Supposons maintenant r>3. On fixera sur la droite a

r— 2 points arbitraires B<, B., B^2 en dehors de /, et par

/• — 3 de ces points, soit Bo, . . . , B^o, on fera passer /• — 3 plans arbitraires p^, • • -, ^^r-^ ne contenant pas a. Les courbes adjointes à la section plane de G de / par un plan a passant par <2, et qui contiennent les points de rencontre de S^ et de a, forment alors un système linéaire de dimension — ~^^ ~l2l. Qn fixera l'une

de ces courbes en l'assujetissant à passer par les points B, à avoir au point Bo deux points confondus avec le plan [^o, etc., et au

l32 CHAPITRE VI.

point B^o, r — 2 points confondus avec le plan ^r-i- Cette courbe ne peut d'ailleurs se décomposer en la courbe C et en une courbe d'ordre /• — 3, car il n'existe pas de courbe d'ordre /* — 3 passant parles points B et ayant en ces points avec les plans 3 le contact spécifié. Donc la courbe adjointe que nous venons de définir, quand le plan a tournera autour de a, sera une surface sous-adjointe d'ordre au moins égal à m — 3 -h /', et l'on démontrera, comme précédemment, que cet ordre est précisément égal à m — 3 4- /', sauf dans les cas exceptionnels que nous avons spécifiés. Le théorème est encore démontré.

23. En nous reportant à un tliéorème démontré au Chap. IV, 11" 15, il résulte encore de la démonstration précédente, qxv ime courbe qui coupe tous les plans cV un fcdsceau suivant un groupe de la série g^r.-^+rmjouit de cette propriété pour un plan arbitraire et est, par suite, une courbe sous-adjointe d'ordre /7i -— 3 -f- /' au système des sections planes de la surface/.

En résumé, toutes les courbes sous-adjointes S^ d'ordre ;^ __ 3 4- /■ au système des sections planes \(^\ de la surface f forment un système linéaire défini par le système de toutes les surfaces sous-adjointes de même dimension /?2 — 3 -1- /•. Ce système est donc un système complet ] S^ |.

24. Considérons maintenant^ sur la surface /', un système linéaire arbitraire | C j, complet, irréductible, simple, de genre tt supérieur à zéro, de degré «, et tel, en outre, qu'il n'existe pas, sur la surface, de faisceaux de courbes ayant, avec ce système, un seul point variable d'intersection. Soit

(i) «oLo-t- «il-i -+-•••" «iI^6--= o

le système de surfaces qui détermine | C | : on peut toujours faire en sorte que les surfaces L soient des surfaces arbitraires du système. Envisageons le système à trois dimensions

(2} aoLo+ «iLi-- ajLa-l- a^Ls^ o

et effectuons la transformation habituelle

Lio L-O ^0

SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTEME LINÉAIRE DE COURBES. l33

qui transforme la surface/en la surface/' d'ordre ii dont le système complet contenant les sections planes correspond au système | G|. Le genre du système transformé sera d'ailleurs égalai, et, d'après les hypothèses faites, la surface/' ne sera pas réglée.

A une sous-adjointe d'ordre n — 3 -i- /' au système | G | sur / correspondra sur/' une sous-adjointe de même ordre au système des sections planes de /', et réciproquement. Donc le système complet I S',, I de toutes les sous-adjointes d'ordre /? — 3 + /• au système |G'| des sections planes de/' a pour correspondant sur/ un système complet | S^ | qui contient toutes les courbes S^ sousadjointes d'ordre n ~ ?> -\~ r au système | G |.

