VII. — Caractère invariant de l'intégrale de seconde espèce

24. Nous avons maintenant à montrer qu'une intégrale double de seconde espèce reste une intégrale de seconde espèce quand on effectue sur la surface une transformation birationnelle. Nous avons déjà vu (n° 2) que la forme des expressions

est invariante relativement à toute transformation birationnelle, mais cela ne suffit pas pour établir l'invariance des intégrales deseconde espèce. La difficulté provient des points fondamentaux

que peuvent posséder les transformations biralionnelles. Soil, sur la surface

un point A, que Ton peut évidemment supposer simple, qui soil lin point fondamental de la transformation, c'est-à-dire qu'au point A de / correspond sur la surface transformée

une certaine ligne. Envisageons une intégrale I de seconde espèce

de la surface F et reclierclions si sa transformée i relative à la

surface / possède au point A le caractère d'une intégrale double

de seconde espèce. L'intégrale i pourra devenir infinie le long de

certaines lignes

Fi, r,, .... F/,

passant par le point A; il résulte de ce que i est la transformée d'une intégrale de seconde espèce de la surface F, que l'on peut retrancher de l'intégrale i une intégrale double de la forme

r r/dl],, à\,A [ (Ua et Va ration-

ià = ^,'->^,....^) J J [-Jjr--^)d^dy j nellescn:r,7etz)

telle que la différence de ces deux intégrales reste finie dans le voisinage de A sur la courbe F^ (en dehors de A). Nous allons voir que cela suffit pour affirmer que l'intégrale i présente en A le caractère d'une intégrale de seconde espèce.

Les axes des coordonnées étant supposés arbitrairement situés par rapport à la surface, nous écrirons i sous la forme

ce A(.r, >', ^) , ,

^'^ JJ rÏM(-,7;J«..T:rK.(x,^)j^.y] ^?^' ^'^'

les polynômes R de ^ et / étant irréductibles et premiers entre eux, et s'annulant en A, tandis que A{x,y^z) est une fraction rationnelle de x,y, z qui reste finie en ce point. On peut, par hypothèse, retrancher de i une intégrale

— ^ H ^ ) clx dy.

ox Of ' -^ '

telle que la différence des deux intégrales reste finie dans le voisinage de A sur la ligne T, (en dehors de A ) ; nous supposons que

pour r< on ait Ri{x,y)=zo. En décomposant, comme nous l'avons fait à plusieurs reprises, U^ et ¥< en éléments simples, nous ferons ainsi disparaître R.< du dénominateur, mais en introduisant à la place une certaine puissance de ^ — a (on désigne par a l'abscisse de A). En continuant ainsi de proche en proche, nous retranchons de i une intégrale de la forme

de telle sorte que la différence soit de la forme

(y ) / / ; '" '^ ,., dx dy,

la fraction rationnelle B étant finie en A. Cette dernière intégrale / est évidemment telle que l'on peut en retrancher une intégrale de la forme tant de fois considérée, de façon que la différence reste finie dans le voisinage de A (en dehors de A) sur la ligne x =z a. En faisant les réductions les plus élémentaires, nous sommes ramené au cas de a =z i et nous avons, par suite, en ayant fait seulement des soustractions du type voulu, l'intégrale

C(^, y, z) étant finie et déterminée en A. Nous pouvons d'ailleurs supposer que la courbe pour laquelle on a

ne rencontre pas le plan ^ z:^ a en un point dont la coordonnée y soit égale à b (en désignant par b la seconde coordonnée de A); dans le cas contraire, en effet, il suffirait de faire tourner les axes Oy et O;:; dans le plan des zy sans changer l'axe Ox.

Ceci posé, d'après nos hypothèses, on peut retrancher de l'intégrale (2) une intégrale de la forme

//é[^ss^]**

[où R(x, y, z) est une fonction rationnelle], et telle que la différence des deux intégrales reste finie dans le voisinage de A (en P. ET S., IL ,3

dehors de A) sur la ligne ûcz= a. Ceci entraîne Tidenlité

JiC^^y, O ^ ô}^^""'^^^^ t'""''^^ courbe/(«,jK,n-o].

D'après ce que nous avons dit, la fonction rationnelle C(a,y, Ç) reste finie pour les points de la courbe /(rt,j^, Ç) = o, qui correspondent k y = b. Donc, on peut mettre l'expression

sous la forme

M étant un polynôme en y et Ç, et R(y) ne s'annulant pas pour y=b. Par suite, si l'on retranche de l'intégrale (2) l'intégrale

on aura une différence qui sera de la forme

S{x,y, z)dxdy,

la fraction rationnelle S étant finie et déterminée au point A. Ceci montre que l'intégrale (2) et, par suite, l'intégrale initiale i présentent en A ce que nous açons appelé le caractère dUine intégrale double de seconde espèce.

Ainsi se trouve établi le caractère invariant de ^intégrale double de seconde espèce; le nombre désigné par p au n" 20 est , donc un nombre invariant pour toute transformation birationnelle. ^t