Passons à la réciproque. Il s'agit de démontrer que
itégrale do m
¥{x,y)dxdy
Si tous les résidas de V intégrale double
sont nuls, on aura
YetyV étant rationnelles en x et y.
En posant comme plus haut
on peut tout d'abord, d'après les éléments de la théorie des fractions rationnelles d'une variable, mettre F sous la forme
les TT étant des polynômes en ^ à coefficients rationnels en y et 'y^ une fonction rationnelle de x et y. Les résidus de F relatifs au continuum A(x^ y) z= o sont les périodes de l'intégrale abélienne
/TZi{x,y) ,
relative à la courbe algébrique A(.T,y) = o. D'après les hypothèses faites, l'intégrale précédente est une fonction rationnelle de X ely, et l'on peut par suite écrire
'■'•■/"'■'. li,„.r).
Il étant un polynôme en x, à coefficients rationnels en j^.
De là résulte que l'on a
m dk dH dX
T^ii^^y) ^H ^^ ^ïï ^y ^^ ^^ ^y
A^ ~ dx dy dy C'A
dx
Celle identité a d'ailleurs lieu en vertu de la relation A(^, jk) ^^ o. On peut dire par conséquent que le polynôme en x
est divisible, quel que soitjr, par A{x^y), et nous pouvons écrire l'identité en x ely
/dU dk dl] dA\ ^.
\ây dx dx dy I v :^ y \ ^j j^
C étant un polynôme en x^ à coefficients rationnels en y. Ceci posé, envisageons l'expression
~ dx dy\X/ dy dx\\.
1 1 r dP dO 1 ' • c
qui est de la lorme -t h -— ? comme tout dclerminant lonc-
^ dx dy
tionnel. D'ailleurs
àj^dn dkm
dx dy dy dx ~ A
Si donc nous retranchons U de F, le terme ^ se trouvera remplacé par
C(^,JK),
, ^ 1 • -1 1 ' c dV dq ou c est un polynôme en .r , qui est par suite de la lorme ^ 'Â~'
Nous avons donc ainsi fait disparaître, par une soustraction d'un
terme de la forme voulue, l'expressiou ^- On fera le même calcul
pour ~i ' • -, ',- et finalement nous trouvons bien
'■ri L
, dY dW
•^ dx dy
V et W étant rationnelles en x et y, comme nous voulions l'établir.
14. La recherche des conditions, pour qu'une fonction rationnelle F(^,y) soit de la forme précédente, se trouve donc ramenée à la recherche des conditions pour qu'une intégrale abélienne soit algébrique; c'est un problème classique, sur lequel nous n'avons pas à insister. Le problème proposé se trouve alors très élégamment résolu.
On pourrait traiter la question relative à la fonction F, sans se reporter à la théorie des résidus des intégrales doubles. Le problème paraît en effet tout élémentaire; sa solution directe est cependant moins immédiate qu'on pourrait d'abord le penser. C'est cette solution directe que nous allons maintenant exposer.
Tout d'abord, comme nous l'avons dit plus haut, F peut être
supposé de la forme
M étant un polynôme en x^ rationnel en jr, et A, B, . , ., L des polynômes en x et y, irréductibles et renfermant x. Soit donc
^^ AB...L ^ â^'^ dy''
Pet Q doivent devenir infinies pour A = o, pour B := o, ..., L =r o et peuvent aussi devenir infinies pour d'autres courbes A4 :^ o, B, == o, . . ., N, = o.
Je dis d'abord qu'on peut supposer que P et Q renferment seulement à la première puissance A, B, . . . , L et, s'ils existent, A,,B,, ...,N,.
Supposons en effet que Q renferme A^' (a>>i) au dénominateur; on peut, d'après les éléments, trouver une fraction rationnelle
A«-i ' y étant un polynôme en x, rationnel en y, de telle sorte que
contienne seulement dans son dénominateur A à la première
puissance. Or on peut écrire le second membre de (3) sous la
P. ET S., IL i5
2a4 CHAPITRE VIII.
forme
On a alors une expression de la forme
dx dy
où Q, et par suite P, deviennent seulement infinies comme — • Le même raisonnement s'applique à tous les autres dénominateurs. Nous pouvons donc supposer que notre identité a la forme
^*^ AB...L " dr LAB...LAiB,...NiJ ' d^ [ AB. . .LAiBi . . .Ni J ^
H et K sont des polynômes en x^ rationnels en y. Les polynômes au dénominateur sont irréductibles, distincts et renferment x. Nous ne savons rien des pol^ynomes A,, B, , . . . , Nj , mais on peut heureusement, comme nous l'allons voir, les faire disparaître, et c'est là le point essentiel dans la recherche que nous effectuons.
Soit (xo, JKo) Lin point arbitraire de la courbe
\xix,y) --z o.
Le premier membre de (4) est une fonction holomorphe des deux variables indépendantes x Qi y dans le voisinage de (jCqî ^o); nous pouvons, dans le voisinage de cette valeur, l'écrire sous la
forme -p^ en désignant par cp une fonction holomorphe autour
de (^O)JKo)- Nous aurons donc
(^a7\AB...LA,...]Ni '/ d^ V AB. . .LA, . . .Nj Envisageons alors l'intégrale de did'érentielle lolale K , / II
