DES INTÉGRALES DE FONCTIONS RATIONNELLES DE DEUX VARIARLES COMPLEXES
I. — Des intégrales doubles de fonctions de deux variables complexes. Extension du théorème de Cauchy, d'après M. Poincaré.
1. En désignant par F(^jJk) une fonction analytique de deux variables complexes x et y, cherchons d'abord ce que l'on doit entendre par l'intégrale double
(I) Jj¥{x,y)dxdy.
Cette expression n'a en elle-même aucun sens, mais il n'y a aucune hésitation à avoir sur la définition à adopter. Posons
a? = ^1 H- ix^^ y = x^-h îxi,
et considérons ^1 , X2j ^3, .^4 comme fonctions de deux paramètres a et ç; soit A une certaine aire dans le plan (u^ r). L'intégrale
sera, par définition, la valeur de l'intégrale (i) étendue à la portion de la surface de l'espace à quatre dimensions (^, , ^25 ^35-^4) qui correspond à Taire A du plan (?^, v\ Si Ton permute x et y, on aura une seconde intégrale égale et de signe contraire; d'après nos conventions antérieures sur les intégrales multiples des espaces à un nombre quelconque de dimensions, nous regardons cette seconde intégrale comme étendue à l'autre côté de la surface.
Mettons en évidence la partie réelle et la partie imaginaire de l'intégrale; en remplaçant x etj^par leurs valeurs, et posant
F = P H- iQ,
P. ET s. !\
5o CHAPITRE III.
on obtient
7J(P^'Q)|d(«,p) D(«,P)+nD(«.'')^ D(„,.)Jr"*
Nous avons donc, pour la partie réelle et pour le coefficient de /, les deux intégrales de surface
P{dxidx3 — dx^dx:,) —(^{dx^dx^-h dxydxi,), Q ( dxi dxs — dx2 dxi, ) + P ( dx.2 dx^ -{- dxi dx^ ) ,
intégrales de même forme que celles qui ont été étudiées au Chapitre I'^'' (n" 11). Ceci étant bien compris, cherchons avec M. Poincaré si l'on peut étendre, à ces intégrales doubles, le théorème fondamental de Gauchj. En d'autres termes, V intégrale double ci-dessus reste-t-elle invariable quand on déforme la surface d^ intégration en la faisant toujours passer par le même contour?
Nous allons voir que la réponse est affirmative, c'est-à-dire que les conditions trouvées au paragraphe précédent sont vérifiées. Prenons la première de ces intégrales
P ( dxy dxz — dxt dx:^ ) — Q ( «^'^■2^2 '^•273 -f- dx^ dxi, ) . Si nous l'écrivons, comme plus haut, sous la forme
S AiVt- dxi dxki
fp
on doit poser
Ai3 = — A3l=:
et tous les autres A sont nuls.
Or, nous avons ici quatre conditions à vérifier, puisque quatre
DES INTÉGRALES DE FONCTIONS RATIONNELLES. 5j
est le nombre de combinaisons de quatre lettres trois à trois. Soit d'abord la condition
elle se réduit à
et cette condition est vérifiée puisque P+^'Q est une fonction analytique de ^, + ix^^. Prenons encore
ÔA, âx,
àX2
dxx
âP
dx.
dxi,
' âx,
-Sx,-^
Elle se réduit à
condition qui est également satisfaite. On s'assurera de la même manière que les deux conditions restantes sont vérifiées. Il en est aussi de même pour la seconde intégrale : nous pouvons donc affirmer que le théorènie de Caucliy s'étend aux intégrales doubles.
