VII. — Du système bicanonique

42. Une notion très intéressante, et sur laquelle M. Enriques est le premier à avoir appelé l'attention, est celle du système bicanonique, qui joue un rôle fondamental dans la théorie des surfaces rationnelles, et peut fournir, dans bien d'autres cas, de nouveaux caractères invariants de la surface, distincts des nombres pg et pn étudiés précédemment. Nous nous bornerons à donner la définition d'un pareil système et à mettre en évidence ses principales propriétés.

Soient |C,| et IG2I deux systèmes linéaires de courbes sur une surface, et reportons-nous au théorème fondamental de M. Enriques (n« 34) qui est exprimé par la relation symbolique ICa+Go+SO^l-lCoa^-Ci-i-^Oil

d'où l'on conclut

Si le système |C,«| adjoint à |C,| contient ce système, c'est-à-dire si la surface possède un système canonique (/?^-> o), il résulte de la deuxième égalité que le système

(k) |2Gi«-2G,--'2S0i| = |-2G2«-2C2-2S02l

est le double du système canonique; et il ne peut évidemment donner lieu à aucune considération nouvelle.

Mais supposons, au contraire, que la surface soit de genre/?^= o, c'est-à-dire que le système |C,a| ne contienne pas |C, |, il pourra arriver cependant, comme nous le verrons tout à 1 heure par des exemples, que le système |2G,«! contienne le système |2C,|, et qu'on puisse, par conséquent, de l'égalité (i) conclure à l'égalité (A); d'où cet énoncé :

Si une surface algébrique, le double d'un systè/ne linéaire irréductible |Cj, est contenue dans le double de son système adjoint |G«|, il en sera de même pour tout autre système linéaire sur la surface, et le système résiduel de \iC\ par rapport à\'iCa\ est, à des points bases près, le même quel que soit le système |C|.

SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTÈME LINÉAIRE DE COURBES. l^y

Le système

l2Ga— 2G — 220|

est donc un système parfaitement déterminé. C'est à ce système que M. Enriques a donné le nom de système hicanonique. Le nombre P des courbes bicanoniques linéairement indépendantes est évidemment un invariant et s'appelle le higenre de la surface. On pose P = o si le système |2G| n'est pas contenu dans |2C«|, etP=:i, si le système résiduel |2G«— 2G| se compose d'une seule courbe ou si le système 2G« coïncide avec le système 2 G.

43. Relativement à la série de groupes de points qu'une courbe bicanonique découpe sur la courbe générale d'un système irréductible, on a l'énoncé suivant :

Une courbe bicanonique arbitraire découpe sur la courbe générale d'un système irréductible |G| un groupe de points qui, ajouté à deux groupes de la série caractéristique de |G| et aux pointsbases de |G| comptés avec le double de leur degré de multiplicité, constituent un groupe de la série ^^u-/,, r, étant le genre d'une courbe G.

44. Proposons-nous maintenant de construire le système bicanonique sur une surface, s'il existe. Bornons-nous au cas d'une surface qui n'aurait que des singularités ordinaires, courbe double avec points triples, ou plus généralement une courbe multiple ordinaire d'ordre i, sans points isolés, en sorte que les systèmes des surfaces adjointes et sous-adjointes coïncident. Soit |G| le système des sections planes d'une pareille surface. Gherchons quel est le système de surfaces adjointes qui déterminera le système bicanonique. Or, chaque courbe bicanonique coupe une courbe G en 4'n: — 4— 2/^ points, comme il résulte de la remarque précédente (n°43). Ge dernier nombre peut s'écrire sous la forme

\- — \ — in --z^ 2 - — 'H- 2 7: — >. — 111 ~ iT. — 1 -\- ni^n ~ W) — ii^i — i),

d'où l'on conclut que le système bicanonique est découpé par des surfaces adjointes d'ordre n — 3 + /i — 0 = 2/1 — 8, mais non par le système total de ces surlaces. Il faut envisager seulement celles qui, le long de la ligne multiple d'ordre i, ont un comportement tel que les sections, par un plan général, de la surface

j^8 CHAPITRE VI.

