Considérons une surface algébrique

n'ayant que des singularités ordinaires et n'occupant pas de position spéciale par rapport aux axes de coordonnées. Nous allons étudier les intégrales de différentielles totales de troisième espèce relatives à cette surface.

Si l'on envisage un certain nombre |ji de courbes algébriques irréductibles sur la surface, il est possible qu'il n'existe pas d'intégrale de troisième espèce ayant seulement comme courbes logarithmiques ces a lignes ou quelques-unes d'entre elles, mais nous allons montrer que cette circonstance ne se présentera pas si a dépasse une certaine limite dépendant uniquement de la surface.

Une courbe G de la surface peut en général être définie par les

deux équations

kix.y) ^ o

z = R(^, JK),

A désignant un polynôme irréductible, et R une fraction rationnelle de X et y, le cylindre

( ' ) E. Picard, Sur les intégrales de différentielles totales de troisième espèce dans la théorie des surfaces algébriques {Annales de l'École Normale,

coupe la surface y suivant la courbe C et une ou plusieurs autres courbes. Celles-ci ne doivent pas être des courbes logarithmiques.

2. Considérons sur la surface/ de degré m une courbe C de degré c^ définie par les deux équations précédentes. Envisageons la famille de courbes définie par la relation entre x et z

où y représente un paramétre arbitraire; on peut former une intégrale abélienne relative à cette courbe jouissant des propriétés suivantes : Elle n'a d'autre points singuliers à distance finie que les points (3, x) de la courbe correspondant aux équations

et la période polaire correspondant à chacun de ces points singuliers logarithmiques est égale à + i . De plus, relativement aux /?? points de la courbe à l'infini (pour lesquels les m développements sont distincts (*^), l'intégrale a seulement comme point singulier logarithmique l'un d'entre eux, et la période correspondante est égale à — d; enfin, elle est de la forme

(\) I S(x, y,z) dx,

S étant une fonction rationnelle de .r, y et z.

On se rend compte aisément qu'il est possible de satisfaire aux diverses conditions qui précèdent. On peut, par exemple, procéder de la manière suivante. Soient

Ml, M,, ..., M,/

les <i points de la courbe C pour une valeur donnée dey, et désignons par M le point à l'infini de la courbe (i) qui doit être pouil'intégrale un point logarithmique.

Formons une intégrale de troisième espèce de la courbe

C) On se reportera au ChapiLre précédent ( n" 9); les m développements de z suivant les puissances de x ont pour coefficients des polynômes en y.

ayant les points logarithmiques

M, et M

avec les périodes polaires respectives

on peut s'arranger de manière que les coefficients de cette intégrale soient fonctions rationnelles de y et de (zi, xi). En faisant la somme de ces intégrales pour

on obtiendra une intégrale du type cherché T.

Ceci posé, si la courbe (i), entre x qI z (poury arbitraire), est de genre/?, l'intégrale I a, outre les périodes polaires provenant des singularités logarithmiques, ip périodes cycliques que nous désignerons par

de telle sorte que Tensemble des périodes de I est

Elles sont, sauf la dernière, des fonctions de y. Nous avons supposé quejK avait une valeur fixe, d'ailleurs arbitraire. Si Ton fait varier y et qu'on revienne au point de départ, l'ensemble des périodes (2), pour un contour déterminé, se transformera en

et l'on aura la substitution S

o) = jn\ W] -4- /?i| 0)2-!-.

■ --t- fn\pW2p-^ IJ-',

tOj — mf Wi -h m-l w.j-^-

• -+- rnlpiii^p -^ [J.-,

oi\p= m]Pix>i -+- m.|^^W2 -H .