L'indétermination, qui semble exister dans cette définition, par suite du choix particulier des surfaces L qui ont servi à effectuer la transformation, disparaît d'ailleurs d'elle-même, si l'on tient compte de la remarque faite au n" 23, à savoir qu'une courbe qui coupe tous les plans d'un faisceau suivant un groupe de la série ^27i-2+r// jouit de cette propriété pour un plan arbitraire. Si donc, dans la transformation [)récédente, on modifie seulement les surfaces Lo ^"^ Lg, le système | S^. | ne changera pas, et comme d'ailleurs on peut toujours passer d'une surface transformée aune autre par une série de surfaces ayant deux à deux un faisceau commun, on en conclut bien que l' ensemble de toutes les sousadjointes d'ordre n — 3 -|- /• au système \ G | sur f forme un système complet \ S,. | qui est complètement déterminé par le système de toutes les surfaces sous-adjointes d'ordre n — '6 -^ r relatives à une surface d'ordre n image de la surface donnée, que l'on obtient au moyen de quatre surfaces arbitraires linéairement indépendantes du système des surfaces qui détermine le système donné } G |.

25. Si l'on impose aux surfaces sous-adjointes des conditions supplémentaires, si par exemple on considère, au lieu des surfaces sous-adjointes, les surfaces adjointes, il est évident que l'on obtiendra d'autres systèmes complets, d'après la définition même de ces systèmes, qui seront composés uniquement de sousadjointes.

Il résulte du théorème précédent que ces systèmes seront compris partiellement dans le système complet défini au numéro pré-

l34 CHAPITRE VI.

cèdent, qui est formé de toutes les sous-adjointes et que nous appellerons le système total complet des sous-adjointes d'ordre n — 3 -f- /■.

De là résulte encore, et ceci est important, que le système résiduel d'un système partiel de sous-adjointes par rapport au système total ne pourra se composer que de courbes n'ayant avec le système donné ] G| aucune intersection variable, ou bien que le système partiel aura quelques points-bases non bases pour le système total. D'autre part, des courbes n'ayant avec le système |G| aucune intersection variable ne peuvent être que des courbes fixes fondamentales par rapporta ce système. Donc le système résiduel d'un système partiel de sous-adjointes par rapport au système total de ces sous -adjointes ne peut se composer que d' un ensemble de courbes fondamentales et de points fixes.

Nous nous bornerons, dans ce qui va suivre, auK sous-adjointes d' ordre n — 3, que nous désignerons par S sans indice.

26. Voyons maintenant quelles relations existent entre les systèmes sous-adjoints de deux systèmes dont l'un est le résiduel d'une courbe ou d'un troisième système par rapport à l'autre.

Soit 1 G, 1 le système résiduel d'une courbe G^ par rapport à un

système ] G |

j Cl I -- I C ! — Ca.

Si le système \ S ] des sous-adjointes à | G | contient la courbe G., le système résiduel ] S | — G. constitue un système de sous-adjointes à | G|, qui pourra être partiel.ou total, c'està-dire que les courbes de ce système découperont sur une courbe G, arbitrairement clioisie un groupe de la série g-m.-^i^ "^i étant le genre de | G, |.

Pour démontrer ce résultat, remarquons que parmi les surfacesimages/' de / dont le système des sections planes correspond au système | G |, nous pouvons en choisir une telle que l'une de ses sections planes se décompose en deux courbes C\ et G'^ correspondant à la courbe G, arbitrairement choisie et à la courbe Go. Or les points multiples d'une courbe plane G' transformée d'une courbe G appartiennent aux lignes multiples de la surface/'. Il en est de

SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTÈME LINÉAIRE DE COURBES. l35