considérée et de l'iine de ces surfaces adjoiiiLes aient, aux points de rencontre avec la ligne multiple, i{i— i) points de rencontre condensés en plus des ^(i — 0 points qui s'y trouvent déjà, en vertu de la définition des surfaces adjointes. C'est donc un total de 2i(f — 0 points, qui se réduit, pour i =- 2, à /,. Donc, dans le cas d'une surface n'ayant qu une courbe double avec points triples, le système bicanonicjue est déterminé par celles des surfaces adjointes d'ordre 2/1 — 8 qui admettent la courbe double comme ligne double. Le nombre de ces surfaces biadjointes, linéairement indépendantes et ne contenant pas la surface f, est égal au bigenre (^).

4o. Donnons quelques exemples de surfaces avant le genre géométrique nul et un bigenre P > o.

Considérons d'abord, avec M. Enriques, une surface du sixième ordre ayant pour lignes doubles les six arêtes d'un tétraèdre, et par suite les quatre sommets comme points triples. Une telle surface a une équation de la forme

/2(Xi^3^4, X^X^X;, X^X.X!,, X^X,X^) + ^i ^Ts ^3 ^i ?2 (^1 , ^2, -2^3, -^ ) = «J

où /; et cpo sont des formes quadratiques : la première des produits x.XiXr,,\. . la seconde des variables x^, x., x-.^, Xr,, les faces du tétraèdre ayant pour équations x, ^x.=^ x^, =:x,= o. Cette surface n'a pas de points multiples isolés, et sa section par un plan arbitraire, même passant par un des sommets, est une courbe de genre constant égal à 4- Les surfaces adjointes à une pareille surface doivent passer simplement par les six arêtes du tétraèdre. Il n'existe pas de surface adjointe du second degré;'c'est-à-dire de surface canonique, donc/?^— o.

D'autre part, le nombre des conditions pour qu'une surface de degré n contienne les six arêtes du tétraèdre est égal à 6 /i — 2; le

(') L'importance du bigenre P ressortira suffisamment d'un théorème extrêmement remarquable dû à M. Castelnuovo, que nous ne pouvons malheureusement qu'énoncer ici : La condition nécessaire et suffisante pour qu'une surface soit unicursale est que l'on ait p^^- o,V ^-o (Castelnuovo, Memona preniiata dalla Società Italiana délie Scienze, 1S96). " est bien curieux que l'égalité à zéro de deux nombres invariants relatifs à la surface suffise pour (ju'elle soit unicursale.

SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTEME LINÉAIRE DE COURBES. l/\[)

genre numérique de la surface est donc égal à

(6-0(6 — 9.)(fi — 3) .

Il existe, au contraire, une surface adjointe d'ordre 2n — 8 = 4 passant deux fois par chaque arête du tétraèdre, c'est le système des quatre faces de ce tétraèdre, donc

46. Voici un second exemple dû à M. Caslelnuovo : une surface du septième ordre ayant une droite triple, une conique double ne coupant pas la droite, et trois tacnodes dont les plans tacnodaux passent par la droite, a les caractères pg = p,i= o, et P= a. De plus les courbes bicanoniques variables sont des quartiques elliptiques sur des plans passant par la droite triple.

Voyons d'abord comment on peut construire une pareille surface. Sur une surface cubique générale /a = o, fixons une droite r et une conique A" n'ayant pas de points communs avec la droite. Par /', comme on le voit facilement, passent cinq plans qui sont tangents à /";$ en des points extérieurs à /•. Soient a = o, p = o, Y = o trois de ces plans, A, B, G leurs points de contact, et o = o un plan arbitraire passant par r. La surface

est bien une surface du seplième ordre satisfaisant à l'énoncé.

Une deuxième s'obtient en considérant une surface du. quatrième ordre /, = o, passant doublement par la conique A, touchant les plans a, [^, y, en A, B, G, et à laquelle on adjoint les trois plans aj^Y = o, soit

La surface générale du faisceau

est une surface indécomposable du septième ordre satisfaisant à l'énoncé.

