Ecrivons, en effet, que les périodes de l'intégrale

«ill + «2 12 + . . .-h «2/J2/; + C, Ji-^. . .-i- CXJX,

correspondant aux ip cycles initiaux, sont égales aux constantes K,, R2, ..., K2;,. Nous aurons ainsi 9.p équations qui vont déterminer

il faut montrer que les a ainsi déterminés sont des fonctions rationnelles de y. Désignons par Ei, Eo, . . ., Eo^ les premiers membres de ces équations, nous aurons

E, -Kl, E2-K2, ..., E2;,-=K

il suffît de faire voir que ce système d'équations reste invariable quand on fait décrire à y un contour fermé quelconque, par exemple le contour auquel correspond la substitution S. Or, ces équations deviennent

ni\ E, -hm^ E2H-...+m|^E2^,-}-Ci|ji(i) -^-Cgvd^ ^. . . + cxtt^»^ = K,, m\ E,-4-m| Ej-^. . .^mr:,,E,/, ^-c,;ji(2) -^c,v(2) ^^^^^i^ii) ^^ K,,

système équivalent au système

El = Kl, E2 = K2, . • . , ^2p = K2P,

d'après les équations que nous supposons vérifiées par les constantes K etc.

Nous avons donc obtenu une intégrale de troisième espèce, relative à la courbe entre x el z

dont les périodes cycliques et polaires

Kl, K2, ..., Ksp, Cl, Ci, ..., ex,

sont indépendantes dey; désignons cette intégrale par

5. Il va être facile maintenant de former une intégrale de différentielle totale de troisième espèce, relative à la surface

ne pouvant avoir d'autre courbe logarithmique que les courbes

Cl, Ga^ . . . , Gx,

avec les périodes polaires correspondantes

Cl, C2, ..., ex,

et peut-être, en outre, la courbe à l'infini de la surface. On va voir, en effet, qu'on peut déterminer une fonction rationnelle S(^,y, z) telle que l'intégrale

j R{x,y, z)dx -i- S{x, y, z)dy

satisfasse à ces diverses conditions.

La fonction S (^, y, z)^ considérée comme fonction de x et y, doit vérifier la condition

^ ^ àx ày

On y satisfera de la manière suivante : Soit Xq une valeur fixe arbitraire et désignons par ^,, ^2, . . . , Zm les m racines de l'équation

f{xo,y,z) == o {m étant le degré/).

Posons

S = -1 |- r ' R(^,7, z)dx-^...-^ ^ Kix,y,z)dx\;

S, ainsi déterminée, a une valeur unique en chaque point {x^y^ z) de la swvîdiCQ^ puisque les périodes des intégrales ne dépendent vas de y. Par suite, cette expression sera une fonction rationnelle de {x^y^ 5), car les points singuliers de cette fonction ne peuvent être des points singuliers essentiels. De plus, on voit immédiatement que

dx m dy ^ v ? y ' / 1 ^^

comme il doit être.

Nous avons donc une intégrale de diflerentielle totale

R dx -t- S dy,

où R et S sont rationnelles en x^y et z.

L'intégrale précédente ne pourra visiblement avoir d'autres courbes logarithmiques que les courbes

Cl, Ci, . . . , Gx,

la courbe à l'infini sur la surface, et peut-être aussi des sections planes de la surface correspondant à des plans

y = const.

Il serait aisé d'établir qu'il n^y a pas de lignes logarithmiques de cette dernière catégorie; il suffirait, pour cela, de répéter le raisonnement fait pages io4 et io5 du Tome I, pour une circonstance analogue, mais il est inutile d'insister sur ce point, car si la section

donnant dans la surface une courbe indécomposable (ce qu'on

peut toujours supposer, puisque les axes sont arbitraires), était une courbe logarithmique avec la période correspondante B, il suffirait de retrancher de notre intégrale

log(y — b)

pour avoir une intégrale possédant la propriété voulue.