même pour la courbe C'^ -t- G^, mais elle aura, en outre, i points doubles correspondant aux i points d'intersection variables d'une G, et d'une Ga- Le système | S ] des sous-adjointes à j G | est, par définition, déterminé sur /' par l'ensemble des surfaces sousadjointes <ï>' d'ordre n — 'i. Soient n^ et n^ les ordres respectifs de G'^ et de G', sur/^, en sorte que l'on di n^^n^-^ n^. Gelles des surfaces ^' qui passent par G^, ce qui est possible par hypothèse, détermineront sur f le système |Sj — G'^. Or, chacune de ces surfaces découpe sur le plan de G'^ -i- G'^, en dehors de G.,, une courbe d'ordre n — 3 -- /Zo^^ /^^ — 3, qui est évidemment adjointe à G'^ et coupe, par conséquent, G'^ en 2714-2 points en dehors des i points d'intersection de G'^ et de G^. Or, ces points sont ceux où la courbe d'intersection S — G'^ de la surface ^' envisagée et de f coupe la courbe G'^ ; donc cette courbe S — C^ (et, par suite, sur la surface /, la courbe S — G2) est une sous-adjointe à G,, ce qu'il fallait démontrer.

27. Envisageons encore le cas où un système j Gi | se déduit d'un système j G| par l'adjonction de nouveaux points-bases. Il nous suffira de supposer que l'on adjoint au système | G | un seul pointbase O d'ordre )., en sorte que le système | G, j est défini par

IGil -i G-OM.

Dans cette hypothèse, les sous-adjointes à \ G \ qui ont le point O comme point-base d'ordre ). - i , si cette opération est possible, sont des sous-adjointes à \d\ \.

La démonstration est immédiate. Les sous-adjointes S, sur/, coupent toutes les courbes G, et, par conséquent, la courbe Gi, qui est une courbe totale de | G ], en un même nombre de points. Donc les sous-adjointes S qui ont le point O comme point multiple d'ordre A — i couperont G,, en dehors de ce point multiple et d'une partie commune à toutes les courbes G, en

•2 71 - 1 — XÇk l)

points. Or, si 7u, désigne le genre de G,, on a

l3() CHAPITRE VI.

d'où

2 TT — 2 X ( X I ) — 2 TTi — 2,

et, par suite, les courbes du système \ S — 0^'~' | sont liien des sous-adjointes à | C, |.

28. Si le système | C, | se déduit du système j G j, en imposant au point-base O de j G !, supposé de multiplicité )., une multiplicité supérieure X 4- p, on verrait, par un raisonnement analogue au précédent, que les courbes du système | S — 0? | sont sousadjointes à I G, |.

29. En résumé, soit un système \ C^ \ que l'on déduit d'un système G], en retranchant de ce système un système | Go | et imposant au système résiduel des nouveaux points-bases O d'ordre \ non bases pour | G |, en sorte que l'on peut écrire symboliquement

I Cil :=. I G--Go-lOX|:

si I S I désigne le système total des sous-adjointes à | G j, ou un système partiel, les courbes du système

I S — G,— SQX-i i,

si l'opération ainsi définie est possible, forment un système complet de sous-adjointes à | G, | , qui peut être total ou partiel. S'il est partiel, le système total | S, | sera la somme de ce système partiel et d'un groupe B, de courbes fondamentales pour Gi et parmi lesquelles nous supposerons compris les points-bases appartenant au système partiel et pas au système total. Nous écrirons donc

j Si I - jS— G2-SO>-i-6i i.

30. Les remarques précédentes se rapportent à la soustraction d'une courbe du système sous-adjoint. Envisageons maintenant l'opération de l'addition.

Soit 1 G j — i G, -4- G2 1 le système complet, somme des deux systèmes irréductibles ] G, | et ] G2 !• Nous savons que chacun de ces systèmes peut être considéré comme le résiduel de l'autre par rapport à ] G | (Ghap. V, n° 21). On peut, en particulier, considérer le système ] G, ] comme le résiduel de ] G | par rapport à une

SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTÈME LINÉAIRE DE COURBES. iSj

courbe C,

Soient I Si I le système total des sous-adjointes à | G/| , et | S } celui des sous-adjointes à | C |, Qi un groupe de courbes fondamentales pour'l G, |, on a, en vertu des remarques précédentes (n*" 29),

I Si ! = i S-G2-f-8i I,

puisque le système | G, | n'a pas de points-bases qui n'appartiennent pas à I G |. Ainsi le système | Si | est le résiduel du système I S ^ B, I par rapport à | G2 |.