2. Le théorème de M. Poincaré, que nous venons d'établir, peut, comme dans le cas d'une seule variable, s'énoncer sous une autre forme. Considérons dans l'espace à quatre dimensions (.2^<,^o,^3, ^,.) une surface fermée; une telle surface, par exemple, pourra être obtenue en prenant
Xi=^j{u,v), (i = ,,2, 3,4),
les cp étant des fonctions de u et v, périodiques par rapport à u et par rapport à v. Supposons que cette surface se déforme d'une manière continue et puisse ainsi être réduite à un point ou à une ligne de telle manière que, pour l'ensemble des valeurs de x et y rencontrées par la surface pendant cette déformation, la fonction F ne cesse d'être bien déterminée et continue. La valeur de l'intégrale ne changera pas pendant cette déformation; elle ne pourra donc être que zéro, puisque l'aire de la surface d'intégration tend vers zéro. iNous pouvons donc dire que, sous les condi-
52 CHAPITRE m.
lions indiquées, Vintégrale double
I J F{x,y)dxdy, étendue à une surface fermée, est nulle.
II. — Des résidus des intégrales doubles de fonctions rationnelles (•).
3. Si une surface fermée ne peut être réduite à un point ou à une courbe, par une déformation continue, sans rencontrer des systèmes de valeurs de x et dey, pour lesquelles F (^, y) devienne infinie ou indéterminée, la valeur de l'intégrale pourra être différente de zéro : on appelle alors cette valeur un résidu de l'intégrale double. Dans ce qui va suivre, nous nous bornerons au cas où le continuum d'Intégration reste tout entier à distance finie.
Prenons d'abord un exemple très simple; soit l'intégrale
dxdy.
xy
P(^, y) étant une fonction liolomorplie de :r et jv" dans le voisinage de ^ = 0, y = o. Je considère la surface définie par les
deux équations
X = Re"S y = R'e^'S
les paramètres réels u et v variant de o à 271 : c'est une surface fermée. La valeur de l'intégrale sur cette surface est
P(Re"S Vs!e^^)dudv,
dont la valeur est manifestement
On aurait pu prendre, comme surface d'intégration, l'ensemble
(') La notion de résidu des intégrales doubles de fonctions rationnelles est due à M. Poincaré (Sur les résidus des intégrales doubles, Acta matliematica, t. II). Le point de vue auquel nous nous plaçons ici est celui qui a été adopté par M. Picard, dans son Mémoire sur les fonctions algébriques de deux variables {Journal de Mathématiques, 1889), dans le tome II de son Traité d'Analyse (p. 256), et dans le tome CXXIV des Comptes rendus.
de deux courbes fermées G et G' entourant une fois l'origine dans les plans respectifs des variables x et y. Le résultat aurait été le même. Suivant le sens d'intégration sur les deux courbes G et G', on peut obtenir des résultats de signes différents. L'intégrale double
^ -^ ' dxdv
X'nyn J
nous donne, dans lès mêmes conditions,
et, en développant P(^, j) suivant les puissances de œ et j-, il restera simplement, comme valeur de l'intégrale,
4 7^2 / ^m-hn-2 p
4-. Présentons immédiatement quelques considérations générales. Soit l'intégrale
. . .dx dy.
P et A étant deux polynômes en x et y, réductibles ou irréductibles. Pour une valeur donnée àj^, l'équation en x
a un certain nombre de racines. Traçons dans le plan de la variable X un contour fermé G contenant à son intérieur un certain nombre de racines
de 1 équation précédente. Qnandy varie d'une manière continue, les X varient d'une manière continue; déformons en même temps d'une manière continue le contour G de manière que les racines ^1, ^25 • • ., ^a restent toujours à son intérieur et que les racines de l'équation A, primitivement extérieures à G, lui restent toujours extérieures. Supposons que la variable y décrive alors dans son plan un contour fermé P tel que, quand elle revient au point de départ, les racines ^,, ^o, • • -, ^a reprennent la même valeur ou soient seulement permutées entre elles, et que le con-
tour C puisse à l'arrivée reprendre la même position qu'au départ. Dans ces conditions, l'ensemble des courbes C, correspondant aux divers points de Y, peut être regardé comme formant un continuum fermé à deux dimensions dans l'espace à quatre dimensions. La fonction rationnelle
reste finie pour tous les points de cette surface, et la valeur correspondante de l'intégrale double est en général différente de zéro.
