J'envisa<;e les expressions de la forme

U et V étant des polynômes en œ, y, z.

Cherchons à quelle condition cette expression est de la forme

M(^,y, z) étant un polynôme en x,y et z. En développant l'expression ci-dessus, on a

.)U dV r)U ,., ^)V

Il n'y aura pas de terme en -^ si U/;-r V/; est divisible par/;', c'est-à-dire si l'on a l'identité en x, y et z,

A. et B étant deux polynômes. Nous allons voir que, dans ces conditions, l'expression proposée a la forme demandée. 11 suffit de montrer qu'il ne reste pas alors de terme en-^; or le coefficient

de -^ est égal à

En différentiant par rapport à z l'identité à laquelle satisfont U et V, on voit de suite que ce coefficient est de la forme

K et 11 étant des polynômes, et l'on a

Donc, V expression (a) sera de la forme ((3), si U ^^ V satisfont à V identité (y) en x,y et z.

15. Revenons maintenant au n« 13. Pour pouvoir ramener au cas de a =: I, en suivant la méthode employée aux n°* 7 et 12, il faudrait que dans l'expression

V{x, y, z) dx dy

r rV{x, y, z) dx ,1 J (x — a)'^fl

le polynôme P(^, y, z), qui s'annule le long de la courbe double, fût tel que la courbe

eût, comme tangente au point-pince, la tangente au point de rebroussement de la courbe /(a, y, z) = o. S'il n'en est pas ainsi, nous allons montrer qu'on peut faire une première transformation réalisant cette condition. Formons la combinaison

{^ — <f)y", Oy \{x — a)^-\lL\ ,7I'[ (,r — aj^-i/ij' qui peut s'écrire

P(.r, j-, .:;)^(a — ,)\^ r f ^ / jj. \ ^ / V '' "

( ^ — « y-fz ( ■'• — (( )^-^ L 4;' \j"z' ' ô^'K/l) '

Prenons pour U un polynôme tel que la surface U = o passe par la courbe double et par la courbe simple de rencontre de/= o ^•^/J— o; de même, prenons pour V un polynôme satisfaisant aux mêmes conditions, en ajoutant, en plus, la condition que la surface

P{x,y, z)-^{oc — i)\ = o

soit tangente au point-pince à la tangente à f{a, y, z) =^ o dans le plan x = a, et cette dernière condition peut évidemment être réalisée. D'autre part la surface

a pour ligne double la courbe double de /et passe, comme U = o et V = o, par la ligne simple de rencontre de/= o et/'r= o • on P. ET S., II.

i^S CHAPITRE VII.

a donc

Enfin y, et -., restant finies en un point arbitraire de la courbe double, l'expression

sera de la forme

ày\fLl

M étant un poljnome s'annulant sur la courbe double. Donc, pai la soustraction effectuée, l'intégrale

Pf.r, y, z) dx dy

est remplacée par l'intégrale

Q( .r, j)/, z) dx dy

où a a la même valeur mais où le poljnome Q satisfait à la condition nécessaire pour notre réduction ultérieure, condition à laquelle ne satisfaisait pas P.

Nous concluons de là que, 5/ le plan oc - = a passe par unpoini-

piiice, V intégrale

P(a7, y, z) dx dy

ix^-ayfl

peut, comme quand le plan ne passait pas par un point-pince, être ramenée au cas de a -- i .

Une démonstration analogue s'applique, avec peu de modifications, au cas où le plan x -- a passe par un point triple de la courbe double, et nous pouvons, par conséquent, conclure que toutes les intégrales considérées de seconde espèce se ramènent à la forme

ff'li^r^^dxdy.

16. Allons encore plus loin, et établissons que l'on peut faire disparaître le facteur x — a du dénominateur. Nous partons de

'intégrale supposée de seconde espèce

P(-r, y, z) dx dy

{x--a)fi

[P(^,jK, ^) s'annulant sur la courbe double].

