III. — Étude de quelques cas particuliers

17. Indiquons quelques exemples de multiplicités fermées. Revenons d'abord aune surface fermée à un trou dans l'espace ordinaire ; soit, dans le plan (^, j^), le rectangle R construit sur Ox et Oy avec les côtés to et to'. Posons

Z = ^(^, jk),

/, cp, '^ étant trois fonctions réelles et continues de x et y, et admettant respectivement pour x q\ y les périodes w et w^ Il est évident alors qu'au rectangle R correspond dans l'espace (X, Y, Z) une certaine surface fermée ; on peut choisir les fonctions/, cp, 'h^ de manière que la surface ne se coupe pas elle-même, et il arrivera, en général, que la surface ne se recouvrira pas elle-même. Au rec-

38 CHAPITRE If.

tangle R correspondra alors une surface qui sera à un trou comme un tore.

Au lieu de faire correspondre à un tore un rectangle, on peut lui faire correspondre un ensemble de deux circonférences

L'ensemble de ces deux courbes forme une variété fermée à deux dimensions, pour laquelle on a évidemment ^, = 3. Toutes les courbes fermées tracées sur cette variété se ramèneront à la courbe obtenue en associant le premier cercle à un point du second, et le second à un point du premier.

Ceci nous conduit à considérer l'ensemble d'une surface spliérique et d'une circonférence

xl-^ xl-^ xl = \, x'^ -+- x7 = I .

On obtient ainsi une variété fermée à trois dimensions, pour laquelle />, et /?2 se calculent facilement. On peut avoir une courbe fermée en prenant un point fixe sur la sphère et en lui associant la circonférence ; quel que soit le point pris sur la sphère, on aura des courbes équivalentes, car on a un continuum à deux dimensions formé par le cercle et une ligne joignant ces deux points, dont la frontière complète est formée par les deux courbes considérées. Je dis que cette courbe est la seule qui donne une période différente de zéro ; il est aisé de voir d'abord qu'elle donne une période différente de zéro ; il suffit de prendre l'intégrale

où 0 est l'angle polaire sur le cercle, c'est-à-dire 'l'intégrale

/x'., dx\ — x\ dx\

dont la valeur est égale à 211 sur la circonférence ; on aura donc une période différente de zéro. Je dis qu'elle est la seule. Concevons une ligne fermée quelconque sur le continuum ; si elle est distincte de celle que nous venons de considérer, nous aurons pour une valeur de ^3 un ou plusieurs points de la courbe situés

sur les cercles

Or, le premier de ces cercles peut, sur la sphère S, se réduire à un point, et notre courbe se trouve donc ramenée à une courbe à laquelle correspond un point déterminé de la sphère et le second cercle tout entier, ou seulement un point de ce second cercle. On aura donc seulement une période et, par suite,

Px = 2.

On calcule de même p^ ; on peut avoir une variété à deux dimensions donnant une période, en associant à un point fixe sur le cercle la sphère tout entière, et l'on démontre, de même que plus haut, que cette période est unique. On a

18. Prenons maintenant un parallélélipède P dans l'espace [x, jr, 5), d'arêtes to, m', ui", et soient /"(^, JK, ^), ^{^, y-, ^), tj^(.r,y, z), y^{jc^y^ z) trois fonctions périodiques par rapport à x avec la période w, par rapport à y avec la période w', et par rapport à ^ avec la période iù" . En posant

Tu =:^ <h { X , y , z) , T = 'l{x,y,z)-

on aura ainsi, en général, dans l'espace (X, Y, Z, T) une certaine multiplicité M fermée à trois dimensions correspondant, d'une manière uniforme, à P. Il est facile de trouver les nombres /?i et P2 correspondant à cette variété. Si l'on joint un point d'une face de P au point homologue de la face opposée, on aura un segment de droite auquel correspond une courbe fermée dans la multiplicité M j on peut donc, dans celle-ci, tracer trois courbes fermées C auxquelles correspondront des intégrales distinctes. Pour toute autre courbe fermée, la valeur d'une intégrale de différentielle totale sera égale à la somme de jiiultiples des intégrales

prises suivant les courbes C; on le voit de suite en revenant au parallélépipède. Une courbe fermée de M sera représentée, par