5. Faisons une première application de ces généralités. Nous envisageons l'intégrale
Q et R étant deux polynômes, et nous supposons que le point ^ =r o, jK = o soit un point simple de rencontre des deux courbes Q = o et R = o. Pour une valeur de y voisine de zéro, l'équation Q = o a une racine ^, voisine de zéro, et l'équation R = o une racine ^o voisine de zéro, de telle sorie que
Prenons comme courbe G une courbe dans le plan des x enlou-
rant x, et laissant ^2 à son extérieur. Quand la variable y décrit autour de l'origine une courbe fermée T suffisamment petite, les points Xi et x. reviennent à la fin à leur position initiale, et si C, en se déformant, reste suffisamment rapproché de Xi, il laissera toujours X2 à son extérieur. On peut par exemple supposer, si l'on veut, que G est un cercle de rayon assez petit, ayant Xi pour
centre.
Gherchons la valeur de l'intégrale prise le long de la surface
fermée correspondant à F et à l'ensemble des courbes G. Laissant d'abord y constant, nous avons à prendre, dans le plan des x, l'intégrale
Il faut donc calculer le résidu par rapport à œ^ de la fonction rationnelle
Nous avons, pour valeur de cette première intégrale, et il faut prendre maintenant dans le plan des jk
Au dénominateur, KÇx^, y) est une fonction dey s'annulant pour jK = o. Or, le résidu pour jk = o de la fonction sous le signe
d'intégration est
Or
dy ^ ^^y^— ^^j dy ~^ dy ~^ dx^ ôQ ~^ dy '
dx\
On trouve donc, pour la valeur de l'intégrale,
dy àx dx dy / j=o
Il est aisé de vérifier que si l'on avait pris un contour G enveloppant les deux racines Xi et ^21 la valeur de l'intégrale aurait été nulle.
6. Un cas présentant une grande analogie avec celui qui vient
de nous occuper est celui où l'on aurait l'intégrale
, dx dy,
la courbe A(œ,y) = o ajant un point double à l'origine. Nous avons pour y voisin de zéro deux racines ^, et Xo', nous considérons les mêmes courbes que plus haut. On a alors à calculer
ITll
Le résidu de la fonction sous le signe d'intégration est
P(o,o) „ dx^
Or, pour j/ == o, -^ - satisfait à l'équation du second degré
^^Aw) +^^-«A'^/"^ ^^^'''
et l'on trouve alors de suite pour valeur de l'intégrale
Ceci suppose que l'on n'a pas un point de rebroussement. Dans ce cas, les deux racines Xi et ^2 se permutent quand y tourne autour de l'origine, et pour que la surface considérée soit fermée, il faut que j)/- tourne deux fois autour de l'origine. On a alors à prendre l'intégrale
le long d'une courbe entourant deux fois l'origine, et l'intégrale est nécessairement nulle.
7. Après ces exemples, revenons aux considérations générales du n° 4. Le cas le plus simple serait celui où le contour G ne contiendrait qu'une seule racine x^ à son intérieur; il faudrait alors que le contour T du plan des y fût un cycle pour la racine x^
de l'équation
de telle sorte que x^ revienne à sa valeur initiale quandjK décrit F. En intégrant d'abord, en laissant y constant, nous avons
et l'intégrale cherchée est égale à
Elle est donc égale à une période dhine intégrale abélienne relative à la courbe A(jr, y)^= o ou à une de ses courbes composantes, dans le cas oii A serait réductible.
Soit maintenant d'une manière générale
un ensemble de racines situées dans G et se permutant les unes dans les autres quand jk décrit F. Nous pouvons substituer à G un certain nombre de courbes fermées de telle sorte que chacune d'elles ne contienne que des racines se permutant circulairement les unes dans les autres, et notre surface primitive sera ainsi remplacée par un certain nombre de surfaces plus simples. Il suffira de considérer l'une d'elles, et de supposer par conséquent que C ne renferme que ^< , x^^ ..., x^^^ en admettant que celles-ci se permutent circulairement. Nous aurons comme valeur de l'intégrale
^ ^ Jr\K{^uj) Ki^2,y) ' ---^ A'A^^,y))'''^'
Or, d'autre part, la courbe F parcourue [Ji fois formera évidemment un cjcle pour la racine Xi ; formons alors l'intégrale
le long du cycle ainsi défini. La valeur de cette intégrale sera égale à Fexpression (2), les différents termes de cette expression
08 CHAPITRE m.
correspondant aux difTérents tours faits sur la courbe T. Nous retrom'ons donc encore, comme plus haut, une période dHntégrale abélienne.
