IX. — Seconde définition des intégrales de seconde espèce

29. On peut donner, des intégrales de seconde espèce, une définition qui fait intervenir la considération des résidus de l'intégrale double. Nous nous bornons d'ailleurs à une surface ne présentant que des singularités ordinaires. Soit

I 1 R{x,y, z)dxdy

une intégrale double attachée à la surface

On peut toujours supposer, en effectuant préalablement une transformation birationnelle convenable, que l'intégrale devienne infinie seulement le long de certaines courbes simples de la surface ne passant pas par les points triples et pour les points à l'infini. Pour chacune de ces lignes et pour la ligne à l'infini, l'intégrale aura un certain nombre de résidus qui sont des périodes d'intégrales abéliennes. Leur définition résulte de ce cjuenous avons vn (t. T, p. 49) en étudiant les résidus des intégrales doubles de fractions rationnelles. Soit C une ligne le long de laquelle R devienne infinie, représentée par

prenons, y étant regardé comme un paramètre, le résidu de la

fonction de x^

Mx,y,z).

Ce sera une quantité de la forme

^ étant rationnelle en x et y. Les périodes (polaires ou cycliques) de l'intégrale abélienne

~ijyS^^y)dy

relatives à la courbe '^ sont les résidus de l'intégrale (i) relatifs à 1; courbe G.

2o4 CIIAPITRK VU.

30. Supposons que l'intégrale (i) soit de seconde espèce ; ]e d\s, qu'alors tous les résidus relatifs à C sont nuls. Réciproquement, si tous les résidus relatifs à G sont nuls, l'intégrale (i) présente, en un point arbitraire de G, le caractère d'une intégrale de seconde espèce.

La démonstration de ces deux propositions va se faire à la fois. Nous ne diminuons pas la généralité en supposant que la courbe G est une section plane ou une portion d'une section plane de la surface. Nous avons alors, en supposant que le plan de la section soit ^ = o, l'intégrale double

■ ■ dx av.

xJ-

la fraction rationnelle S ne devenant pas identiquement infinie pour ^ = o. En employant les réductions dont nous avons fait si souvent usage dans ce Ghapitre, on peut supposer que a = i, et l'on a alors l'intégrale

Soit G la courbe (ou une des courbes) suivant laquelle le plan X == o coupe la surface. Les résidus relatifs à la courbe G seront tous nuls, si toutes les périodes de l'intégrale abélienne

relatives à la courbe G sont nulles, s étant la fonction de y correspondant à la courbe G. Mais on a alors pour 1 intégrale précédente une fraction rationnelle

K(7, O et, ])ar suite, en retranchant de (2) l'intégrale (3) JJ -—^-dxdy,

la différence des intégrales (2) et (3) reste finie en un point arbitraire de la courbe G, et^ en tout point de la courbe G, elle reste finie sur cette courbe dans le voisinage de ce point (le point pouvant être exclu).

Réciproquement, si l'intégrale est une intégrale de seconcl( espèce, on pourra retrancher de (2) une intégrale de la forme

T(x, r, z) j dx dy

ôy X

telle que la différence reste finie dans le voisinage de C ; on a donc

pour la courbe C, et tous les résidus relatifs à G sont nuls.

De là nous concluons que, si pour toutes les courbes C et pour la courbe à l'infini de la surface, tous les résidus sont nuls, l'intégrale est telle que, dans le voisinage de tout point d'une de ces lignes, on peut retrancher une intégrale de la forme voulue, de telle sorte que la différence des deux intégrales reste finie sur la ligne dans le voisinage du point. D'après les résultats de la Section VII, cela suffît à établir que l'intégrale est de seconde espèce. La réciproque est d'ailleurs évidente d'après ce que nous avons vu plus haut.

Ainsi donc nous sommes conduit à une seconde définition des intégrales de seconde espèce par la considération des résidus de V intégrale double.

31. Terminons ce Chapitre par une application des considérations qui précèdent aux intégrales de fonctions rationnelles, en recherchant à quelles conditions l'intégrale

où P et Q sont des polynômes (dont le second est supposé irréductible), est une intégrale de seconde espèce. D'après ce qui précède, il est nécessaire que l'intégrale abélienne

relative à la courbe Q^{Xj y) = o, se réduise à une fraction rationnelle de X ety; c'est la condition pour que les résidus correspondant à la courbe Q = o soient tous nuls. La condition est suffi-

•>o6 CHAPITRE VII. — SUR LES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE.

santé; on va voir, en effet, que, si elle est remplie, on peut retrancher de (4 > une intégrale convenable, et la différence mettra en évidence la nature de l'intégrale.

