I. — Réduction des singularités d'une surface algébrique

1. La première question qui se présente dans la théorie des fonctions algébriques de deux variables est l'étude de ses singularités. On sait que les points singuliers d'une surface algébrique peuvent être extrêmement variés ; une surface peut avoir des points singuliers isolés, ou des points singuliers formant une courbe continue qui est une ligne multiple.

Avant d'entrer dans une étude approfondie, on peut remarquer que la représentation paramétrique des coordonnées d'une surface à l'aide de fonctions algébriques de deux paramètres conduit en général à certaines singularités qu'il sera naturel, à ce point de vue, de regarder comme ordinaires. Prenons d'abord le cas d'une courbe algébrique, et supposons que l'on ait

/et cp étant des fonctions algébriques d'un paramètre u. Considérons les deux équations

f{ii)=f{u')..

On a là deux équations à deux inconnues u et u'. En dehors de la solution u = u' , on pourra avoir un nombre limité de solutions {u, u')', à ces valeurs, en prenant les déterminations convenables des fonctions y et cp, correspondra le même point de la courbe, et en général deux branches de courbes passant par ce point. Celui-

ci sera donc un point double, et, par suite, au point de vue paramétrique où nous venons de nous placer, un point double peut être envisagé comme une singularité ordinaire.

Passons maintenant au cas d'une surface, et partons encore d'une représentation paramétrique

j- = cp(w, P), z = 'l(u, v),

où/, cp, 'il sont des fonctions algébriques de u et ç. Considérons les équations

(p(w, t^):= (p(it', (;'),

Nous avons là trois équations à quatre inconnues u^ c^, u'^ v' . En laissant de coté les solutions u = u' , v = p', nous pourrons avoir des solutions dépendant d'une arbitraire, et à ces solutions correspondra en général sur la surface une ligne continue par laquelle passeront deux nappes de la surface; cette ligne sera une courbe double.

Nous pouvons ici aller plus loin, en formant le système

( f{u,v) = j'{ii:, v')=f{u!',v"), (i) \t:^{u,v)=o{ii\v')=^{u'\v"),

de six équations à six inconnues w, ^, u' ^ v' ^ ii\ i>" . En dehors des solutions correspondant à

Il = u' = u", V — v' = p", w = w' = w\

il pourra y avoir un nombre limité de solutions, et celles-ci correspondront en général à des points triples de la surface. Par un tel point triple O passeront trois lignes doubles de la surface et trois nappes de 4a surface se coupant deux à deux suivant ces lignes doubles.

Les trois lignes doubles passant par le point O correspondront respectivement aux équations que l'on obtient en prenant deux des trois colonnes verticales dans les équations (i) et en égalant

SINGULARITÉS d'lNE SURFACE ALGÉBRIQUE. 78

entre eux les termes d'une même ligne. Le point O sera en général un point triple pour la ligne double, et les tangentes aux trois branches de cette ligne seront en général distinctes. Le cône des tangentes à la surface au point O est formé de trois plans, correspondant respectivement aux: trois nappes de la surface passant en ce point; on peut appeler un tel point triple un point triplanaire,

2. Un cas particulier très simple et très intéressant d'une représentation paramétrique conduisant, comme ci-dessus, à un point triple est fourni par la surface de Steiner; il nous suffira de rappeler cet exemple. Soient

quatre polynômes quelconque du second degré en a et ^3. Si l'on pose

on a la surface du quatrième degré qui porte le nom de Steiner. Cette surface a été étudiée par Clebscb {^Journal de Crelle, t. 67) en se plaçant au point de vue du paragraphe précédent. On voit ainsi facilement, avec la représentation paramétrique, que la surface a trois droites doubles formant un trièdre, et le sommet de ce trièdre est un point triple. Dans le plan (a, P), les trois droites doubles correspondent aux trois côtés d'un triangle, et le point triple correspond aux trois sommets de ce triangle.

