CO2, ..., W2U
un système de périodes cycliques. Toutes ces fonctions w de y doivent avoir leur résidu nul à Tinfini, si l'intégrale (i) est de seconde espèce; dans le cas contraire, en effet, en prenant l'intéerrale
dy
autour du pointjK = ^7 on aurait un résidu de l'intégrale double, qui par suite ne serait pas de seconde espèce.
En écrivant donc que les au périodes co ont un résidu nul à l'infini, on doit nécessairement retrouver les 271: conditions dont il a été parlé plus haut. On peut d^ailleurs vérifier directement qu'il en est bien ainsi. Si l'on part en effet de la surface
et qu'on fasse
l'intégrale
se transforme en
P(ir, jK, z) dx dy
■ "<'".'■ 'iiïjï.
2l8 CHAPITRE VIII.
D'après ce que nous avons dit plus haut (il y a seulement permutation de X et Y), l'intégrale double est de seconde espèce si toute période de l'Intégrale abélienne
relative à la courbe entre X et Z
a son résidu nul pour Y = 0. Mais ceci revient à dire que toute période de l'intégrale abélienne
^g^ rP(:r,y, z)d.T
relative à la courbe entre ^ et 3
a son résidu nul pour j)/ = co, car les deux courbes (8) et (10) se correspondent point par point. Nous retrouvons donc bien les ("onditions déjà trouvées.
Si l'intégrale double
P(.r, jK, z)dxdy
fj
fz
était de première espèce, l'intégrale (9) serait une intégrale de première espèce pour la courbe (10) et les m — i périodes polaires seraient nulles.
III. — Des intégrales doubles de fonctions rationnelles de seconde espèce.
11. A la fin du Chapitre Vil (n" 25) nous avons dit un mot du cas où l'on considère seulement des intégrales doubles de fractions rationnelles de x ely. D'après la théorie générale, si
(i) Jj¥{x,y)dxdy,
F étant une fonction rationnelle de x et y, est une intégrale double
de seconde espèce, on aura nécessairement
P et Q étant des fonctions rationnelles de x et jk. On peut en effet considérer que cet4.e intégrale double est relative à la surface
z — ax -\- by -\- c^
et, par suite, si elle est de seconde espèce, elle peut se ramener par la soustraction habituelle à
p{x,y)dxdy,
p étant un polynôme en x et jk, et l'on a bien par suite pour F la forme indiquée.
Il est intéressant cependant de traiter la question à un autre point de vue sans se reporter à aucun théorème général sur les surfaces algébriques, et nous allons nous poser la question suivante (' ) :
Quels sont les caractères dUtne intégrale double de fonction rationnelle dont tous les résidus sont nuls ?
Une question analogue se pose dans les éléments quand, étant considérée une fonction rationnelle d'une variable F(x), on demande à quelles conditions les résidus de l'intégrale simple
F ( ^ ) dx sont nuls. La réponse est alors que
U étant une fonction rationnelle de x.
Nous allons avoir, pour notre problème, une réponse présentant une analogie intéressante avec la question élémentaire que je viens de rappeler.
( ' ) E. Picard, Sur les intégrales doubles de fondions rationnelles dont tous les résidus sont nuls {Bulletin des Sciences mathématiques, 1902).
La condition nécessaire et suffisante pour que tous les résidus de r intégrale double (i) soient nuls est que l'on ait
V et Çl étant des fonctions rationnelles de x et y.
On aura ainsi en même temps une manière élégante d'exprimer les conditions pour qu'une fonction rationnelle Ae x eV y puisse se mettre sous la forme (2).
12. Il est d'abord très aisé de montrer que la condition est suffisante. On va voir en efTct que les résidus de
sont nuls, P et Q représentant des fonctions rationnelles de x ely. La chose est immédiate poui
-—- dx dy,
dx -^
])uisqu'on doit prendre d'abord, pour une valeur constante donnée à y^ l'intégrale
, dx
dx
le long d'un contour fermé, ce qui donne zéro. En ce qui concerne la seconde intégrale, soit
AaB^..I>
A, B, . . ., L étant des polynômes irréductibles en x et jk, contenant la lettre ^; a, .. ., X sont des entiers positifs; et désignons par .r, la fonction algébrique de jk correspondant à K{x^j y) =^ o. Le résidu de la fonction Q de x^ pour ^ = ^;,, sera visiblement une fonction rationnelle
de x^ et j^ , et le résidu de y^? pour x =r x^^ sera
Un résidu de l'intégrale double
—-- dx dy
dy ^
par rapport au continuum A(^^,JK) = o sera donc une période de l'intégrale abélienne
c'est-à-dire zéi^o.
