II. — Remarques générales
5. Commençons par éludier les intégrales de seconde espèce ayant la forme particulière
r rV{x.y,z)dx dv
I I — (^'. a)'^f' ^^" > 0 et P étant un polynôme),
en supposant que la surface de degré m
occupe une position arbitraire par rapport aux axes de coordonnées. Envisageons l'intégrale simple
(5^ rP(a;,y,z)dx
rPU,y,z) J {x-a)\
relative à la courbe entre x el z
où y est un paramètre. On sait que, par la soustraction d'une expression de la forme
dcû \{x — ay^-\
on peut ramener l'intégrale (5) à une intégrale analogue, où a est remplacé par a — i . Toutefois les coefficients du polynôme Q(^, z) en ^ et ^ étant des fractions rationnelles de jk, il figurera dans la nouvelle intégrale, au dénominateur, un polynôme en y. Il importe d'examiner de quelle manière y figure dans ce dénominateur. Soient Zi^ Zo, . . . ^ z^ les m racines de l'équation
le polynôme Q(^^^) est seulement assujetti à vérifier les équations
(a — i)/^(«, J, Zi) Q (a, Zi) -f- P (a, 3^, zt) = o (^ = i, 2, . . ., m).
11 suffira de prendre pour Q(^,z) un polynôme en z de degré
ni — I, et il est clair que ses coefficients contiendront, en dénominateur, le résultant des deux équations
Noire dénominateur admettra donc pour racines simples les valeurs à.e y correspondant aux points de la courbe
où la tangente est parallèle à l'axe des ^, et pour racines doubles les valeurs àe y correspondant aux points doubles de cette courbe, si la courbe n'a que des poinls doubles. Soit d'une manière générale A(j') ce résultant; l'intégrale (4), par la soustraction d'une intégrale de la forme
— - clx dy
dx
(où U est rationnelle en x^y^ z)^ se trouve ramenée à une intégrale de la forme
r r P(.r, v,z) dx rfv
En continuant de la même manière, on arrivera évidemment à une intégrale de la forme
r r P(.r, r, z)dx dy
J J W-ci)\My)V-'jV
P étant toujours un polynôme.
6. Puisque l'intégrale précédente est de seconde espèce, on peut, dans le voisinage d'un point arbitraire de la courbe (')
(y) x^a, fix.y, z)== o,
(*) On peut supposer que cette courbe est indécomposable, car, les axes de coordonnées étant arbitrairement choisis, les plans
X = coast.
coupent tous la surface suivant une seule courbe, en laissant de côté la surface de Steiner et les surfaces réglées, d'après un résultat précédemment énoncé.
SUR LES INTEGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. l65
reiranclier une inlégrale double de la forme
^ ~c- ) dx dy
^^ôx ùy '
de telle sorte que la différence reste finie dans le voisinage du point. Les fractions rationnelles U et V sont nécessairement de la forme
{X ~ ay^ ' (x — a)V'
A et B étant encore des fractions rationnelles, mais qui ne deviennent pas infinies, et nous supposons que B ne s'annule pas identiquement sur la courbe y.
Six est supérieur à p. — i, A s'annule nécessairement pour X = a^ et par suite on peut, de proche en proche, réduire \ à p. — I. On peut d'ailleurs dans tous les cas supposer
en multipliant, s'il est nécessaire, les deux termes de U par une puissance de x — a.
Nous avons donc l'expression
(3) A r A(^r.^) ] ^ d rB(x,y,z)-]
dxl{x~~a)V--^j dyl (x — a)\'' j
Si a est supérieur à un^ la différence
{lj. — i)A(x,y,z)-i- —B(x,y,z)
s'annulera nécessairement pour la courbe (y), c'est-à-dire que l'on aura
-([^-i)A(a,jK,0--|;B(«,7,r)-o [avec /(a, j^, Q ^ o].
On en conclut que l'expression (o), qui peut s'écrire
dx\^{x— a)[^-i fjL — 1 dy (x
^ à rB{x,y,z) ^ I d ^7l{^ — ^)^ IJ- — i àx {
à rBix,y,z) I d B(x,y,z)-\
l66 CHAPITRE VII.
est de même forme que (o), sauf que [x j est remplacé par ^ — i. Donc, en allant de proche en proche, on peut supposer jj. = i, et, par suite, la différence
doit s'annuler pour x = a. On en conclut que
[A(7)J-7^ ày ^ '•^''''
î; étant la fonction de y définie par /(«, y, ^ == o. La fonction rationnelle B(a,y, ^) pourra nécessairement se mettre sous la forme
S et U étant des polynômes, et les racines de V (y) appartenant à A(jk). Ceci posé, formons la différence
JJ {x-a){ù.yr-'fl J J ày {x-a)\}{y) Elle sera de la forme
Q et V étant des polynômes et les racines de W{y) appartenant
àA(jK).
in. — Première réduction, dans le cas des surfaces sans singularités.
7. Les transformations précédentes vont bientôt nous être utiles. Nous allons maintenant revenir à l'intégrale
JJ (^=^F/r"^^'
supposée de seconde espèce, en supposant que la surface n'ait pas de singularités. Considérons d'abord le cas où le plan x^a
n'est pas tangent à la surface. Il va être facile dans ce cas d'effectuer une réduction en supposant a > i. Je dis qu'on peut déterminer deux />o/jK/zom6^5 A (^, JK, ^) et B(^,7, ^), de telle sorte que l'intégrale
JJ l{^ — a)^f'z àx{x-ay^-^ Oy{x — a)^i
soit de même forme que l'intégrale initiale, a étant remplacé par a — I . Il suffira que
passe par la courbe x=^ a, /(^, y-, z) = o.
Prenons pour A et B des polynômes en y et t^; l'expression
P{a,r, 0 + (a ~ ,) A/;'-(/^g -/; dç)
devra être divisible par f{a, y, Ç); ou bien encore, y et Ç étant deux lettres indépendantes, il faut mettre le polynôme P(«, JK, Ç) sous la forme
P(«, y, 0 = ^fy -^ l^fi + '^f [où/ désigne /(a,7, 0];
\j |ji et V étant des polynômes en y et Ç.
Or, puisque le plan x = a n'est pas tangent à la surface, la courbe /(«, JK, Ç) = o n'a pas de points multiples : les trois polynômes f, fr^fi ^^ s'annulent pas simultanément. De plus on peut toujours supposer que les solutions communes aux deux équations
/=zo, fi = o
sont des solutions simples; il suffit que l'axe des Ç ne soit pas parallèle à une tangente d'inflexion de la courbe /(a, jk, 0 ==" ^* Ceci posé, on peut choisir le polynôme )^(jK, Q de manière que la différence
s'annule pour les points communs à
l68 CHAPITRE VII.
On aura donc
a et V étant des polynômes en y et t, et de là se tirent A et B.
Nous pouvons donc conclure que, sous les hypothèses faites, l'intégrale proposée se ramène à
r rP{x,y,z)dxdj
8. L'intégrale étant de seconde espèce, nous pouvons faire une réduction encore plus complète. En raisonnant comme au n° G, on voit que l'on doit avoir
La fraction rationnelle B(rt, j, t) sera nécessairement un polynôme S(y,0 en y etÇ [la courbe /(«,j, 0 = 0 n'ayant pas de point double]. Si Ton considère alors la différence
elle sera de la forme
r rP(.T, r,z) dx dy
