G'1 = 1G-SA

dont le système adjoint \C[^\ est défini par

le défaut o(C') correspondant au système \C\ est égal au défaut o(G) correspondant au système |G| : on le vérifie de suite. Substituant le système jC'l au système jCl, on a alors les relations

|G'; = lGi-G2l.

1G;i-|Gi,-G2--SB:,

tt' — TTi -h t:2 -~ i — I , la dimension du système adjoint |C'^1 étant

/> „ -4- Tl' — I — 0 ( G ") ,

et celle du système \Cko\

Or le système \C:^\ étant la somme des deux systèmes \C,a\ et |Co-f-SBi, le système \C,a\ est le résiduel de |G;| par rapport à ICo^-SB;, c'est-à-dire, d'après le théorème démontré (Ghap. V, n^''^i2), le résiduel de |G;,| par rapport à une courbe arbitrairement choisie parmi celles du système IG^+SB] et, par conséquent, par rapport à une courbe Go, puisque, v désignant le degré de multiplicité des points B, le système IGo + SBl est, par définition, le plus ample système ayant les points B comme points-bases d'ordre v — i et que, par conséquent, une courbe G, est une courbe totale de ce système.

La dimension du 'système |G,«1 sera alors égale à la dimension du système |G;,1 diminuée du nombre des conditions qu'il faut imposer à une courbe G'^ pour qu'elle contienne une courbe G,. Ge dernier nombre est égal à la dimension augmentée d'une unité de la série de groupes de points découpés sur une courbe G. par le système |G'^'. Or, une courbe G'^ coupe une courbe G, + Go en '27i'—2 points en dehors des points multiples, et elle coupe une courbe G, en ir., - 2 -h i points, ce nombre étant égal au nombre des points d'intersection de la courbe composée G,«-i-Go+SB

qui définit le sjslènie |C^| et la courbe G, ne passant pas par les points B. La série déterminée par le système |G^| sur C2 est donc de degré

'1 IZ — '2 — ( 2 TIi • — '). -\- i) = -2 71.2 — 2i -|- i.

C'est une série non spéciale, qui peut avoir un défaut s et dont la dimension est, par suite,

•JT2 — -2 H- i-\- Z.

On a donc l'égalité

Pg- -f- TTl I S ( Cl ) — />«. -f- TT I — 0 ( G ) ( TC2 I -h i -h £ ),

d'où

et le théorème est démontré.

III. — Maximum du défaut de la série découpée sur la courbe générale d'un système par son système adjoint.

14. Envisageons sur la surface /"le s^'stème irréductible |G| et ses différents multiples

|'2G|, i3G!, ..., IrGI

A chacun de ces systèmes, soit \f^C\, correspond un système adjoint |(r G)a| qui est défini sur la surface/ par l'égalité symbolique

|(rG)«|=:IrG + K-4-20|.

Mais, en vertu du théorème fondamental de M. Enriques,

puisque

!(rG)| = |G-^(/--i)Gi,

on peut, pour définir le système adjoint à |(/'G)|, écrire

i(rG)«|-;Ga + (/--l)C|.

A ce système correspond, sur la surface-image/' dont le système des sections planes |G'| correspond à |G |, le système

!(/-G')j-Ig;-+-(/'^i)G'|,

et comme une courbe G^^+ (/* — i)G' est déterminée par une sur-

face adjointe d'ordre /i — 3 et par une surface arbitraire d'ordre r — I , on en conclut que le système tout entier est défini sur la surface f par le système des surfaces adjointes d'ordre n — 4 -^ r.

o[r-r-i)G]^S(rG),

c'est-à-dire que le nombre positif ô(/'G), s'il n'est pas nul, ne décroît pas quand r augmente. Nous nous proposons de démontrer que le défaut ô(rG), lorsque r augmente, atteint un maximum, donc que, pour r suffisamment grand, on a l'égalité

