', image de G sur la surface-image/^ de /dont le système des sections planes correspond à |G|, par le système |G^| ou, ce qui revient au même, par les surfaces adjointes d'ordre n — 3 à celte surface /\
La dimension du système |G«| ou du système jG'J est évidemment égale à la dimension de ce système de surfaces adjointes. Gherchons quelle est son expression en fonction de la dimension "^ — ^ I — ô(G) de la série précédente.
Il suffit de remarquer que, si l'on assujettit une surface adjointe d'ordre /Z--3 à passer par tt — 8(G) points pris arbitrairement sur la courbe plane G' de/', en supposant cela possible, cette surface se décomposera en le plan de G' et en une surface adjointe d'ordre /i — 4 que nous supposons exister. Or, p^ étant le genre géométrique delà surface, la dimension du système canonique est/;^— i, et l'on a, par conséquent, pour dimension du système des surfaces adjointes d'ordre ai -^3, ou du système adjoint jG^j de |G|, l'expression
/?^— l-r-- — 0(Gj.
13. Soient |G| et |Gi| deux systèmes linéaires irréductibles sur la surface f^ et soient o(G) et o(G,) les défauts des séries déterminées sur une courbe G et sur une courbe Gi par leurs systèmes adjoints respectifs. Si |Gi| est contenu partiellement
dans |G|, on a
Cet important théorème se démontre de la manière suivante : Soient IG2I le système résiduel de |G,| par rapport à |G|, 71:2 son genre, / le nombre des points de rencontre d'une G, et d'une G. en dehors des points-bases. A, B et a ayant les mêmes significations qu'au n° 11. On a
Remarquons tout d'abord que si l'on considère le système