Supposons, en outre, et cela suffit pour le résultat que nous voulons mettre en évidence, que le système | G2 1 n'ait pas de pointsbases : alors le système | S -f- Qi | sera la somme des deux systèmes |Si 1 et I G^KGhap. V, n-25),

I Si-f-Ca i - i S-f-Gi |,

V. — Des courbes adjointes à un point de vue purement géométrique.

31 . Nous sommes en mesure maintenant de donner la définition du système adjoint à un système donné, telle que l'a formulée M. Enriques (^), sans supposer faite préalablement l^ étude du système canonique.

(') Frederigo Enriques, //i^/'oc^as/o/ie alla Geometria sopra le superficie algebi'ictie (11° 25) [Memojne delta Società ilaliaiia délie Scienze (delta dei XL). série IV^, t. X.

G. Castelnuovo et F. Enriques, Sur quelques résultats récents dans la théorie des surfaces algébriques {Matheni. Annalen, t. XLVIII).

l38 CHAPITRE VI.

En outre des propriétés du système sous-adjoint que nous venons d'établir, il faut admettre, comme point de départ de ces recherches, la possibilité de transformer une surface quelconque en une autre sans singularités dans l'hyperespace, c'est-à-dire en une autre n'ayant que des singularités ordinaires, courbe double et points triples, dans l'espace à trois dimensions. En nous reportant à ce que nous avons dit précédemment sur ce sujet, nous admettons donc la possibilité de définir, sur toute surface, lUi système pu?' non singulier, c'est-à-dire simple, irréductible, sans points-bases ni courbes fondamentales et qui permet d'effectuer la transformation précédente. Il existe une infinité de ces systèmes; nous les désignerons par la notation | M |.

32. Gela posé, le système adjoint \Ma\'A un système |M| pur, non singulier, est, par définition, le système total des sousadjointes à ce système, et les surfaces sous-adjointes qui le déterminent sur la surface transformée (qui n'a que des singularités ordinaires) sont considérées comme des surfaces adjointes.

Cette définition des surfaces adjointes concorde bien, dans ce cas particulier, avec celle que nous avons donnée antérieurement (Chap. IV, n''20).

Appliquons à ces courbes adjointes |M«| les remarques faites dans la section précédente.

Soient |M,j et IMo] deux systèmes purs non singuliers; leur

somme

|M|== IMi+M,]

sera aussi un système pur non singulier. On aura donc, d'après ce que nous avons dit (n" 30), entre les systèmeè'adjoints, qui se confondent avec les systèmes sous-adjoints, non seulement la relation

lM,al = |Ma-M2!,

mais aussi la relation réciproque

lMal = |Mi«-f-Mol-|Mi-f-M2aI,

puisque ces systèmes n'ont pas de courbes fondamentales.

Nous avons supposé que le système |Ma| n'a pas de pointsbases. C'est ce qui a lieu le plus souvent, puisque le système-

SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTÈME LINÉAIRE DE COURBES. l3[)

somme d'un système de sous-adjointes et de ses points-bases forme évidemment un système de sous-adjointes, et que nous avons supposé que le système \Ma\ était le système total des sous-adjointes. Mais, en restant dans la plus grande généralité, il se pourrait que cette opération de l'addition ne fût pas possible, et que le système |M«| eût nécessairement des points-bases. Nous devons donc supposer que les égalités symboliques précédentes sont écrites à des points-bases près.

33. Considérons maintenant un système irréductible arbitraire |G|. On peut toujours supposer que ce système est obtenu au moyen d'un système pur non singulier |Mi| en retranchant de ce système un système irréductible |G'J, et imposant au système résiduel les points-bases O de |G| avec leur degré de multiplicité X, en sorte que l'on peut écrire symboliquement les deux égalités