II. L. ..., Jp

telles que toute autre intégrale double de seconde espèce est de la foi' me

' ' JJ \0x OyJ -^

les a étant des constantes, et \^ et^ des fonctions rationnelles

de x^ î', :;.

21. La démonstration précédente s'applique a tous les cas. Pour établir crue les intéerrales

V ix, y, z) dx dy

se réduisent à un nombre fini d'entre elles, on pourrait se borner au cas où la surface est la plus générale de son degré.

En prenant pour/(j;,y, z) un polynôme arbitraire de degré m, on peut trouver facilement une limite du degré p. Reprenons l'identité fondamentale

SUR LES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. iS"

en supposant que U et V sont de degré p -h i . On a alors

Q étant un polynôme de degré p. Nous avons vu que dans Q(.r, j, ;3) l'ensemble des termes homogènes de degré p sera égal à un polynôme homogène donné P< (^, y^ z), si l'on a

U — rPi- H )

•^ (H et K polynômes de degré p ).

Formons alors l'identité

Dans H/^.+ K/^, où H et R sont des polynômes arbitraires de degré />, le nombres des arbitraires est égal à

D'autre part, pour avoir une identité de la forme (O), il faut et il suffit que la surface obtenue en égalant à zéro le premier membre de cette identité, que nous appellerons la surface $, passe par la courbe gauche

Or, on sait que le nombre des conditions exprimant qu'une surface de degré ^ passe par une courbe gauche sans point singulier de degré d et de genre t: est égal à

ixd — t: -h I ,

si ^K est assez grand; dans le cas où la courbe est l'intersection complète de deux surfaces de degrés a et (3, on doit avoir

Dans la question actuelle

De plus, la surface <ï> a, quels que soient les arbitraires qui y figurent, un nombre de points communs avec la courbe (y) égal à

iO» CHAPITRE VII.

m{m — i), et qui sont les /??( m — i) points à l'infini de (y); le nombre des conditions est donc à diminuer de m{m — i). Le nombre des paramètres sera au moins égal au nombre des conditions qui expriment que la surface $ passe par la courbe (y), si l'on a

?n [m — I ) ( '2 m — 5 ") >( /? -h ni — \)m(m — \) ^— — •

Si Pq désigne le plus grand nombre entier positif pour lequel cette inégalité n^est pas vérifiée, on pourra ramener toute intégrale

P(.r. jK, z) dx dy

à une intégrale de même forme, où le degré de P sera au plLis/?o- On ne peut pas trouver pour /?o une expression simple, mais on vérifie facilement que

et l'on est par suite assuré de pouvoir réduite à im — 4 ^^ degré du polynôme qui figure au numérateur de l'intégrale double.

VI. — Recherche des conditions pour qu'une intégrale doubl'e soit de seconde espèce.

2^. Nous venons de montrer que toutes les intégrales de seconde espèce se ramènent par une soustraction convena-ble à la forme

l*(.r,y, z) dx dy

(le poljnome P s'annulant sur la courbe double), où le degré /> du polynôme P est limité. Mais toutes les intégrales doubles de cette forme ne sont pas de seconde espèce. 11 faut maintenant exprimer que cette intégrale est de seconde espèce.

Nous n'avons rien à exprimer pour ce qui regarde les points à

distance finie de la surface

Nous avons seulement à examiner les points à l'infini, en supposant d'ailleurs, comme il est permis, qu'avant toute réduction on ait fait une transformation homographique.

Posons

et soit alors F(X, Y, Z) = o l'équation de la surface transformée. L'intégrale prendra la forme

H(X, Y, Z) désignant un polynôme qui s'annule pour la courbe double de F. Si p est au plus égal à m — 4? l'intégrale est de première espèce. Soit donc

Par la soustraction d'une intégrale convenable de la forme (n"* 7 et 12)

r r\ à rAfx.Y,z)-| â [B(X,y,Z)1} ^^ ^^

JJ \ àX l )i,'-Ou-.> J "" JY L \l'-un-.> J ( ^^ ^^'

on obtient une intégrale

I KfX, Y. ZjdXdY X F.

K(X, Y, Z) étant un polynôme s'annulant pour la courbe double. D'après le n" 16, pour que cette intégrale ait sur la ligne X = o le caractère d'une intégrale de seconde espèce, il faut et il suffît que l'expression

Fz(o, Y,Z;

soit la dérivée d'une fonction rationnelle de Y et Z. On pourra reconnaître s'il en est effectivement ainsi, ce qui entraînera en

général

conditions, en désignant par tc le genre d'une section plane quelconque de la surface et par suite de la courbe F(o, Y, Z) = o. Les

conditions reviennent en effet à écrire que Tintégrale abélienne K(o,Y, Z)r/Y

Fz(o, Y,Z;

est algébrique ; les 2 7r périodes cycliques doivent être donc nulles, ainsi que les ni résidus relatifs aux points à l'infini, qui donnent seulement m — i conditions. On sait d'ailleurs que toutes ces conditions s'expriment sous forme algébrique.

23. Toutes ces conditions étant remplies, nous sommes assuré que pour les points à l'infini de la surface

qui correspondent à