D'après rhypothèse faite, on peut mettre l'intégrale abélienne(5) sous la forme

iM(;, Tj ) et R-(^) étant des polynômes. Formons l'intégrale

r fsêQ â r M(^,j) -] OQ à r M{x,:y) ij

elle est, comme nous savons, de la forme

(jH..g)rf^rf,,

Un calcul facile montre que la différence des intégrales (4) et (6) est de la forme

If-

dx dy,

S et V étant des polynômes : l'intégrale (4) est donc bien de seconde espèce, puisqu'il en est ainsi de l'intégrale que nous venons de trouver en dernier lieu.

I. — Quelques remarques complémentaires sur la réduction des intégrales doubles de seconde espèce.

1 . Prenant toujours, comjne au Chapitre précédent, une surface

à singularités ordinaires, nous avons vu que, par des soustractions du type voulu, on pouvait ramener toute intégrale double de seconde espèce à la forme

V{x, y, z) dx dy

où V(^x,y^z) est un polynôme.

Il a été démontré ensuite (p. 182 et suiv.) que, par la soustraction d'une intégrale de la forme

sm^y^m^-"-

où U et V sont des polynômes en x^ y et 5, on pouvait ramener l'intégrale (i) à l'intégrale

(2) r rq(x,r,z)dxdy^

où le degré du polynôme Q est limité.

La réduction précédente ne suppose en rien que le polynôme P s'annule sur la courbe double de la surface, quoique ce soit à ce

c2o8 CHAPITRE VIII.

cas que l'on puisse toujours se trouver ramené. Mais si P s'annule sur la courbe double, il n'en est pas nécessairement de même pour Q, du moins si l'on fait la réduction telle que nous l'avons présentée. Il est cependant exact que toutes les intégrales de seconde espèce se ramènent au type (2), où Q s'annule sur la courbe double et où son degré est limité (quoique cette limite puisse être plus élevée qu'avec la réduction primitive). On pourrait le démontrer directement en modifiant un peu l'analyse des n°* i8 et 19 du Chapitre précédent : on assujettirait les polynômes U et V qui V figurent à s'annuler sur la courbe double, ce qui n'entraîne pas de modifications importantes dans les raisonnements; la limite, je le répète, pour le degré du polynôme Q, pourra être plus élevée que dans le premier cas.

2. On peut arriver au même résultat par une voie indirecte. Effectuons sur la surface/ une transformation birationnelle telle que la courbe double de / devienne sur la surface transformée F une ligne simple L, nécessairement composée à'' une ou de deux courbes irréductibles; la transformation birationnelle peut d'ailleurs être prise de telle sorte que F n'ait que des singularités ordinaires. L'intégrale transformée ne devient plus alors infinie sur la ligne double; on peut donc faire les réductions habituelles, et, en revenant à la surface/, on a une intégrale double qui ne devient plus infinie sur la ligne double : par suite, toute intégrale double de / se ramène à la forme (2), où le degré du polynôme Q est limité et où ce polynôme s'annule sur la courbe double.

Nous venons de dire que la ligne L de F correspondant à la ligne double de /se composait d'wAie ou de deux courbes irréductibles. Si l'on considère en effet la ligne double G de /, les deux plans tangents en un point arbitraire de G dépendent rationnellement de

^, y, Z et ^{flyY—fhfy^-

Il arrivera en général que le radical précédent ne sera pas une fonction rationnelle de {x^yyZ) quand ce point est sur G, mais il pourra en être ainsi dans certains cas particuliers, et ces deux circonstances correspondent aux deux cas visés. Quand on se trouve dans le premier cas, que l'on peut regarder comme le cas

général, on ramènera une intégrale de seconde espèce de la forme (i), où P ne s'annule pas sur la courbe double, à une intégrale de même forme, mais où P s'annule sur cette courbe par la soustraction d'une intégrale de la forme

r r/dk dB\ , , , , ^

\ j {—' ^ j~ \ axdy (A et B rationnels en x, y et z).

La raison en est qu'en faisant disparaître dans (i) autour d'un point de la courbe double la ligne d'infini envisagée comme appartenant à une des nappes, on fait disparaître en même temps cette ligne regardée comme appartenant à l'autre nappe; car, avec l'hjpothèse faite, une fonction rationnelle de x^ y eV z restant finie sur l'une des nappes de la surface, dans le voisinage d'un point pris arbitrairement sur la courbe double, reste encore finie sur l'autre nappe de la surface.