Fig. 6.

exemple, par deux courbes MN et M'iN', les points M et M' étant deux points homologues des faces ABCD et A'B'C'D', et les points N et N' deux points homologues des faces AA'GC, BB'DD'. L'intégrale prise suivant la courbe considérée sera égale à la somme des intégrales suivant MM' et N'N. Nous aurons donc, par conséquent,

/>! — 1=^3 ou />i = 4-

Glierchons la valeur de /)o ; si l'on mène trois plans parallèles aux faces du parallélépipède, aux trois parallélogrammes ainsi obtenus correspondront dans M des multiplicités fermées à deux dimensions. Ces trois multiplicités ne limiteront aucune j)ortion

de M, comme on le voit de suite et, d'autre part, toute autre variété fermée à deux dimensions se ramènera, par une déformation continue, à une somme de multiples des trois variétés précédentes. 11 suffira déconsidérer la variété à deux dimensions correspondant à la figure ci-dessus, correspondant aux deux portions mnpq et m'n'p'q' \ on aura, comme valeur de l'intégrale, la somme des

SUR LÀ GÉOMÉTRIE DE SITUATION. 4l

intégrales correspondant aux faces AA'J3D' et ABGD. Par suite,

on a

Pi = 4-

19. Donnons maintenant des exemples relatifs à des variétés fermées à quatre dimensions. Considérons la variété fermée à quatre dimensions Ej définie par les deux équations

Chaque point de cette variété peut être considéré comme obtenu en associant un point M de la sphère (S) à un point M' de la sphère (S^). Proposons-nous de trouver les nombres /?,, /?o, /?3 correspondant à cette variété.

Il est immédiat que l'on aura /?, — i = o. Car une variété fermée à une dimension s'obtient^ soit en associant un point de l'une des sphères à une courbe fermée tracée sur l'autre, soit en associant point par point deux courbes fermées tracées respectivement sur ces deux surfaces. Dans tous les cas cette variété peut être réduite à un point.

On voit aussi facilement que 7^3 = i . En effet, on peut d'abord obtenir une variété à trois dimensions en associant à chacun des points d'une courbe fermée tracée sur (S) la sphère (S') tout entière, et cette variété peut être réduite à zéro. Plus généralement, à un point (M, x^ , X2^ x^) d'une variété à trois dimensions appartenant à (S) correspondra sur (S') une courbe fermée C, et quand le point M décrira une courbe fermée sur S, la courbe C après s'être déformée reviendra à son point de départ, en engendrant sur la sphère une portion de surface se recouvrant elle-même, et qui, par suite, est encore réductible à zéro.

La détermination de p^ est un peu moins immédiate. Si l'on prend un point M' de S^ et qu'on lui associe la sphère S, on aura un conlinuum fermé à deux dimensions, contenu dans E,; en prenant un point M de S et en lui associant la sphère S', on aura un second continuum fermé. Je dis que par ces deux continuums on ne peut faire passer une variété à trois dimensions ayant ces continuums pour frontière complète; il suffit, pour s'en assurer, de montrer que pour certaines intégrales doubles dans E,,, rem-

plissant les conditions d'intégrabililé, les valeurs sont linéairement indépendantes. Prenons à cet effet l'intégrale

r r dxi dxi , f r dx\ dx'^

où \ est une constante arbitraire, pour laquelle la condition d'mtégrabilité est vérifiée. Sa valeur prise sur S est égale à 4'^; prise sur S', sa valeur est 4^^". Si Ton prend pour \ un nombre incommensurable, on n'aura pas de relation linéaire et homogène à coefficients entiers entre ces deux valeurs, et par suite />, — i sera au moins égal à deux.

On pourrait encore raisonner de la manière suivante : Considérons une courbe fermée appartenant à une variété E3 contenant les deux variétés précédentes. Si elle les rencontre elle devra passer par le point (M, M'), et Ton peut-toujours faire en sorle qu'elle n'ait avec ces deux variétés que ce point commun. Donc ces deux variétés ne forment pas frontière sur E3, et />2— i est au moins égal à deux.