Prenons, comme application, l'intégrale double
r r dx dv ^^ JJ œ^ + y^-i'
On formera l'intégrale simple
27^' rdy^ 3 J x^
X étant lié àj)' par la relation
Les deux périodes de cette intégrale elliptique de première espèce seront les résidus de l'intégrale double (3).
8. Nous venons d'indiquer une classe très étendue de surfaces fermées pour lesquelles la valeur correspondante de l'intégrale double se ramène à une période, polaire ou cyclique, d'une intégrale abélienne. On peut se demander si la valeur de V intégrale double d^ une fraction rationnelle
,) [ dx dy,
prise sui\>ant une surface fermée arbitraire, assujettie seulement à ne pas rencontrer le continuum défini par V équation
se ramènera à une somme de multiples des valeurs que nous venons de trouver. La réponse est affirmative, et c'est ce théorème que nous allons établir.
Si l'on pose x = x^ -^-ix.. y =yi-\- iy^, toute surface à deux dimensions sera représentée par deux relations entre
^1, ^2, yu y^-
Nous supposons que le champ d'intégration ne corresponde pas à X arbitraire, y restant constant, auquel cas l'intégrale serait nulle.
Nous admettons aussi que le polynôme A(^, j/) et ses divers facteurs irréductibles (s'il est réductible) contiennent simultanément X et jK, comme on peut toujours le supposer, en ajant fait préalablement une substitution linéaire.
Pour une valeur donnée àjK2? l'équation
ou, ce qui revient au même, les deux équations
I A(a7, 1/)= Ai-h tAg]
définissent un ensemble de valeurs de^i, x^^y^ que l'on peut regarder comme représentant un certain nombre de courbes gauches a dans l'espace à trois dimensions (^j, x^-^Yk). Chaque plan
jKi ~ const.
rencontre les courbes a en un certain nombre de points toujours en même nombre, à savoir : le nombre des racines de l'équation A(^, j/)=o pour une valeur arbitraire donnée à y. Sauf pour certaines valeurs de y^ en nombre fini, l'ensemble des courbes a ne présente pas de points multiples; les valeurs de y. 2^ pour lesquelles cet ensemble a un point multiple, correspondent aux coefficients de i dans les valeurs de y pour lesquelles l'équation A(^,jk):= o a une racine multiple.
Ceci posé, revenons à notre surface fermée S d'intégration conçue tout à fait d'une manière générale. La surface étant tout entière à distance finie, il n'y aura de points de la surface que pour des valeurs de jko comprises entre deux certaines limites a^ et «2 («1 ^^o). Quand jKo en croissant devient égale à <2<, une courbe correspondante commence à paraître sur S. Deux cas peuvent se présenter : ou bien cette courbe se réduit à un point, ou elle est la limite de deux courbes qui sont venues se confondre; dans toute autre hypothèse la surface ne serait pas fermée. La courbe ne peut d'ailleurs, pour j/2=<^», se réduire à un point si l'on veut que l'intégrale soit difi^érente de zéro, car pour JK2 arbitraire la courbe correspondante, extension de ce point, ne tournerait pas autour des courbes a, et l'on pourrait, par une déformation continue, réduire
à zéro, sans rencontrer aucune singularité, une portion fermée de la surface. Nous avons donc pour r2 = <^t i^ne certaine courbe, enveloppant quelques-unes des lignes a; quand y^ croît, cette courbe se dédouble, et l'on a ainsi pouryo arbitraire des couples de courbes qui, pendant la variation continue de y-ij i^e peuvent disparaître que deux par deux en venant à coïncider. Nous désignerons par C une de ces courbes correspondant à une valeur d'ailleurs quelconque de j''o.