Nous savons (n« 6) que, dans le voisinage d'un point de la section plane x — a^ on obtiendra une intégrale restant finie dans le voisinage de ce point en retranchant de l'intégrale précédente une intégrale de la forme

Sih^-^^^V-"

[B(^, jr, z) étant une fonction rationnelle de x^ y ^l z ne devenant pas identiquement infinie pour x =: a]. Il résulte de là que l'on a

La courbe /(a, jK, K)=o ayant des points singuliers, nous ne pouvons pas conclure, comme au n" 8, que B(rt,y, Ç) est un polynôme enjK et Ç, mais il résulte des théorèmes les plus simples sur les fonctions algébriques d'une variable, que l'on peut écrire

M(y, V) étant un polynôme en j- et Ç qui s'annule pour les points de la courbe /{a, y^ '() = o, qui correspondent k f^= o (si la courbe a un point triple, la courbe M{y^ t) =^ o aura ce point comme point double). Ceci posé, nous allons chercher à former un polynôme Q ( x, jk, z) tel que la surface

passe par les deux courbes de rencontre des surfaces

/ ^ o, fi=o

(dont l'une est la courbe double que nous appellerons T, tandis (jue l'autre G représentera le lieu des points simples de la surface où le plan tangent est parallèle à Taxe des z), et que l'on ait

Q(a,y, z) = M(y, z)r-(}(y, ^)f(.cc,y, z).

l8o CHAPITRE VII.

0(y, z) étant un polynôme arbitraire, et où, comme nous Tavons dit, le polynôme M(y, z) s'annule aux points doubles de la courbe

et aux points simples de cette courbe où la tangente est parallèle à O^. [Dans le cas où le plan x = a passerait par un point commun à G et F, la tangente à la courbe M(jk, :;) = o en ce point serait parallèle à l'axe des :;.] La question revient à trouver une surface

passant par G et F, et coupant à distance finie le plan x ^= a seulement suivant la courbe M(y, ^) + B(y, ^ )/(a, y, ^) = o. La possibilité de cette recherche résulte du théorème général de M. Castelnuovo sur les s^^stèmes linéaires de surfaces établi dans un Gliapitre précédent : Un système linéaire complet de surfaces défini par des lignes-bases et par des points-bases découpe sur un plan arbitraire un système complet {régulier) de courbes, pourvu que le degré des surfaces dépasse une certaine limite. Nous appliquerons ce théorème au système linéaire complet S des surfaces de degré \ passant simplement par G et F, et aux sections par le plan ^ — a. Le système linéaire S découpe sur le plan x-=a\e système complet i des courbes de ce plan passant par les points où il rencontre G et F (si x ~ a passe par un point P commun à G et à F, les courbes du système plan ont une tangente déterminée, intersection du plan tangent à la surface en P avec le plan ^ — - a), pourvu que le degré ). des surfaces soit assez grand. Parmi les courbes du système a se troi^ve, si \ est pris assez grand, la courbe composée formée de la courbe

et de la droite à l'infini répétée un nombre convenable de fois. Il y aura donc, d'après le théorème de M. Gastelnuovo, une surface

coupant le plan x =^ a suivant la courbe (a) et la droite à Finfini

ec un certain degré les conditions requises.

avec un certain degré de multiplicité; le polynôme Q remplira

SUR LES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPECE. l8l

On voit alors que l'intégrale à soustraire peut être prise égale à

D'ailleurs, l'expression

à rQ(.T,y.z)l

ày L A J

sera de la forme

lU.^, r, z) ~~7z

(R étant un polynôme)

puisque le poljnome Q/J. sera nécessairement (n" li) de la forme

notre intégrale, par la soustraction de l'intégrale ci-dessus, est donc ramenée à

r rP{x,y,z)dxdy

Nous arrivons donc finalement au théorème déjà obtenu pour les surfaces sans singularités :

Etant donnée une surface

que Von peut supposer à singularités ordinaires {une ligne double avec des points triples), toutes les intégrales doubles de seconde espèce relatives à cette surface se ramènent par la soustraction d' une intégrale de la forme

(U et V rationnelles en x^y et z) au type

V {x. y, z) dx dv

^{^-^y^^') étant un polynôme qui s'annule pour la courbe double.

V. — Théorème fondamental sur le nombre limité des intégrales de seconde espèce.

17. Il s'agit maintenant de montrer que les intégrales de seconde espèce

r rV(x, y. z)dx dy