Cherchons à cet effet le développement de

pour Y très grand. L'équation F = o peut s'écrire

cp(Y,Z)-4-Xoi(Y,Z)+... = o,

cp, cp,, . . . étant des pol^'nomes en Y et Z de degrés /?î, ni — i,

Si l'on pose

on aura

*(7],0-+-XYi<ï>i(r,, Q-f-...= o.

Les m racines Ç,, Ç25 •••??/« de l'équation

SUITE DES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. 2l3

sont dislincLes, les axes ayant été choisis arbitrairement. La racine Ç devenant égale à Ç/ pour r, == o se développe de la manière suivante :

et l'on reconnaît facilement que les a sont des polynômes en X de degrés marqués par les indices, de sorte que a/j est un polynôme de degré h en X. Nous avons donc pour la branche considérée

et, par suite

Z = — -f- aj H- a2 rj

Z=3 0Y + ai-f- ^■-H...-i

Soit maintenant

H(X, Y, Z) = H^(Y, Z) + XH,,i(Y, Z) +. . .:

son développement suivant les puissances de Y sera de la forme

les jS étant des polynômes en X de degrés marqués par les indices. De même, le développement de Fy^ sera de la forme

To Y'"-i -\- Yi Y'"-^ -- . . . ^- Y,«, + ^ H- . . . ,

les y étant encore des polynômes en X de degrés marqués par les indices. On voit alors que, si l'on développe

suivant les puissances de Y^ on a

H(X, Y, Z) ^ , ,/. Oi rj, \

les 8 étant des polynômes en X de degrés marqués par les indices. Le coefficient de

dans ce développement est o^w+2-

En revenant à l'intégrale double

, inxvt2)^^,„

une première intégration autour d'un très grand cercle dans le plan de la variable Y nous donne

ir.i -^ r j

^p—in-\-'*

et, en intégrant cette expression amour de X :== o, on obtient zéro.