En résumé, si les constantes K et c satisfont aux ^pk relations à coefficients entiers du n" 3, nous pouvons former une intégrale de différentielle totale

Kdx '^'è dy

ayant les ip + X périodes

Kl, K2, ..., ..., K2/;, Cl, C2, ..., ex,

les \ dernières étant des périodes lo garithmiques correspondant aux courbes données à V avance

Cl, G2, . . . , Cx-

Certaines quantités c peuvent être nulles, auquel cas il n'y aurait pas de courbe logarithmique correspondante. Si tous les c étaient nuls, nous aurions une intégrale qui ne pourrait avoir d'autie courbe logarithmique que la courbe à l'infini de la surface /; mais une intégrale ne pouvant avoir une seule courbe logarithmique, notre intégrale n'en aurait alors aucune^ et nous aurions alors une intégrale de seconde espèce, conclusion qui est bien d'accord avec notre théorie des intégrales de seconde espèce.

6. Au point de vue des possibilités qui peuvent se présenter pour une surface donnée, quelques observations intéressantes sont à faire. Désignons, d'une manière générale, par relations (a) les ipk relations du n° 3. Envisageons sur la surface une courbe algébrique irréductible quelconc/ue Ci ; il peut arriver, ou non, que les équations (a) correspondant à la seule courbe Ci soient vérifiées pour une valeur de c< difierente de zéro. Dans le premier cas, on aura une intégrale de troisième espèce ayant pour courbes logarithmiques la courbe G, et la courbe à l'infini; dans P. ET S., IL 16

le second cas, il n'y aura pas de telle inlégrale. Si Ton est dans ce second cas, envisageons, outre Ci, une seconde courbe algébrique irréductible quelconque Co, et concevons les équations (a) relatives aux deux courbes C, et Go. Deux cas peuvent encore se présenter : il peut arriver ou non qu'on puisse satisfaire à ces équations, sans que Co soit nul. Dans le premier cas il y aura une intégrale de troisième espèce avec les deux courbes logarithmiques d et C2 et peut-être la courbe à l'inlini ; il est visible que Ci aussi ne sera pas nul. Dans le second cas, il n'y aura pas de telle intégrale. On peut ainsi continuer, mais non pas indéfiniment, car lorsque X est assez grand, on pourra nianilestement satisfaire aux équations (a), sans que tous les c soient nuls.

D'une manière plus précise, supposons que pour A courbes

Cl, C,, .... Cx,

il ne soit pas possible de satisfaire aux équations (a) sans que c^, C2, . . . , c\ soient nuls. Considérons une X -f- i^''""' courbe arhitiaire Cx^-i de la surface et formons les équations (a) relatives à Cl, Co, . . . , C),+i ; si \ est assez grand, il arrivera que ces dernières équations pourront être vérifiées sans que cx+i soit nul. En effet, pour X assez grand, les équations (a), dont le nombre ipk ne d(ipend pas de A, peuvent être vérifiées pour des valeurs des K et des c, les c n'étant pas tous nuls; d'autre part, pour les équations (a) relatives à C,, C2, • • • , Cx+j on ne peut avoir CX+) =0, car alors les équations (a) relatives à Ci, Co, • • -, Cx pourraient être vérifiées, c,, Co, . . . , cx n'étant pas tous nuls. INous aurons donc alors une intégrale de troisième espèce ayant certainement pour courbe logarithmique Cx+i et de plus.quelqu'une ou la totalité des courbes C, , Co, • • , Cx et de la courbe à l'infini. Ceci nous conduit au théorème suivant :

On peut, sur une surface f, tracer A courbes algébriques irréductibles particulières

Cl, C2, . . • , Gx

telles quil n'existe pas d'intégrales de différentielle totale de troisième espèce ayant seulement pour courbes logarithmiques une ou plusieurs de ces courbes C et de la courbe à l'infini^ mais

telles qiie^ si Von envisage une A -H i"''"'^ courbe arbitraire Gy^.! , il existera une intégrale de troisième espèce ayant seulement pour courbes logarithmiques la courbe Gx+i et la totalité ou une partie des courbes Ci, . . ., C>, et de la courbe à l^ infini.

Nous pouvons modifier renoncé, de manière à De plus avoir à parler de la courbe à l'infini. Supposons que, pour 0x^.1 arbitraire, l'intégrale I dont il vient d'être question admette la courbe à l'infini comme courbe logarithmique. En prenant une autre courbe CJ^j, nous aurons une intégrale F, ayant pour courbe logarithmique G).^! et la totalité ou une partie des G|, Go, ■ . . , Gx, et de la courbe à l'infini; on peut évidemment choisir la constante A

de manière que l'intégrale