3. Les considérations suivantes se rattachent au même ordre d'idées. Supposons que P(^, JK, z) étant un polynôme s'annulant sur la courbe double, on ait une identité de la forme

U et V étant des polynômes en x, y et z. Je dis que U et V s'annuleront nécessairement sur la courbe double, si nous sommes dans ce que j'ai appelé plus haut le cas général.

Prenons sur la courbe double un point arbitraire A; dans le voisinage de ce point, sur une nappe déterminée de la surface, l'expression

est une fonction holomorphe de x et y. On peut donc écrire sur la nappe considérée et dans le voisinage de A

f. ~ày' 1 étant holomorphe en x el y autour de A. Par suite, d'après (3),

Donc l'inléjifrale

\] dy—{y -'kf.i)dx

estime intégrale de différentielle totale, parfaitement définie autour de A sur la nappe considérée de la surface. La courbe double peut être une courbe logarithmique de cette intégrale, et la période logarithmique correspondante est la période logarithmique de l'intégrale abélienne

J — rr^'

relative à la courbe entre y et z, f[x^y, z) = o. Elle est, par suite, égale à la valeur de

2TTt'U(a7, y, z)

pour les points doubles de la courbe /(^, y, ;:;) :^ o. On en conclut de suite que l'expression

sj{fLy?-fhf;

a une valeur constante sur la courbe double de la surface. Si nous sommes dans le cas général {voir numéro précédent), le radical sera susceptible d'avoir changé de signe, quand {x^y.z) ])artant d'un point de la courbe double y reviendra après avoir décrit un chemin convenable. La valeur constante de l'expression précédente sera donc alors nécessairement nulle, et par suite U s'annulera sur la courbe double, comme nous voulions l'établir; il en sera nécessairement de même de V.

II. — Sur le nombre des conditions exprimant que certaines intégrales doubles sont 'de seconde espèce.

4. Toutes les intégrales doubles de seconde espèce relatives à une surface de degré m

se ramenant, comme on l'a vu (p. 188 et suiv.), par une soustiac-

tion convenable, à une intégrale de la forme

P(x, y, z) dx dy

P étant un polynôme de degré limité s'annulant sur la courbe double, il restait alors à exprimer que l'intégrale précédente est de seconde espèce; c'est ce que nous avons fait, et nous avons montré que le nombre de ces conditions est, en général,

-K désignant le genre d'une section plane quelconque de la surface. En fait, m — i de ces conditions sont remplies d'elles-mêmes, de sorte qu'il reste 27: conditions; c'est ce que nous allons montrer maintenant en même temps que nous présenterons sur ces conditions diverses remarques (^).

o. Ces conditions sont relatives aux points à l'infini de la surface. Posons

et soit alors F(X, Y,Z) = o l'équation de la surface transformée. L'intégrale devient

H(X, Y, Z) étant un polynôme de degré/) s'annulant sur la courbe

double. Si p est au plus égal km — 4 l'intégrale est de première

espèce. Soit donc

par la soustraction d'une intégrale convenable de la forme

rr[ d rA(X,Y,z)i à rB(X,Y,Z)-[/

où A et B sont des polynômes, on obtient une intégrale

^X dY,

(') E. Picard, Sur le noniO/e des conditions exprimant qu'une intégrale double est de seconde espèce {Annales de l'École normale, 1902).

K(X, Y, Z) étant un polynôme s'annulant sur la courbe double. Pour que cette intégrale soit de seconde espèce, nous avons montré {loc. cit.) qu'il faut et il suffit que la fonction algébrique de Y,

soit la dérivée d'une fonction rationnelle de Y et Z. Si le polvnome K n'était pas soumis à certaines conditions, par suite de la manière même dont il a été obtenu, il y aurait manifestement

conditions exprimant que l'expression (3) est la dérivée d'une fonction rationnelle de Y et Z. Mais le polynôme K(X, Y, Z) se trouve soumis à certaines conditions. Pour approfondir davantage la question, remarquons que, l'intégrale double (2) étant de seconde espèce, tout résidu relatif à la courbe X = o doit être nul. Parmi ces résidus se trouvent les m résidus correspondant à un petit cercle autour de X = o et à un très grand cercle dans le plan de la variable Y, ou plus exactement dans un feuillet de la surface de Riemann F(X, Y, Z) = o. Nous allons montrer que ces résidus sont nuls.