Les surfaces adjointes à une pareille surface sont d'ordre 3, elles doivent passer simplement par la conique A, doublement par

l5o CHAPITRE VI.

la droite /-; chacune de ces surfaces doit donc déjà se décomposer en le plan de la conique k et en deux plans passant par r. Mais la surface possédant trois tacnodes A, B, C, les surfaces adjointes doivent passer par ces points, c'est-à-dire que les deux plans passant par /• devraient les contenir, ce qui n'a pas lieu généralement. Donc il n'existe pas de surface du troisième ordre adjointe à F7, et l'on a par suite

Calculons /?„. Une surface du troisième degré dépend de vingt coefficients. Le nombre des conditions pour qu'une pareille surface ait comme courbe double une droite donnée est égal à 10, pour qu'elle passe par la conique k est égal à 7, et pour qu'elle passe parles points A, B, G égal à 3; soit 20 conditions simples, donc

Pn ■= O.

Une surface biadjointe sera de l'ordre 6, devra passer deux fois ]3ar la conique k et par la droite /', de manière que le nombre des points de rencontre des sections planes correspondantes de cette surface et de la surface F7, condensés au point de rencontre de la dioiteetduplan, soit de 2i(i — i) = 12 (i = 3) : ce qui exige que la surface biadjointe passe trois fois par la droite /' et ait, en outre, en chaque point de cette droite, les mêmes trois plans tangents que la surface F7. Elle doit, en outre, toucher les plans a, p, y aux points A, B, C.

Ces conditions exigent que la surface biadjointe se décompose en le plan de k et en une surface du cinquième ordre cp^ passant trois fois par r avec les mêmes plans tangents que^pT en chaque point de cette droite, une fois par k, et tangente aux plans a, p, y en A, B, C. Or un plan arbitraire passant par r touche F7 en quatre points variables avec le plan puisque la surface F7 n'a pas, comme on le voit facilement, de points quadruples sur /•. Donc ce plan doit toucher aux mêmes quatre points la surface cp5 qui passe trois fois par r. Cela exige que cette surface passe non seulement trois fois mais quatre fois par /•, et par suite, en tenant compte des autres conditions, elle devra se décomposer en le plan de k et en quatre plans passant par r, à savoir les trois plans a, (^, y, et un quatrième plan variable qui détermine sur F7 la partie va-

riable de la courbe bicanoniqiie générale. On a donc bien

et la courbe bicanoniqiie est une qiiartique avec deux points doubles.

47. De la notion de système bicanonique on passe naturellement, ainsi que l'a montré M. Enriques, à la notion des systèmes i fois canoniques^ et qui sont définis de la manière suivante : partant toujours de la relation fondamentale I Gi«-^ G2 1 — I Gsrt H- G]| , en supposant pour plus de simplicité que les systèmes |G| | et IG2I n'ont pas de points-bases, on tire

11 peut arriver que le système |K/| n'existe pas, quel que soit i. On le vérifie de suite pour le plan, pour une surface réglée quelconque et, en général, pour toute surface contenant un système | G| de genre tû, dont deux courbes ont plus de au — 2 intersections variables.

Quelques remarques relatives aux surfaces réglées (i).

48. Nous avons laissé de côté, dans la section précédente, les surfaces réglées et plus généralement les surfaces sur lesquelles existent un système linéaire de courbes | G | et un faisceau de courbes | D |, linéaire ou non, tels que la courbe générale du premier ne soit coupée qu'en un point par la courbe générale du se-

(1) Voir à ce sujet différents passages de Vlntroduzione de M. Enriques, particulièrement les n°' 21 et 24.

l52 CHAPITRE VI.

oond D, qui est alors forcément uniciirsalc. De pareilles surfaces ont d'ailleurs évidemment pour images des surfaces réglées sur lesquelles les courbes correspondant au système | C | sont des directrices.

Nous avons déjà vu (t. I, p. 194) qwe pour ces surfaces, sur lesquelles il existe un faisceau de courbes unicursales, le genre géométrique pg était nul, et nous avons trouvé, pour les surfaces réglées (t. 1, p. 241), une valeur de />„ égale à — i:, tt étant le genre d'une section plane quelconque de la surface.

