VIII. — Quelques exemples
25. Considérons d'abord les intégrales de fonctions rationnelles
(1) jJS{x,y)dxdy,
S étant une fonction rationnelle de deux variables indépendantes X et y. Il résulte immédiatement du théorème général du n° 11, que de telles intégrales, quand elles sont de seconde espèce.
SUR LES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. iÇfj
peuvent par la soustraction d'une expression
être ramenées à la forme
(3) ffv{x,y)dxdj,
Pétant un poljnome. En effet, on peut regarder (i) comme une intégrale relative à la surface
z ^^ ax -\- by -- c.
D'autre part, il est manifeste que l'intégrale (3) peut s'écrire
dx
dx dy.
Q étant un polynôme en x et jk, car on peut toujours poser P :== ^.
^ ôx
Donc, toutes les intégrales doubles de seconde espèce de fonctions rationnelles de x et y sont de la forme (2). Le nombre désigné plus haut par p est ici égal à zéro.
Il ne sera pas inutile de reprendre directement la démonstration du résultat précédent, sans s'appujer sur aucun théorème général. Soit
[RK^,jk)J^>...[R,„(^,jk)J'^".'
les R étant des polynômes irréductibles en x et y, que nous pouvons supposer contenir à la fois x ely, et premiers entre eux. Puisque l'intégrale ([) est de seconde espèce par hypothèse, on doit pouvoir retrancher de (i) une intégrale de la forme (2), telle que la différence reste finie dans le voisinage d'un point appartenant à la courbe
Si nous décomposons U et V en éléments simples par rapport à jK, relativement à chacun des polynômes R, nous avons
"jLt[Ri{x,y)]^'.' ZL[Riix,y)\^-r
Ai et Bi étant des polynômes en y k coefficients rationnels en x.
La différence
^^^•-' ^ ôx \ [R,(^,7)yM ^' ôf { \\\y{x,y)\'c. \
ne doit pas être identiquement infinie dans le voisinage d'un point arbitraire satisfaisant à la relation
Par cette soustraction, nous faisons donc disparaître R, du dénominateur, en introduisant cependant à la place un polynôme en X seul. En opérant maintenant relativement à Ro» et ainsi de suite, nous voyons que, par la soustraction d'une intégrale (2), nous ramenons l'intégrale de seconde espèce (1) à l'intégrale
-7 — '^— dx dy,
P étant un polynôme en x ety, et V(^) un polynôme en x. Cette dernière intéo:rale est la somme d'inté£:rales
ff
R{x)y"' dx dy
[oùR(^)est une fraction rationnelle de x^ et mwn entier positif] que l'on peut écrire
7 rr;^['^(^)^'""^']^^^^;
elle est donc de la forme (2), et nous retrouvons bien le résultat annoncé.
26. IVenons encore, comme exemple, une surface qui correspond birationnellement à l'ensemble de deux courbes '.p et ^, c'est-à-dire une surface pour laquelle on a
les R étant rationnelles en a, j^, a' et [3', et cela de telle manière qu'à un point arbitraire (x^y^z) de la surface corresponde un
seul couple (a, [^) et (a^ ^') ; nous désignerons par/(^, y, z) — o l'équation de la surface.
Soit
(4) yR(a, P)r/a
une intégrale abélienne de seconde espèce, non rationnelle, de la
courbe
cp(a, P) = o,
que nous supposons de genre supérieur à zéro, et soit pareillement
(5) rS(a', pV)û?a'
une intégrale de seconde espèce, non rationnelle, relative à la courbe de genre supérieur à zéro,
J'envisage l'intégrale double
rrR(a, 3)S(a', ^')d'xd(x', qui est manifestement de la forme
(6) fji:{x,y.z)dxdy,
T étant rationnelle en ^, y et z. Nous allons voir que cette intégrale est une intégrale de seconde espèce de la surface /. Les lignes, le long desquelles l'intégrale (6) devient infinie, correspondent aux pôles de l'intégrale (5). Si A est un pôle de (4) sur la courbe cp (on peut le supposer à distance finie), on a, dans le voisinage de ce point,
p et U étant rationnelles en a et p, et p restant finie en A. L'intégrale peut donc s'écrire
ff{§^p)H^:?')i^ci.',
c'est-à-dire
rr-^[U(a, 3)S(a', [i')l duch' - i jpSdoLdoi';
le premier terme seul devient infini pour un point de la surface / pris arbitrairement sur la ligne T qui correspond au point A de la courbe cp. Or, ce premier terme, d'après les généralilés du n" 2, est nécessairement de la forme
U, et V, étant rationnelles en ^, y et z. Donc, en nn point arbitraire de la ligne F, l'intégrale (6) présente le caractère d'une intégrale de seconde espèce. Pour les pôles de à on raisonnerait de la même manière, et aussi pour les points correspondants à la fois aux p(jles de cp et aux pôles de à, et nous arrivons bien à la conclusion que rintégrale (6) est une intégrale double de seconde espèce.
