Partons de l'intégrale (1), où le polynôme

est de degré 7^, et désignons par V,{x,y, ..) l'ensemble des termes homogènes et de degré/? dans P. Posons

(*) I V ^.rPi+K.

H et R étant des polynômes de degré p en .r, y et z. On peut choisir, si p est assez grand, les polynômes H et K de degré p. de telle manière que Von ait V identité

U/',-f- V/; =- kf- ^ B/ ( A et B étant des polynômes ),

identité qui peut s'écrire

Pi(7/;+^)-'-H/;^"K/;-=A/:-B/ .

Pour légitimer cette assertion, nous n'avons qu'à nous appuyer sur la proposition de M. Gastelnuovo dont nous avons déjà fail usage (n° 16). Considérons la surface $ représentée par l'équation

Elle passe par les deux courbes définies par les équations

SUR LES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. l83

L'une de ces courbes F est la ligne double de /; désignons l'autre par C. Les axes ayant été pris arbitrairement, on peut supposer que G et F sont des lignes simples de rencontre de /^r=:o, /' =.0. Ensuite $ coupe le plan de l'infini, suivant la ligne

(y) ^=-0, Pl(jK?j-:-.2;Cp^) rr^ g,

en introduisant la quatrième coordonnée homogène f^ et en désignant par cp l'ensemble des termes homogènes de plus haut degré m dans f. Réciproquement, toute surface de degré p passant par les courbes G et F et contenant la ligne plane (y) a le premier membre de son équation de la forme

où U et V sont des polynômes de la forme (a).

D'autre part, la surface <I> est aussi représentée par l'équation

Elle passe donc par la courbe simple D de la surface /, définie par les équations

De plus, elle passe, comme nous le savions déjà, par la ligne double, mais nous voyons maintenant que <ï> est tangent à la surface

le long de la ligne double F; réciproquement, toute surface passant par D et par F, et étant tangente à /^ -: o le long de F, a le premier membre de son équation de la forme

Gonsidérons alors le système linéaire S des surfaces de degré m-\-p défini par les lignes-bases simples G, D et F, avec la condition que le long de F ces surfaces soient tangentes à/^— - o. Si/? est assez grand, et par suite m +/?, ce système linéaire découpera

sur le plan de l'infini

l84 CHAPITRE VII.

le système linéaire complet de courbes de degré m +/?, caractérisé par les points-bases simples qui sont les intersections du plan de l'infini avec les courbes C, D et T, avec la condition supplémentaire qu'aux points d'intersection du plan de l'infini avec la courbe F, la courbe soit tangente à la surface /^= o. Or la courbe (y), considérée plus haut, définie par les équations

satisfait bien à ces diverses conditions, car la courbe

qu'elle contient partiellement, passe par les points à l'infini de C, D el r. Les points à l'infini de F satisfaisant aux équations

/ — o, Cil =r o, Cp = O,

la courbejK'fl + «2^^r^^ ^^ dont l'équation peut s'écrire

est bien tangente à 0^=0 aux points doubles de o.

Donc, sl/> est assez grand, nous pourrons certainement trouver une surface du système linéaire S, donnée soit par l'équation

soit par l'équation qui lui csl identi(jue

où U et V ont la forme (a).

19. Nous allons facilement achever la démonstration. Après avoir déterminé U et V comme il vient d'être dit, formons la différence

fL p - m -r- •} L Oy l /: / ' 0.r \ fi )

nous allons voir qu'elle est de la forme

où Q est seulement de degré p — i , tandis que P était de degré p

SUR LES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. l85

On a l'identité en a:,y^ z

A et B étant des polynômes respectivement de degré/; H- i et p. D'après le calcul du n" 14, on a sur la surface /= o

r) / U \ à / Y \ __ ày ' éx ôz

Or, soient dans U, V, A, B les termes homogènes de plus haut

degré en x^ y, z représentés respectivement par m, (^, «, b\ on

aura d'ahord

donc

d'où l'on déduit

P 1 ( — zo'~-^- m Z' ) r= a 'f 3 -T- bo, on en conclut

a r-^ — Pj ^ -T- X'-p ) . , , , , ,

; ( A polyn. homog. en a:-, jK. -^ de degré /? -r- 1 — m).

b = mPi — lo'. )

On aura donc, comme on le vérifie immédiatemenl,

du ôv <)a , , ., , ,^ r)X

dy dx ôz ^ ^ Oz '

On pourra par suite, sur la surface f^ écrire

5^ -^ 5^ ^ 5J - '' = ^^ - '" ^ 3)P,(x, j-, . , -,- (liœ,y, z),

Q(x^y^ z) étant un poljnome de degré/? — i au plus. Nous con cluons donc de là c[u'on peut passer de l'intégrale

fr

p ( X, y, z ) dx dv

fz

où P est un poljnome de degré /?, à une intégrale de même forme où P sera seulement de degré y> — i, pourvu que p dépasse une certaine limite.

iH6 CHAPITRE vir.

20. Nous pouvons enfin déduire de toutes les transformations précédentes le théorème fondamental relatif au nombre limité des intégrales distinctes de seconde espèce. Convenons de dire que des intégrales de seconde espèce sont distinctes, si aucune combinaison linéaire de ces intégrales n'est de la forme