Pénétrons un peu ^lus avant dans l'étude de ces surfaces, cl demandons-nous si les différents théorèmes qui nous ont servi, dans ce Chapitre, pour établir l'invariance de pn sont applicables aux surfaces réglées. En d'autres termes, l'égalité fondamentale

Pff — Pn= ^W/i

est-elle applicable aux surfaces réglées?

Pour l'établir nous sommes partis de ce fait, à savoir que sur une surface / de degré m, dont | C | est le système des sections planes, le système adjoint au système |(/+i)^l était déterminé parles surfaces adjointes d'ordre ni — 3 + r(Ghap. VI, n°* 14 et 39). Si cette propriété s'applique aux surfaces réglées, on verra facilement, sans qu'il soit besoin d'insister, comment on peut conclure à l'invariance de o(/*C) et aux autres formules fondamentales qui y sont relatives.

Nous nous proposons donc de démontrer que :

Sur une surface réglée d'ordre m, les courbes adjointes au système \{r -^ \)Q\^ |G| étant le système des sections planes, sont les intersections de cette surface, en dehors des courbes multiples, avec les surfaces adjointes d'ordre ni — 3 + r.

49. Voici d'abord un premier lemme relatif aux surfaces qui possèdent un faisceau de courbes unicursales D. Ce faisceau peul ne pas être linéaire, mais il est évident qu'on peut former avec ses courbes un faisceau linéaire de courbes dont chacune sera composée d'un certain nombre s suffisamment grand de courbes D; soit (1) aoMo+aiMi= o,

le système de surfaces, qui détermine ce faisceau.

SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTEME LINÉAIRE DE COURBES. l53

Soit alors sur la surface un système linéaire irréductible | G | de courbes, dont la courbe générale coupe une courbe D en p >- i points variables, et soit

(2) aoLo-r-aiLi-f- o:2L2 + . . .— o,

le système de surfaces qui le détermine, et dont nous ne considérerons qu'un réseau. Au moyen des deux systèmes précédents, on peut, comme nous l'avons vu (t. I, p. 202), obtenir une image F de la surface qui soit telle que les courbes du faisceau (i) correspondent aux sections planes faites sur la surface F par un faisceau de plans passant par une droite a et que les courbes du système |C| soient représentées par les sections planes d'un réseau de plans passant par un point O pris en dehors de a.

La droite a pourra d'ailleurs être une droite multiple de Ja surface F; soit ? son degré de multiplicité. Un plan quelconque passant par a coupera la surface suivant s courbes D, et un plan passant par O coupera une courbe D en p points, de sorte que chacune de ces courbes est, sur la surface F, d'ordre p, cl l'ordre tn de la surface est par suite égal à

De plus, la surface F n'est pas réglée. Le système des courbes adjointes à | G | sera donc compris dans le système des courbes sous-adjointes déterminées par des surfaces sous-adjointes M^w-.t à F, lesquelles ont la droite a comme courbe multiple d'ordre i — I. Une surface ^F„i 3 coupera donc un plan arbitraire passant par a suivant une courbe d'ordre m — 2 — i qui devra être adjointe à la courbe plane correspondante de la surface F, composée de s courbes D. Or une pareille adjointe appartient, comme nous l'avons vu, au système somme de 5 — -i courbes D et d'une adjointe d'ordre m — 2 — i — (>? — i)pz=p — 2 à la çieme courbc D situéc dans le plan considéré. De plus, deux courbes D, qui n'ont aucun point variable d'intersection, ont en commun leurs points multiples, qui appartiennent aux lignes multiples de F, et dont le nombre, puisque la courbe D est unicur-

sale, est équivalent à — — points doubles.

Le nombre des points d'intersection variables d'une pareille

adjointe avec une courbe D sera donc égal à

D'où l'énoncé du lemme que nous avions en vue :

Suj' une surface possédant un faisceau de courbes rationnelles D, les courbes adjointes à un système linéaire irréductible I G I dont la courbe générale est coupée en p points variables par une cou/'beli), coupent cette courbe D en ^ — 2 points au plus.