Considérons alors une courbe C et les lignes a qui correspondent à la même valeur de y 2- Par cette courbe G faisons passer une surface 2 ayant C pour contour. Celte surface rencontrera une ou plusieurs lignes a^ soient M ces points de rencontre. Une déformation continue de C permettra, en supprimant des lignes parcourues deux fois en sens inverse, de la réduire à de petites courbes entourant les points M. On pourra ensuite déplacer ces dernières courbes de manière qu'elles soient chacune dans un
plan
y^ = const.,
toutes ces réductions et tous ses déplacements s'effectuanl d'ailleurs sans traverser les lignes a.
De celte façon nous avons remplacé la surface initiale S par un certain nombre de surfaces engendrées par une petite courbe située dans un plan
K étant une constante, qui varie avecyo suivant une loi en grande partie arbitraire. Chacune de nos nouvelles surfaces rentre dans le type des surfaces étudiées au numéro précédent; l'ensemble des valeurs de JK2 et de y, donne sur le plan de la variable y une courbe fermée, et à chaque point de cette courbe fermée correspond une petite courbe dans le plan de la variable x. Le théorème est donc établi.
On pourrait encore l'établir de la manière suivante. Nous avons désigné par a^ et «2 les valeurs entre lesquelles varie jKo; soient pareillement b^ et 62 les valeurs entre lesquelles varie j,. Quand ^2 va en croissant de a^ à «o, chacune des courbes a engendre une portion de surface, et l'on a ainsi autant de lames de surface qu'il y a de racines. Ces lames ne se coupent pas et se
DES INTÉGRALES DE FONCTIONS RATIONNELLES. 6l
louchent seulement aux points qui correspondent aux racines multiples. L'intersection de cette portion de surface par un plan jTi = K se compose donc d'autant de portions de courbe [^ qu'il y a de racines, ces courbes ne se coupant pas et pouvant seulement être tangentes.
Revenons maintenant à notre surface d'intégration. A chaque valeur dejK2 correspondront une ou plusieurs courbes fermées G dans l'espace ^1, ^2, /<, et l'ensemble de ces courbes déterminera une surface fermée S complètement comprise entre les plans J^< = ^15 J^i~ ^2- Cette surface pourra couper une ou plusieurs des lames de A définies précédemment, mais elle ne pourra en traverser complètement aucune. Envisageons en effet une courbe d'intersection de S avec une des lames de A. Sur cette courbe, considérée comme appartenant à A, jk2 varie de a< à a.y, et considérée comme appartenant à S, y^ varie entre des limites au plus égales. Si donc l'intersection était complète, il existerait au moins sur la surface d'intégration un point appartenant à A.
La surface S possède donc un certain nombre de trous, par lesquels passent une ou plusieurs lames ou portions de lames de A et l'on conçoit que l'on puisse, par une déformation continue, substituer à la surface S une nouvelle surface à trous, tangente aux pluns jK< = 6,, jki = ^2? et par lesquels passeront entièrement une ou plusieurs lames de surface A.
On peut donc considérer la surface d'intégration comme définie par deux équations de la forme
Pl(-2^I,^2, JKl)=0, P2(^l, ^2,^15^2)= O;
c'est-à-dire qu'elle est située dans l'espace Xi , Xo, yt^y^ sur une sorte de cylindre indéfini, Pi(^i, ^2, yi)=zo, qui ne rencontre pas la portion de A définie plus haut. On peut alors, par une seconde déformation continue de la surface d'intégration sur ce cvlindre, lui substituer une nouvelle surface définie par des équations de la forme
Pl(a?i,a72, Ji)=-0, P2(jl,r2)=0,
ce qui suffit pour établir le théorème énoncé.
Il est donc démontré que tout résida de V intégrale double
ff
P (x. y)d.T dy
peut être regardé comme une période logarithmique ou cyclique d'une intégrale abélienne.