Pour montrer que /?2 — i a effectivement la valeur deux, il suffit de remarquer que toute variété fermée à deux dimensions contenue dans Ej est déterminée soit par un point de S et une surface fermée appartenant à S', qui ne peut être que S' ou une portion de surface se recouvrant elle-même; soit par une courbe fermée contenue dans S à chaque point de laquelle on associe une courbe fermée fixe ou variable tracée sur S'. Dans l'un ou l'autre cas cette variété, si elle ne se réduit pas à l'une des variétés considérées précédemment, se réduit à zéro. Nous n'avons donc que deux variétés distinctes à deux dimensions, et par suite

20. Un autre exemple très intéressant de variété fermée à quatre dimensions sera obtenu en considérant un parallélépipède dans l'espace (jc,,^o, ^3. -^O- ^^'^^ ^^^^ ^^ parallélépipède construit sur les quatre axes O^,, Ox., Ox^,, Ox, avec les longueurs to,, oj., W3, w,; à ce parallélépipède correspond une variété fermée à quatre dimensions dans l'espace à cinq dimensions. C'est un exemple analogue à ceux traités précédemment n"^ 17 et 18. On

voit immédiatement, par des raisonnements analogues à ceux qui ont été faits, que

la généralisation se faisant d'elle-même. Le calcul de /^o n'avait pas son analogue dans les exemples précédents. Je dis que nous pouvons trouver au moins six continuums fermés à deux dimensions donnant des périodes distinctes; considérons en effet dans l'espace (^1, œ.y, x^, Xi) l'intégrale double

k.ik dxi dxk.

les A étant des constantes : la condition d'intégrabilité sera vérifiée dans ces conditions. Or, considérons le continuum fermé correspondant à ^3 et Xr, constants et à x^ et ^2 variant respectivement de o à (0, et de o à too. La période correspondante est

on aura donc de cette façon, pour l'intégrale ci-dessus, les six périodes

^ik^Hàk {i, >t = I, 2, 3, \){i^k).

Nous allons «voir maintenant qu'il ne peut v avoir plus de six périodes. Si, en effet, nous considérons d'abord une variété fermée à deux dimensions pour laquelle .r, soit constant, nous serons ramené au cas de trois dimensions et nous avons une période équivalente aux périodes dans lesquelles i et A' sont égaux à un des nombres 2, o, 4. Supposons que x^ ne soit pas constant; pour une valeur de x^ , nous aurons dans le continuum considéré à deux dimensions une certaine courbe fermée G que nous pouvons regarder comme tracée dans l'espace à trois dimensions (^o, ^3? -^4) dans le parallélépipède (coo, Wg, to,). Cette courbe G peut être déformée et remplacée par une somme de courbes correspondant à des parallèles aux arêtes du parallélépipède (tOo, tog, W4); on devra ensuite faire varier x^ , et, si l'on a une période différente de zéro, il faudra nécessairement que x^ varie entre o et to,, et l'on ne retrouve que les périodes précédentes. Par conséquent

21. Comme troisième exemple de variété fermée à quatre dimensions, considérons celle qui serait définie en associant un point d'une surface (S) à /? trous dans l'espace (^<, ^o, ^3) à un point d'une surface (S') k p' trous dans l'espace {x\^ x\^^ ^3).

Nous obtiendrons toutes les variétés à une dimension en associant d'abord à chaque point de (S) une courbe fermée de (S'). Or il existe sur cette dernière ip^ courbes qui ne peuvent se réduire à zéro, et qui, prises ensemble, ne forment pas une frontière complète. En associant un point de (S') à une courbe fermée de (S) on trouve 2/? nouvelles courbes irréductibles ; donc />< ^2/? -f- 2/> -V- 1 • D'ailleurs toute autre variété fermée qui ne se réduit pas à zéro est une somme des variétés précédentes affectées au besoin d'un coefficient n entier. Par suite/), = 2/? + ip' -^ i .

Relativement à /?2 on obtient de suite /\pp' -i- 2 variétés ne formant pas de frontière séparément, à savoir d'abord les deux variétés obtenues en associant à un point de ( S) la surface (S') tout entière et réciproquement. On peut ensuite associer à chacune des ip courbes que l'on peut tracer sur S chacune des ip' courbes que l'on peut tracer sur S', ce qui donne 4 />/>' variétés^ et l'on en conclut

et par suite, on a