IV. — Généralités sur les courbes sous-adjointes

18. Nous avons défini, dans les pages qui précèdent, le système adjoint à un système linéaire après avoir défini d'abord les surfaces adjointes et, en particulier, les surfaces canoniques. Puis, supposant l'existence d'un système canonique sur la surface, et nous appuyant sur la propriété d^invariance de ce système qui résultait pour nous de considérations de nature transcendante, nous avons démontré le théorème fondamental de M. Enriques d'où nous avons déduit l'invariance du défaut o(G) et, par suite, l'invariance du genre numérique/?,/.

Lorsque le genre géométrique est nul, si l'on veut suivre la même méthode, on peut bien encore, en se servant de la surfaceimage/' de /, dont le système des sections planes correspond au système donné | C|, définir les courbes adjointes au moyen des surfaces adjointes d'ordre /z — 3 à/'. Mais, revenant ensuite à la surface /, il est difficile de définir, sur cette surface même, les opérations qui permettent de construire les courbes adjointes et d'en déduire ensuite, comme nous l'avons fait, le théorème fondamental de M. Enriques.

Pour éviter cette difficulté, et aussi dans le but d'établir l'invariance du système canonique qu'il n'admet pas comme démontrée, M. Enriques a suivi une voie tout à fait différente de celle que nous avons adoptée, dans la section précédente, pour définir les courbes adjointes. Cette méthode, purement géométrique et algébrique, qui est applicable dans tous les cas (que le genre géométrique soit ou ne soit pas nul), est basée sur l'étude préliminaire des courbes sous-adjointes. Des propriétés fondamentales de ces courbes on conclut d'abord à la définition des courbes adjointes et, contrairement à la voie que nous avons suivie, on définit ensuite les surfaces adjointes et les surfaces canoniques.

Nous allons exposer les principaux points de cette méthode, en ayant en vue surtout le cas où la surface a un genre géométrique nul. Nous montrerons ensuite que, quelque soit le procédé em-

P. ET S., II. g

l3o CHAPITRE VI.

ployé, algébrique ou transcendant, on arrive à un même système canonique et nous aurons établi ainsi un lien entre ces deux manières différentes d'aborder Vétude des surfaces algébriques.

19. Une première remarque, dans cet ordre d'idées, est relative aux surfaces sous-adjointes. Nous avons vu (Chap. IV, n"^ 13 et 14) que les deux définitions, algébrique et transcendante, que l'on peut donner de ces surfaces étaient les mêmes, en ce sens qu'une surface cp qui est telle que sa section plane par un plan arbitraire est l'adjointe de la section plane correspondante de la surface donnée / est telle aussi que l'intégrale double

reste finie à distance finie, sauf en un nombre limité de points, et réciproquement.

Abordons maintenant l'étude des propriétés des courbes sousadjointes.

20. Soit toujours, sur la surface /(^, j, ^) ^ o d'ordre m, un système linéaire irréductible 1 G 1 de genre u et de degré n. Nous avons défini au commencement de ce Chapitre ce que l'on doit entendre par courbes sous-adjointes d'ordre n — '6 -\- r au système jGl. Ce sont des courbes qui jouissent de la propriété de couper une courbe générale C en un groupe de points appartenant à une série g^^^^+m- Nous les désignerons par la notation S,, et par S celles qui sont d'ordre n - 3.

Nous bornant d'abord au cas oii le système \ C | est celui des sections planes de la surface/, nous avons vu que le système des surfaces sous-adjointes d'ordre m-3-+-/- découpait sur cette surface un système j S, | de courbes sous-adjointes, de même ordre, au système | C j des sections planes. Cela résulte de leur définition même. Nous allons montrer que réciproquement toute courbe qui jouit de la propriété de couper un plan arbitraire suivant un 'groupe de la série g2n-2+rm appartient à une surface sousadj ointe d'ordre m - 3 H- r, sauf le cas oii la surface f donnée serait réglée ou serait une surface de Steiner.

SYSTIÎME ADJOINT A UN SYSTEME LINEAIRE DE COURBES. l3l

21. Supposons d'abord r<3. Par une droite arbitraire a qui coupe la surface en m points en dehors de la courbe envisagée S;^, faisons passer un plan a : il coupera la surface suivant une courbe plane G, et les points d'intersection de G et de S,., qui sont ceux de S,- et de a, appartiennent à une série «.Tv-o+^^r- Ges points, dans le cas considéré /•<3, déterminent donc, dans le plan a, une courbe adjointe Cm-'^^.r d'ordre m — 3 + r à G. Lorsque le plan a tourne autour de a, cette courbe engendre une surface sousadjointe à/, qui pourra contenir p fois la droite a, et dont l'ordre sera m — 3 + /• -j- p. Il nous suffit de prouver que p est nécessairement nul.

En effet, dans le cas contraire, l'intersection de la surface sousadjointe que nous venons de construire avec la surface/, se composerait, en dehors de S;, et des courbes multiples, d'une ou de plusieurs courbes passant par les points d'intersection de/et de a, qui, par lijpothèse, n'appartiennent pas à S^. Or, ces courbes ne peuvent être que planes et appartenir à des plans passant par a, sinon un plan quelconque passant par cette droite couperait la courbe S;^ en un point de plus. Ges courbes planes sont, en outre, d'un ordre inférieur à m, puisque l'intersection de la surface sousadjointe par un plan a se compose de la droite a comptée p fois et d'une courbe dont l'ordre est égal à m — 3 + r< /^. Il existerait donc, quelle que soit la droite «, des plans passant par cette droite et coupant la surface /' suivant une courbe réductible, propriété qui n'appartient, d'après ce que nous avons dit (p. 63), qu'aux surfaces réglées et aux surfaces de Steiner du quatrième ordre. Sauf ces cas, on a donc bien p ^= o et le théorème est démontré.