JJ

où P est un polynôme. Nous arrivons donc à la conclusion suivante :

La surface f{x, y, z) = o n'ayant pas de singularités, et le plan x^a n'étant pas tangent à la surface, une intégrale de seconde espèce de la forme

r / V{x^y,z)dxdy^ ,^^^^ ^^ polynôme)

JJ {x-a)y-/:

se ramène par la soustraction d'intégrales du type

f f (^ -h — ) dxdy (U et V rationnels en x,y et z)

à une intégrale de la forme

ff

fz

P étant toujours un polynôme.

9. Le même théorème subsiste si le plan x =a est tangent à la surface. Nous pouvons le démontrer très facilement en nous reportant au résultat du n'^ 6. Par la soustraction d'une intégrale de forme convenable, nous avons ramené l'intégrale

à la forme

P(a7, jK, z) dx dy {x-a)^fl~

Ç){x,y^ z) dx dy

y^{y)fz

chaque racine b de W(y) correspondant à un point où la courbe

a sa tangente parallèle à l'axe des z. Or, les axes occupant une position arbitraire par rapport à la surface, on peut supposer qu'aucun des plans y = b n'est tangent à la surface. Nous sommes donc ramené au cas précédent (^ el y étant permutés), et nous avons le théorème énoncé à la fin du numéro précédent, même si le plan x ^= a est tangent à la surface.

10. Nous avons supposé que les axes occupent une position arbitraire par rapport à la surface; les plans considérés x =^ a coupaient alors la surface suivant une courbe irréductible. Il est facile d'examiner le cas où il en serait autrement. Supposons que le plan ^ = a coupe la surface suivant une courbe décomposable en deux autres, et soit A un point commun à ces deux courbes. Reprenons l'intégrale

V {x,y, z)dx dy

{x — ayfl

IP

Nous pouvons d'ailleurs, comme plus haut, faire les réductions

qui nous ramèneront à l'intégrale

'F{jr,y, z)dx dy

On peut, dans le voisinage de A, retrancher une intégrale double de la forme

dx ôy I -^

de telle sorte que la différence reste finie dans le voisinage du point. En raisonnant comme au n" 6, on voit que cette dernière intégrale est de la forme

X — a ôy

B{x,y,z)dxdy,

la fraction rationnelle \^{x,y, z) ne devenant pas identiquement infinie sur la section plane x = a. Il n'y a dans tout ceci aucune diflerence avec le n° 6, si ce n'est que dans ce numéro nous nous placions au voisinage d'un point quelconque de la section plane, tandis que nous nous plaçons ici au voisinage du point particulier s\ ; d'ailleurs, la courbe désignée {loc. cit.) par (y) est l'ensemble des deux courbes passant par le point A. On aura donc

\y(y)/z{ci,y,z) Oy

pour l'une et l'autre courbe que définit l'équation /(a, y, z) = o. Or, on peut toujours mettre la fonction rationnelle B{x,y,z) sous la forme

B(x, y, z) = 9lf:-^'^l (Q étant un polynôme),

le polynôme K(^,y) ne contenant pas {x — a) en facteur (sinon È serait infinie au moins sur uue des courbes de la section x = a). Si donc de l'intégrale proposée

P(.r, j, z)dx dy (^ — «)W(7)/I

on retranche

f f± [-1- "l^-^tn d. dy, JJ Oylx-a ii(a,y) J

on aura une intégrale de la forme

Q(x,y, z)dx dy

W(jk) étant un polynôme en jj/." Comme le plan des zx peut être supposé avoir une direction arbitraire, on peut admettre qu'aucun plan de la forme

ne coupe la surface suivant une courbe décomposable (en faisant abstraction de la surface de Steiner et des surfaces réglées), et finalement nous arrivons à la même conclusion qu'au numéro précédent.

Les considérations précédentes peuvent servir, d'une manière plus générale, à faire la réduction de l'intégrale de seconde espèce

P(a7,y, z)dx dy

le polynôme R(^,y) ne contenant pas x — a en facteur; on ramènera cette intégrale, par la soustraction d'une intégrale de la forme déjà plusieurs fois indiquée, à l'intégrale

P(x,y, z)dx dr y{y)H^,y)fy

11. En restant toujours dans le cas d'une surface sans singularités, nous allons considérer une intégrale arbitraire de seconde espèce. Les axes étant pris arbitrairement, nous pouvons supposer que l'intégrale reste en général finie dans le voisinage d'un point pour lequel /2= 05 ^^ P^"s G étant une ligne irréductible de la surface pour les points de laquelle l'intégrale peut devenir infinie,

soit

la courbe irréductible qui est la projection de la ligne G sur le plan des xy. La surface cylindrique

pourra couper la surface / suivant une autre ligne irréductible que la ligne G.

Soit r celle seconde ligne; les courbes C et F ont au moins un point commun à distance finie que nous désignerons par A. L'intégrale double considérée peut évidemment se mettre sous la forme d'une somme d'intégrales du type

(c\ ce ^{^,.r^^)d-vdy

^ ^ JJ W(.r)LK(^,j)JVc'

En effet, toute fraction rationnelle de O!^, y, ^ peut s'écrire

Aix,y,z)

A et B étant deux polynômes, le yjremier en x, y, z, le second en œ ely. En regardant

comme une fraction rationnelle de ^•, on la décomposera en fractions plus simples, dont les dénominateurs, en tant que polynomes en Xy soient premiers entre eux et puissances d'un polynôme en œ et y; mais dans cette décomposition pourront s'introduire au dénominateur des polynômes en j% figurés par W(jk)- Considérons donc l'intégrale (e); dans le voisinage du point A, on doit [)Ouvoir trouver deux fractions rationnelles S(x, y^ z) elT(œ,y^ z) telles que la différence

fjln

\\{y)Yi\{x,r)\y- ôx ùy\ -^

reste finie dans le voisinage de A. En décomposant S et T en frac-

ù'è en

Ox ôy

lions simples, nous avons, pour la somme •- ^' ^^s cléments

de la forme

Wi(7;[p(^,r)P/c

En se bornant, dans S etT, au terme renfermant nécessairement

en dénominateur une puissance de R, nous avons une intégrale de

la forme

P(a7, jK, z)dx dy

W(jK)[K(^,7)j;V'^

SUR LES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. IjJ

qui, dans le voisinage de A (ce point pouvant être exclu), ne devient pas infinie sur la courbe

R(^,jk) = o,

c'est-à-dire sur les deux courbes G et F; il faut donc que

reste finie pour R(^, i^) = o, dans le voisinage de A, et, par suite, soit un polynôme en ^, j^ et ^ (on peut appliquer ici le théorème classique de Nœther, puisque G et F forment l'intersection complète de R = o avec la surface f).

On voit donc que finalement l'intégrale sera ramenée à

et finalement à

Pf.r, r, z)dx dy

SI

fz

Nous avons donc la proposition fondamentale suivante : Si Inéquation

représente une surface sans singularités, toutes les intégrales de seconde espèce relatives à cette surface sont de la forme

If

(ssr ^ S) ^^^ ''^ ^//-'tP^'^^ ''-'''

U etY étant des fonctions rationnelles en x, y et z, et P(^, jK, ,:;) représentant un polynôme.