TT-I — 0(G

il. Quant au théorème établissant la relation

du moment que le système |C) | est contenu partiellement dans | G|, il se démontre sans aucun changement.

Pour démontrer ensuite que Le défaut o(rC) lorsque r augmente atteint un maximum, il suffira de remarquer que, dans le cas oix p^^=z o, il n'existe pas de courbe du système adjoint pouvant contenir iZr — S(''G) points d'une courbe /G. La dimension du système |(/'G)«| est donc égale à

et l'on en déduit l'égalité

puis, en passant par les mêmes intermédiaires, la relation

(A) ô[(r--i)G]-S(rG)=:w,,,+,^i

et finalement

OÙ o(/'G) a sa valeur maxima invariante. Donc le genre numérique p,i a bien une valeur invariante dans le cas oùy?,r= o.

Faisons encore une dernière remarque. Nous n'avons établi l'identité qui doit exister entre les surfaces adjointes définies, soit par le procédé transcendant, soit par le procédé algébrique, que dans le cas où la surface n'a que des singularités ordinaires. Mais peu importe, puisque la valeur maxima deû(G) est un invariant, qui convient par conséquent à toutes les surfaces-images, et en particulier à la surface-image qui n'a que des singularités ordinaires. On trouvera donc toujours la même valeur pour/?,;.

li6 CHAPITRE VI.