..^mlf/,oi,p-\-lx^i'

-hi.

les m et les [a étant des entiers. Les m des 2/? premières colonnes ne dépendent nullement de la courbe G, c'est-à-dire du polynôme A et de la fraction rationnelle R. Ils sont les mêmes que ceux que nous aurions obtenus si, au lieu de considérer l'inté-

grale I, nous avions pris l'intégrale de seconde espèce

J fz

relative à la courbe (i), comme nous l'avons fait, Tome I, page 94 ; les

m{ , m'2, . . . , m',j, (i^i, î, .. . , ip)

sont les mêmes que ceux de la substitution S de la page 99 (/oc. cit.). Au contraire, les iji^ dépendent essentiellement de la courbe G.

Les points singuliers des to considérés comme fonctions de y ne dépendent nullement de la courbe G; c'est là un point très important pour la suite. Ges points singuliers ne peuvent être, en effet, d'une part, que ceux correspondant aux valeurs de r pour lesquelles le genre de la courbe

s'abaisse, d'autre part, que ceux correspondant aux valeurs de y ])Our lesquelles un des points logarithmiques se confond avec un point critique de la courbe. Les premiers sont les points critiques de l'intégrale (3), les seconds ne sont pas en réalité des points criliques. Gar, soient a,, «o, «3, .... les points critiques de la courbe (4), et b un point singulier logarithmique; b et les a dé-

Fiir. V.

pendent de y, et l'on suppose que, pour une certaine valeur a de y, le point b coïncide avec le point «,. Soit to une période correspondant à un contour F et enveloppant par exemple trois points a\ à une petite courbe autour du point logarithmique ^correspondra la période polaire -h 1. Quand j tourne autour de a et

revient à sa position initiale, il faut montrer que to revient à la même valeur; ceci est immédiat, puisque la période to -+- i , correspondant à un contour qui entoure les quatre points «j, «o, «3 et 6, ne change pas quand y tourne autour de a.

Les substitutions S, faisant connaître l'ensemble des valeurs des Cl) pour toutes les circulations de y autour des divers points critiques, sont donc en un certain nombre k indépendant de la courbe G.

3. Ces résultats obtenus, considérons maintenant ip intégrales distinctes de seconde espèce !<, lo, . . ., I2P de la courbe

en désignant par/? le genre de cette courbe, pour y arbitraire. Soient aussi 1 courbes G,, G2, . . . , Gx et formons X intégrales

du type [, relatives respectivement aux courbes G,, G2, G;}, . .., G>.. Gherchons à déterminer, s'il est possible, les fonctions /rationnelles de y

et les constantes c^^ c^, • • • , Q de telle sorte que l'intégrale abélienne, relative à la courbe (i)

(5) «ili +. , .-^- a^pl^p — C1J1+. . .+ c\i\j

ait toutes ses périodes indépendantes dey.

11 en est bien ainsi pour les périodes polaires. Pour les périodes cycliques, il n'en sera pas ainsi, en général. Désignons par

les périodes, supposées indépendantes dey, correspondant aux ip cycles initiaux, pour lesquels nous avons les substitutions fondamentales, désignées d'une manière générale par S. Supposons que cette substitution S soit relative à la modification des périodes de Ji pour une certaine circulation de y ; avec la même circulation de y, on aura la même substitution pour J2, . . . , J),, sauf que les [xse trouveront remplacés par d'autres entiers v, ...,7:.

Dans ces conditions, on devra avoir, puisque l'on suppose que les R ne dépendent pas àey^

K, = m'i Kl -+- mi Ko -+- . . . -^ m'jp K^j, ~ Ci ;jl' -h Cg v^' h- ... -h cxti'

(/=I,2, ...,ip).

On aura 2/? relations analogues pour chacune des k substitutions fondamentales du type S.

Ceci posé, admettons qu'on puisse trouver ip -f- X constantes

K,, Ko, ..., Kj/,, Cl, c,, ..., ex,

/lo/i toutes nulles, et satisfaisant aux ipk relations qui viennent d'être écrites : Nous allons montrer qu'o/i pourra alors former une intégrale de dijjérentielle totale ayant précisément les périodes précédentes. C'est, comme on voit, la généralisation de l'analjse développée (t. I, p. 98), pour étudier les intégrales de différentielles totales de seconde espèce.