9. Considérons, comme application, une intégrale double étudiée il y a longtemps déjà par Didon \^Sur une formule de Calcul intégral {Annales de V École Normale, 1873)]. .Ce géomètre, guidé sans doute parla pensée de trouver le nombre des racines communes à deux équations simultanées
/(^,j) = o, cp(:r,7)=o,
racines pour lesquelles 1'^ fût compris dans un certain contour C du plan des ^, tandis que Vy devait être à l'intérieur d'un contour C! du plan des j, considéra l'intégrale double
r r Ldx dy
où A = ^ ^ - ^ ^, la variable x décrivant C et la variable j
dx dy dy dx
décrivant C On suppose, bien entendu, qu'il n'y a pas de système {x^y) annulant soit/, soit cp pour lequel x soit sur G ety sur C Cette intégrale offre évidemment une certaine analogie avec l'iiitéerale de Cauchy
qui est égale au produit par 271/ du nombre des racines contenues dans C.
Didon démontre que l'intégrale (4) est égale au produit de {iTÙ)' par un nombre entier, mais ici ce nombre enlier n'a en général aucune relation avec le nombre des racines communes aux deux équations. Au point de vue où nous sommes placés, le résultat de Didon devient évident, et Ton peut même lui donner
une forme plus générale en considérant l'intégrale double
étendue à une surface fermée quelconque à deux dimensions S de l'espace à quatre dimensions, pourvu que sur cette surface /cp soit toujours différent de zéro. Posons
cp(^,j)-Y;
à la surface S de l'espace à quatre dimensions {x, y) correspond une surface fermée 1^ de l'espace (X, Y); on a donc à considérer l'intégrale double
d\dY
ir
XY
Or tous les résidus de cette intégrale double sont égaux à un multiple de (27:^)2; on a donc pour valeur de l'intégrale (4) une expression nécessairement de la forme
p étant un entier positif ou négatif.
Il serait facile de démontrer directement ce résultat sans recourir à aucune théorie sur les intégrales de fonctions de deux variables complexes; c'est ce que fait Didon. Considérons d'abord l'intégrale
Désignons par Xq et jKo les valeurs initiales d'intégration sur C et G^; prenons une détermination initiale de
et, dans la suite, log/(^, y) désignera la détermination obtenue du logarithme, quand x et jr ont marché respectivement sur G et G' depuis ^0 et j^o dans le sens positif. En intégrant par parties,
64 CHAPITRE ni.
on a
df do
log/(-^'ojr) indique la valeur de \ogf{x,y) quand x revient en Xq] la différence des logarithmes qui figurent dans l'intégrale double du second membre est donc égale à irùm^ m étant un entier. On a de la même manière
df do
et la valeur de log/(:r, /„)— log(j;, /o) est égale à ^ran, n étant UQ entier. La valeur de l'intégrale (4) se met alors sous la forme
or on a évidemment
/?i' et Ai' étant des entiers; nous arrivons donc à
qui est bien de la forme voulue. La signification des entiers m et 71 est d'ailkurs immédiate, mais le coefficient de — 4712 peut avoir une valeur absolue différente du nombre des racines des équations /=o, 0 = 0, pour lesquelles 1'^ est compris dans C et lydansC
C'est par une tout autre voie qu'on pourrait obtenir le nombre des racines des deux équations
pour lesquelles Vx est contenu dans le contour C, et Vy contenu dans le contour G^ On sait, en effet, qu'on peut représenter (^) par une intégrale triple le nombre des racines des deux équations précédentes contenu à l'intérieur d'un continuum fermé S à trois dimensions situé dans l'espace à quatre dimensions (^,jk); cette intégrale triple est étendue à ce continuum S. 11 suffira ici de prendre pour continuum S la somme du continuum obtenu en donnant à a; une position quelconque à l'intérieur de G tandis que j reste sur G^ et du continuum analogue qui correspond à x restant sur G tandis que y occupe une position quelconque à l'intérieur de G^ La solution du problème proposé est donc fournie par une intégrale triple, et non par une intégrale double.