Une question intéressante se pose immédiatement. Peut-on affirmer que l'intégrale (6) n'est pas réductible à une intégrale
Il en est bien ainsi, du moins en général; c'est là un point assez délicat à établir, qui appellera notre attention sur certaines circonstances intéressantes relatives à la périodicité des intégrales doubles.
27. Nous commencerons par l'examen d'un cas particulier remarquable, qui se rapporte à la théorie des intégrales hjperelliptiques. On connaît, dans la théorie de ces intégrales d'après Weierstrass, l'importance de l'identité
d r y/P?^ 1 ô\ ^'Vry~) 1 U(a:,r)
y}s/\'(jc)\ s/^ioos/ï'iy
où P(.r) désigne un polynôme arbitraire ayant des racines distinctes «,, «o, . . . , a,t, et où \]{x, y) est un polynôme en x ely défini par cette identité même.
Si nous envisageons la surface
on aura
ÔX \ i V —
Nous allons considérer l'intégrale double
UCr, y)
dx cly^
prise le long d'un cycle à deux dimensions formé par une courbe fermée G du plan de la variable x qui comprenne à son intérieur deux des points a, et par une courbe fermée G^ analogue dans le plan de la variable y. Si les deux courbes G et G', tracées sur le même plan, offrent la disposition de la fig. a, c'est-à-dire si les
contours G et G' ne se coupent pas (ou peuvent être ramenés à des contours ne se coupant pas sans traverser les points à)^ on aura de suite, d'après l'identité (i), la relation
kJ c. 'Jc.<
- dx dy
puisque, tous les éléments restant finis dans les deux intégrales
on n'a qu'à faire la première intégration dans chacune de ces intégrales et l'on obtient ainsi zéro.
Le résultat précédent ne subsiste pas si les deux contours ont la disposition de la fig. (3. Les contours G et G' ont deux points communs p et ^, et le maniement des intégrales (2) demande quelques précautions à cause des deux éléments qui y deviennent
infinis. Prenons sur C deux points Xi et x.2 de part et d'autre de/?, et deux points x^ et Xj^ de part et d'autre de q.
Fig. p.
Nous allons calculer la valeur de l'intégrale
l'intégration par rapport à y étant faite le long de C, et l'intégration par rapport à x étant faite dans le sens de la flèche le long de l'arc XiX^ et le long de l'arc ^4^0. Le radical s/\-\j^) a une valeur bien déterminée le long de C, et le radical \/\-\y) une valeur bien déterminée le long de C; nous pouvons supposer qu'ils sont égaux en p, ils auront alors des valeurs de signe contraire en q. Ceci posé, l'intégrale est manifestement égale à
Pour calculer l'intégrale qui forme la première ligne, traçons un arc mrn. Une intégrale prise le long de C est égale à la somme d'une intégrale prise le long du conlour /nqnr m et d'une intégrale relative au contour nirnpm. Or, pour l'intégrale de la première ligne, la première de ces deux intégrales est très petite si Xt est très voisin de Xo ; la seconde se réduit à
v/pt^;}^^^^
prise le long du contour mrnpm : elle a donc pour valeur 2tzi. L'intégrale de la seconde ligne se calculera de même ; sa valeur est
encore itù^ en se rappelant qu'en ç', les radicaux y/P(^) et \l^{y) sont de signes contraires.
Si l'on calcule maintenant l'intégrale
JItAî^^]"'"'^
dans les mêmes conditions, on trouve évidemment zéro.
Donc l'intégrale (I) prise le long de G' et des arcs œ^ X'^ et ^4^0 de G diffère très peu de l^izi.
On a, par suite ('), pour layt^-. [^,