Nous disons au plus puisque nous avons considéré le système des surfaces sous-adjointes.

50. Gomme première conséquence de ce lemme nous vojons que si 0 = i (c'est le cas des surfaces réglées), le système \ G | n'admettra pas de courbes adjointes. Si, en effet, le système |G| admettait un système adjoint | G^ | le système | 2G | aurait pour système adjoint | G -|- G^ ], dont la courbe générale couperait la courbe D en un point au moins, ce qui est impossible puisqu'une courbe 2 G coupe une courbe D en deux points et qu'une courbe adjointe à | 2G | ne peut couper cette courbe D qu'en p — 2=0 points au plus.

Par suite encore une su/face réglée d'ordre m ne possède pas de surface adjointe d'ordre m — 3.

51. Ge dernier résultat peut d'ailleurs se déduire immédiatement d'une remarque générale relative au nombre des points de rencontre d'une surface adjointe ^m-3+r à F, si elle existe, avec une génératrice de F. Un plan passant par une gérieratrice a coupe en outre la surface F suivant une courbe G d'ordre m — i, qui coupe la génératrice, en deliors des courbes multiples, en un seul point variable avec le plan, de sorte que le nombre des points de rencontre de la génératrice avec les courbes multiples est équivalent km — 2.

D'autre part, la section par ce plan d'une surface adjointe ^,„3+r est une courbe d'ordre m — 3 -f- /' qui passe parles points multiples fixes de G sur la droite a, et s'y comporte comme cette courbe; donc elle eoupe a en r — i points, et, par conséquent :

SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTÈME LINÉAIRE DE COURBES. l55

Les surfaces ^ni-.^+r cidjointes à une surface réglée F d'ordre ni coupent les génératrices, en dehors des courbes multiples, en r — i points variables.

52. Ces préliminaires étant posés, nous sommes en mesure de démontrer la proposition énoncée au n^ 48. Soit G^^^ une courbe adjointe au système |(7' -f-i)G|, c'est-à-dire au système découpé par les surfaces d'ordre r -\- \ . On verrait d'abord facilement qu'elle coupe la section plane générale G en un groupe de points qui appartiennent à une adjointe plane d'ordre m — 3+r. Reprenons alors la proposition démontrée précédemment (n° 20 de ce Ghapitre); en vertu de laquelle toute courbe qui jouit de la propriété de couper un plan arbitraire suivant un groupe de la série §'2n-2+rm appartient à une surface sous-adjointe d'ordre m — 3 4-/^ sauf le cas, laissé de côté, où la surface serait réglée. En procédant de la même manière, on voit d'abord que la courbe G^^^ est la section partielle de F, en dehors des courbes multiples, avec une surface adjointe <ï>„^3^,^^p(p ^ o), et qui peut contenir encore une ou plusieurs courbes planes, appartenant à des plans passant par l'axe d du faisceau de plans qui a servi à construire la surface <I>.

Ges courbes, qui rencontrent la droite <i aux points où elle coupe la surface F, ne peuvent être, dans le cas actuel, que des génératrices de la surface, et, dans tous les cas, ce sont des courbes qui n'ont aucune intersection variable avec le plan général du faisceau. Les points de rencontre variables de la surface ^^ms+r+p avec une génératrice arbitraire, en nombre /* 4- p — ^ i (n" 51), sont donc les points de rencontre variables de cette génératrice et de la courbe G^^^. Or la courbe générale du système [(r -f- i)G | coupe une génératrice en z^- i points, par suite, en vertu du lemme du n° 49, la courbe G^"^^ ne peut couper la génératrice qu'en {r -\- \) — 2 = 7' — i points au plus, ce qui exige p = o, d'où le théorème énoncé (n" 48) et qui complète le théorème du n° 20 :

Sur une surface réglée ou non d' ordre ni, les courbes adjointes au système découpé par les surfaces d^ ordre r-\-\ (r >> o) sont les sections de cette surface, en dehors des courbes multiples, par des surfaces adjointes d'ordre m — 3 + r.

l56 CIIAPITKK M.