10. Faisons, en terminant, une remarque importante (2), qui accuse une différence profonde entre la théorie des intégrales doubles de deux variables complexes et celle des inté^-rales simples d'une variable complexe. Dans cette dernière théorie on ne peut faire passer le chemin d'intégration par un point où la fonction devient infinie : bornons-nous aux intégrales de fractions rationnelles; l'intégrale
Qi^)
dz
n'a aucun sens, si le chemin d'intégration passe par une racine du poljnome Q(^). Il peut en être autrement dans le cas des intégrales doubles ; soit l'intégrale
7— ~ dx dy.
Elle pourra avoir un sens bien déterminé si la surface d'intégration S rencontre le continuum défini par l'équation
Il en sera ainsi si les points de rencontre des continuum S et
(M On peut consulter le Chapitre VII du Tome II du Traité d'Analyse de M. Picard, où sont exposés les travaux de Kronecker et de M. Picard sur ces questions.
(-) Cette remarque a été faite par M. Poincaré dans le Mémoire déjà cité {Acta mathematica, t. IX, p. 368).
Q ne forment pas une ligne, c'est-à-dire sont des points isolés, et si en ces points le quotient ^ devient infini seulement du premier ordre. On sait, en effet, qu'une intégrale double ordinaire a un sens, quand l'élément devient infini en un point A, pourvu que la fonction sous le signe d'intégration soit de l'ordre -, en
désignant par p la distance du point variable au point A, Prenons, comme exemple, l'intégrale
— ^ — ^^ dx dy, ax^hy "^
le rapport - n'étant pas réel. Supposons que la surface S d'intégration corresponde à un ensemble de valeurs réelles de x et y, parmi lesquelles se trouvent x =y = o. L'intégrale aura un sens, quoique la fonction sous le signe d'intégration devienne infinie pour x = o,y = o [nous supposons P(o, 0)^0]. Nous pouvons, en effet, sur S, poser
X = p cosO, J — P sinô, p et B étant réels : nous avons alors l'intégrale
P(pcosQ, psinO) ^^ ^^Q rtCos6 + 6sin6 '
Avec l'hypothèse faite sur le quotient |, le dénominateur ne peut s'annuler pour une valeur réelle de 0, et l'intégrale a, par suite, une valeur parfaitement déterminée. Le continuum d'intégration et le continuum
ax -^ by = o ,
ont ici, comme seul point de rencontre, l'origine. Les circonstances seraient autres si | était réel; il y aurait alors une courbe de rencontre entre les deux continuum et l'intégrale n'aurait aucun
sens
Revenons au cas général de l'intégral»
et supposons que la surface d'intégration S rencontre en un point le continuum Q. On déforme la surface S en lui laissant le même contour. Le point de rencontre (^, y) avec Q va se déplacer; il va passer de la position Ai de coordonnées (^i, jki ) à la position A2 de coordonnées (^25jK2)- La valeur de l'intégraJe ne restera pas constante, comme dans le cas où S ne rencontrait pas Q; il est facile de trouver la différence des valeurs finale et initiale de rintégrale. Cette différence sera égale à la valeur de l'intégrale prise le long de la surface engendrée par une courbe infiniment petite entourant le point x^ racine de l'équation
quand (^,jk) se déplace de {x^^y^) à {x^^yi)'^ elle sera donc égale à l'intégrale simple
„,\ -^ ' cly,
comme on le voit de suite, en faisant des calculs analogues à ceux du n° 7.
III. — Des intégrales de différentielles totales de fonctions rationnelles.
11. INous avons considéré dans la Section précédente des intégrales doubles dans l'espace à quatre dimensions (^i, ^2, JKi? J'2) qui est le champ de variation des deux variables complexes x et y. D'autres intégrales se présentaient tout d'abord plus immédiatement; ce sont les intégrales de différentielles totales de la forme
dx -\- B dy,
A et B étant des fonctions rationnelles de x et y, et en supposant vérifiée la condition d'intégrabilité
àA dB Oy ôx
Dans ces conditions l'intégrale
X dx -i- B dy
Yo
ne varie pas quand on intègre sur une ligne allant du point (^o,yo) au point {a:, y), pourvu que la ligne, en se déformant, garde les mêmes extrémités et ne rencontre aucun point pour lequel A et B cessent d'être continues.
