IV. — Sur une propriété des multiplicités fermées

Dans les variétés fermées que nous venons d'étudier, une circonstance remarquable s'est présentée. Pour les variétés à trois dimensions que nous avons considérées on avait

et pour les variétés à quatre dimensions

Pi^Pz-

22. C'est là un cas particulier d'un théorème général dont l'énoncé est que : Pour une variété fermée, les nombres de Detti également distants des extrêmes sont égaux. Ainsi, en désignant parE,i une variété fermée d'un nombre quelconque de dimensions,

on a d'une manière générale

Nous allons démontrer ce théorème pour m=i^ mais faisons d'abord quelques remarques générales relatives à l'intersection de deux variétés fermées. Dans ce qui suit nous désignerons par le symbole ( V^) un groupe de variétés d'ordre i.

23. Deux variétés fermées V,,^, Y^-k comprises dans E^ se couperont en général suivant une variété d'ordre n — h — A-, mais cet ordre pourra être plus élevé si elles appartiennent toutes deux à une variété V^ comprise dans E/^.

On en conclut que, dans une variété E^, on pourra toujours disposer des variétés V/ et V^ de manière qu'elles ne se coupent pas, si la somme i -{- k est inférieure à n.

Si l'on considère un certain nombre de variétés de mêmes dimensions comprises dans E;^, soit V^^,, V^, ..., on peut toujours, au moyen de ces variétés, en former une seule, en les réunissant deux à deux par une variété du même ordre dont toutes les dimensions, sauf une, sont très petites.

24. Deux variétés du même ordre V,',^ et V;^ comprises dans E,t ont en général comme intersection un groupe de variétés (V), dont l'ordre est au plus égal à m — i . Ce groupe formera frontière si les deux variétés V^, et VJ, appartiennent à une même variété W,„+, sur laquelle l'une d'elles, soit V^^, forme frontière : en effet toute courbe fermée appartenant à Wm+t et en particulier à V^^ doit couper V^ et par suite (Y') en un nombre pair de points. Ainsi, lorsqu'une variété V^^ ne forme pas frontière dans E„, elle ne peut être considérée comme l'intersection unique de deux variétés fermées formant frontière^ comprises dans E„ : elle ne peut être que l'intersection unique de deux variétés ne formant pas frontière.

Nous admettrons que, dans une variété E„, on puisse toujours, en vertu de la continuité et de la connexion linéaire, considérer une variété Y^ comme l'intersection commune unique de 71 — 1 variétés \ n-i contenues dans E,^. C'est ainsi que, dans l'espace à trois dimensions, on peut toujours, en général, par une

courbe faire passer deux surfaces qui ne se coupent que suivant cette courbe.

D'une manière générale, on peut toujours supposer qu'une variété V/ est l'intersection commune unique de n — '?A -\- \ variétés ¥„/ comprises dans E„. En effet si, par la variété V/, on suppose menées k variétés ¥«/, elles se couperont, en général, suivant une variété d'ordre n — ki] on pourra faire en sorte qu'elles ne se coupent que suivant V^ si n — ki <i i^ c'est-à-dire

si k > ^^^—^- Or, on a /i — 2 i -h I > — r— , du moment que i est

moindre que

2o. Considérons encore une variété V, qui, comme nous venons de le dire, peut être considérée comme l'intersection commune àe n — \ variétés Yn-\- Je dis que, si toutes ces variétés forment frontière, la variété y^ formera frontière. Soicnl

DQS n — 1 variétés, et envisageons les interseclions de la première de ces variétés avec toutes les autres. Nous obtiendrons ainsi n — 2 groupes de variétés V„2, qui n'auront en commun que la variété V<, et chacun d'eux formera frontière sur E„. En continuant ainsi de proche on voit que, lînalement, Y ^ pourra être considéré comme l'intersection commune de deux groupes de

variétés V. ,

(V|), (Vl), •

qui forment respectivement frontière sur E//. D'ailleurs, une des variétés Y^ ne peut avoir en commun, avec le groupe des autres (Vr!) que la variété V,; donc, toute courbe fermée' 'tracée sur V^ doit couper (V^) et, par suite, V, , en un nombre pair de points, et la proposition est établie.

Au lieu d'une seule variété V,, on aurait pu considérer un groupe de ces variétés, et la conclusion est encore la même.

Plus généralement, si l'on envisage un groupe de variétés

comme l'intersection commune à n — ii-\-^ variétés

VA-n V,V.,-, ..., v;;, {\ = n~-ii

SUR LA GÉOMÉTRIE DE SITUATION. 4y

on démontre, sans changer en rien du raisonnement précédent, que, si toutes ces variétés forment frontière, le groupe des variétés Yi formera frontière.

La conclusion finale de cette proposition est que, si un groupe de variétés V,- Jie forme pas frontière, l'une au moins des variétés Y n-i qui le contient ne forme pas frontière.

26. Ces préliminaires étant posés, proposons-nous de démontrer l'égalité

Pi= Pn-\'

Il est d'abord très facile de voir qu'entre/?, Qipn-\ existe la relation

Pi^Pn-i'

Considérons, en effet, les /?«< — i =: X variétés d'ordre /i — i ,

qui ne forment pas frontière sur E„. On pourra passer, par une courbe continue CVd'un point situé d'un côté de la variété V' à un point situé de l'autre côté, sans rencontrer aucune des autres variétés V«<. Soient

Cl, G2, ..., G>^

les À courbes que l'on peut ainsi tracer pour chacune des X variétés Yn-\- Par les pourbes G, on pourra faire passer une variété fermée à deux dimensions, soit Vo, comprise dans E,^. Chacune des variétés \n-\ coupera cette surface suivant au moins une courbe, dont l'une, que je désigne par T^ pour la variété V passe par le point correspondant. Il est clair que T' ne rencontre C'" qu'en un seul point. Donc les C' ne forment pas frontière sur V2, c'est-à-dire sur toute surface fermée qui les contient et par suite sur E/^. On en conclut

Pl^Pn-l'