53. De ce lliéorème résulte, comme nous Tavons dit, que les différentes propositions que nous avons énoncées relativement à rinvariance de /?« s'appliquent aux surfaces sur lesquelles existe un système linéaire de courbes dont la courbe générale n'est coupée qu'en un point par la courbe générale d'un faisceau de courbes unicursales. Nous en ferons une application au calcul du genre numérique d'une surface réglée.

Une surface réglée d'ordre m a des équations qui peuvent toujours s'écrire sous la forme

X — az -.-p, y =-bz-^ q, ?(^, ?) = o,

a, 6, p, q étant des fonctions rationnelles de a et [ii, et cp(a, p) = o étant une courbe algébrique plane dont le genre tt est le genre d'une section plane de la surface.

A cette surface correspond donc birationnellement le cylindre C2(a, ^f) = o, ou plus généralement un cône d'ordre m, et dont la section plane est de genre -, et dont le genre numérique pn sera celui de la surface réglée.

Nous sommes ramenés ainsi à calculerle genre numérique/? ,; d'un cône d'ordre m avec d droites doubles. Or une surface adjointe d'ordre [Ji a le sommet comme point multiple d'ordre j?i — 2, soit

conditions. Elle doit contenir, en outre, chacune des d droites

doubles, soit

d[ix —I — (rn — •>.)]

conditions. Donc la dimension augmentée de un du système des adjointes d'ordre a est numériquement

(ix-^i)(ix-r~i)(ix-^-^) m(m-i)(m — 2) • > ,^^->

et par suite le genre numérique /^/^([j. = /?i — 4) est égal à

(m — i){fn — o.)(m — 3)

résultat que nous avions obtenu par une autre voie ( t. 1, p. 241).

SYSTEME ADJOIXT A UN SYSTEME LINEAIRE DE COURBES. i'jn

54. Cherchons quelles sont, pour une surface réglée, les valeurs des défauts o(/-G) et W/^.

De la formule

N,„,+,.-.i - ^,«-44-;--+- T. ^ rni -4- a(/-C) — Ô[('r + i)C] + ^l^^fl^,

on conclut, puisqu'une surface réglée n'a ni surface adjointe d'ordre m — 4j ni surface adjointe d'ordre /?^ — 3 (N,„4 == N/„3 = — i),

en faisant /• =: o,

Appliquant ensuite la relation

on trouve

S(G) --^ to„i--i= t;

et enfin de la relation

P^~-Pn= 2 10/,,

qui se réduit ici à

on conclut et par suite

o(G)r-o(2G).^...^ o(rG) = :r.

La valeur maximum de o(/'C) est donc tt, et tous les défauts w/, sont nuls à partir de h =^ m — 2, le premier tOm-z ayant une valeur virtuelle égale à t:.

5o. Terminons par une remarque relativement au système de courbes déterminé sur une surface réglée par les surfaces adjointes d'ordre m — 2. En vertu du théorème démontré (n°51), ces surfaces adjointes ne peuvent couper la surface que suivant des génératrices, puisque le nombre /■ — i des points d'intersection variables est ici égal à zéro (r =: i). D'autre part, nous venons de voir que les surfaces adjointes d'ordre m — 2 coupent un plan arbitraire suivant le système total des adjointes planes de même ordre à la section plane correspondante de la surface réglée (w/»-2=o). Donc le système des surfaces adjointes d^ ordre m — 2 détermine sur cette surface un système de dimension

-^ 2 l- ,71 dont chaque courbe est composée de i-— 2 -y- m génératrices.

Les systèmes de courbes déterminés par les surfaces adjointes d'ordre m — 2 -{- h s'obtiendront successivement en ajoutant au système précédent le système des sections planes jC], le système 1 2C|, . . ., le système \hC\.

Nous avons dit que sur une surface réglée il n'existait pas de système adjoint au système des sections planes d'ordre ni — o, mais il est possible de construire un système de courbes sousadjointes à ces sections planes, composées chacune d'un nombre convenable de génératrices. Le point à remarquer est qu'un pareil système ne peut être obtenu comme la section totale^ en dehors des courbes multiples, de la surface réglée par un système de surfaces adjointes.