Si l'on intègre le long d'une ligne fermée, on aura une valeur qui ne changera pas quand on déformera la ligne sans traverser aucune singularité des fonctions A et B. Réduisons A et B au même dénominateur, et soit
On peut supposer que chacun des facteurs irréductibles du polynôme R(a',j) dépende à la fois de^ et7;ilsera toujours possible d'arriver à ce résultat en effectuant sur ^ et y une substitution linéaire. Nous allons montrer qu'une ligne fermée arbitraire, ne rencontrant pas le continuum
peut être déformée, sans rencontrer ce continuum, de manière que l'on ait pour tous les points de cette courbe
y = const.
Par chaque point de la ligne L nous pouvons, dans l'espace à quatre dimensions, mener une droite ne rencontrant pas le continuum R. Si nous partons d'un point déterminé de L correspondant à jk2=7Î! et que nous décrivions ce contour,' 'on peut à chaque point associer une telle droite, celle-ci se déplaçant d'une manière continue; quand on revient au point de départ A, il peut arriver que la droite obtenue en arrivant ne coïncide pas avec celle que l'on avait au départ. Considérons un plan
le lieu des points de rencontre avec ce plan des droites précédentes forme une courbe L', non fermée en général, et ses deux extré-
mités a et a! correspondent au point A de L. Une déformation continue, sans traverser le continuum R, permet de passer de L à la ligne fermée \ formée du segment de droite Aa (sur lequel JK2 a la valeur initiale j^a)? ^^ la courbe \J et de la droite o! K (jko ayant la valeur y^)' D'autre part, considérons la ligne correspondant à y^^=iy\ et à une courbe arbitraire y allant de o! à a dans le plan y\ ^=y\\ les trois lignes y, a A, Aa' forment, une courbe fermée V située dans le planjro=jKS- L'ensemble des deux courbes \ et X', en tenant compte des parties communes qui se détruisent, se réduit à une certaine ç.owx\>ç. fermée située dans le plan
Il en résulte que la courbe L est remplacée par deux contours : l'un situé dans le plan jKi =.7^7 l'autre dans le plan y.y^=iy\. Chacun de ces contours peut maintenant être ramené facilement à un contour pour lequel on ait
y = const.
Prenons, par exemple, le contour pour lequel y.2=yl. Pour cette valeur JK25 les deux équations
1^2(^1,^2, yuy2) = o
déterminent dans l'espace (^i, cc^i y\) des courbes p. Chaque planjKi = const. rencontre les courbes p en un certain nombre de points toujours en même nombre, à savoir le nombre des racines de l'équation R(^, y)= o pour une valeur arbitraire donnée à y. Sauf pour certaines valeurs de y^ en nombre fini, l'ensemble des courbes p ne présente pas de points multiples; les valeurs de yo, pour lesquelles cet ensemble a un point multiple, correspondent aux coefficients de i dans les valeurs de y pour lesquelles l'équation R = o a une racine multiple. On peut supposer que y^ n'est pas une de ces valeurs singulières et déformer la ligne étudiée de façon à la faire venir dans un plan
nous avons alors, comme nous le voulions, réduit notre contour à être dans un plan y =•• const.
Il résulte de là que les résidus de l'intégrale
sont ceux de l'intégrale relative à la seule variable x
/P(x, y)dor
Les résidus de la fonction rationnelle de x
seront par conséquent indépendants de y. Il faut donc nécessairement que la valeur de
x^ étant une racine de
soit une fonction de jk se réduisant à une constante; ceci doit être une conséquence de la condition d'intégrabilité.
SINGULARITÉS D'UNE SURFACE ALGÉRRIQUE. DES INVA- RIANTS D'UNE SURFACE AU POINT DE VUE DE LA GÉO- MÉTRIE DE SITUATION.