Nous venons de voir que le système adjoint l(/'G)a| était défini sur la surface transformée/' par le système des surfaces adjointes d'ordre /i — 4 — '' j'»/'- Soit N„;^;.la dimension de ce système de surfaces; la dimension du système |(rG)a| sera, si /•>4, égale à ce nombre- diminué de la dimension du système de ces surfaces qui contiennent/' et qui sont de la forme 8/', G étant un polynôme arbitraire en x^ r, z d'ordre r — 4. Donc, la dimension du système |(rG)«| est

^^ rt— 4-(-r — ,, •

D'autre part, si, usant d'un procédé bien des 'fois employé, on assujettit une courbe du système adjoint à contenir i:^ — o(/'G) ])oints d'une courbe rG, elle se décomposera en cette courbe et en une courbe du système canonique, si ce système existe, ce que nous supposons. On aura donc, N„i ^= Pg — i étant la dimension du système canonique,

^n-\^r -^ — JN;i 4-T- TC,. — ô(/'G).

Changeant /- en /• -f- i et retranchant, on a

N/t-v4-r-f-i — N/i 4^.^= 7r,.+ i — TT/.-f- o(/-G) — o[(r + i)G] -• — ^- 1

et, en tenant compte de la relation

on obtient finalement Tégalité

Or, nous avons déjà obtenu une expression de cette différence au Chap. IV, n" 23, à propos de l'évaluation de la dimension du système des surfaces adjointes. En désignant par iSi,i-\^r le défaut du système des adjointes planes d'ordre n — 4 -;- r déterminé sur un plan arbitraire par les surfaces adjointes d'ordre n — 4 H~ ''7 nous avons trouvé la relation

AT ivT r(r — 3)

En égalant cette expression à la précédente, on a finalement la relation

(A) 8[(rH-i)G]-8(rG)-(o„,^,^i.

La conclusion est alors immédiate. JNous savons en effet que pour une valeur suffisamment grande de /•, le défaut w s'annule; donc pour une valeur suffisamment grande de /•, on aura l'égalité

o[(/'H-i)G] — o(rG) -G.

16. Ainsi, lorsque r augmente, le défaut 5(rG) relatif au système |rG| ne diminue jamais et atteint un maximum pour une certaine valeur de a*, à partir de laquelle il reste constant. Supposons que le système |G| soit le système des sections planes de la surface f considérée. Quel que soit le système linéaire de courbes |G,| que l'on envisage sur la surface, on peut toujours choisir l'entier r suffisamment grand pour que le système |Gi | soit contenu partiellement dans le système |/G| et, par suite, lel que

l'on ait

8|Gi|5.S(rG).

Mais S (/'G) garde une valeur maximum constante à partir d'une valeur de r suffisamment élevée; donc :

Quel que soit le système |G,| irréductible envisage sur une surface/, le défaut de la série découpée sur la courbe générale de ce système par son système adjoint a une valeur maximum indépendante du système considéré.

De plus, cette valeur maximum est un invariant, car il est bien évident, par la manière même dont nous l'avons définie, qu'elle ne peut pas clianger quand on passe d'une surface à une autre par une transformation biralionnelle.

17. De r invariance du maximum du défaut o(C) résulte r invariance du genre numérique pn de la surface. Reportonsnous au Chap. IV, n° 24 : nous avons trouvé pour le genre géométrique d'une surface d'ordre m, une expression de la forme

et, par définition, le genre numérique /;„ est déterminé par l'égalité ^^^^^

h =rm— 3

/ étant la valeur de h à partir de laquelle les w s'annulent.

Pour montrer l'invariance de /;„, l'invariance de pg élant établie, il suffit de prouver l'invariance de la somme

des défauts des systèmes de courbes découpées sur un plan arbitraire par les surfaces adjointes à / d'ordre supérieur ou égal à m— 3. On y arrive de suite en partant de la relation (A) du

o[(r-;-i)]C— o(/-C) =:to«..4+,.+i

et faisant varier /• depuis la valeur zéro jusqu'à celle qui correspond à 0JA= o. On trouve en ajoutant les relations ainsi obtenues

2 to/,= o(/-G),

8(/'G) étant la valeur maximum considérée qui est invariante. La somme des défauts w est donc an invariant et il en est de même de p,t : c^est ce que nous voulions établir.