3. Revenons au cas général. On sait que pour les courbes algébriques la réduction des singularités a été faite par M. Nœther à l'aide de transformations quadratiques. L'illustre géomètre d'Erlangen s'est aussi occupé, à diverses reprises, de la réduction des singularités des surfaces (<), sans traiter toutefois, ce semble, la question dans son entière généralité. Après M. Nœther, on doit

(') Nous citerons, particulièrement, un Mémoire de M. Nœther dans les Comptes rendus delà Société royale de Gottingen, 1871, et une Note du même auteur dans les Sitzungsberichte de l'Académie de Berlin (1888). Dans ce dernier article est énoncé un théorème très important sur lequel nous reviendrons bientôt.

citer, parmi les géomètres qui se sont occupés de la réduction des singularités, M. del Pezzo (*), puis à un point de vue plus spécial M. Kobb (-), et plus récemment M, Segre (^) dans un Mémoire très intéressant au point de vue géométrique.

Dans bien des cas, certaines transformations quadratiques peuvent être employées avec profit pour réduire une singularité : c'est ce qu'avait fait M. Nœther, et ce qu'ont fait aussi MM. Kobb et Segre. Supposons, par exemple, que nous ayons un point multiple d'ordre m à l'origine; nous aurons l'équation de la surface

et nous pouvons supposer que les axes ont une position arbitraire par rapport à la surface. Posons

X = XZ, y = YZ, z = Z:

nous aurons la surface transformée

(F) ?m(X,Y, i)-+-Zo,„+,(X, Y, ,) + ...= o.

Considérons d'abord l'ensemble des points de /autour de l'origine, pour lesquels X et Y restent finies. A cet ensemble correspond l'ensemble des points à distance finie de F défini par les deux équations

c'est-à-dire une certaine courbe de F. Il arrivera en général que cette courbe sera une courbe simple de F, et qu'aucun de ses points multiples, si elle en a, ne sera point multiple de F. Alors le point multiple considéré a été remplacé par des points simples dans la surface transformée, et une réduction se trouve faite qui peut être intéressante dans de nombreuses circonstances. Ainsi, dans le voisinage de chacun des points de la courbe précédente, on peut exprimer une des coordonnées à l'aide des deux autres par un développement holomorphe ou, d'une manière

(') Del Pezzo, Jntorno ai punti singolari délie superficie algebriche {Société Math, de Palerme^ 1892).

(2) G. Kobb, Sur la théorie des fonctions algébriques de deux variables {Journal de Mathématiques, 1892).

(3) G. Segre, Sulla composizione dei punti singolari délie superficie algebriche {Annali di Matematica, 1896).

SmGULARITÉS d'uNE SURFACE ALGÉBRIQUE. ^5

plus générale, les trois coordonnées, par des développements holomorplies dépendant de deux paramètres; il est clair qu'à l'aide d'un nombre limité de tels développements on peut embrasser tous les points de la surface correspondant à des valeurs de Z dont le module est moindre qu'un nombre e pris suffisamment petit et à des valeurs de X et de Y pour lesquelles les modules de X et Y sont finis, nous voulons dire moindres qu'un nombre déterminé M. Pour les points de la surface primitive f, correspondant à des valeurs de |X| et I Y| supérieures à M, on fera d'autres transformations quadratiques que celles que nous avons effectuées, soit

ou bien encore

iT = XY, JK = Y, z=: ZY.

On arrivera ainsi à avoir un nombre limité de développements holomorphes de x^ y, z par rapport à deux paramètres u et V dans le voisinage de u^=o^ ^ = o, qui donneront l'ensemble des points de la surf ace f autour de V origine.

Nous démontrons ainsi, dans un cas particulier, un théorème absolument général, comme nous allons le voir tout à l'heure. Cette représentation du voisinage de l'origine sur la surface/", à l'aide d'un nombre limité de représentations paramétriques holomorphes, est d'un très grand intérêt.

4. Nous nous sommes placés au paragraphe précédent dans les circonstances les plus favorables. D'autres cas plus complexes peuvent se présenter; bornons-nous, en restant dans le même ordre d'idées, au point double. Le cas général d'un point double est celui où le cône des tangentes est indécomposable; comme cas particuliers, on a celui du point biplanaire où le cône se réduit à deux plans, et celui du point uniplanaire où le cône se réduit à un plan double.

Le cas du point biplanaire général ne donne pas naissance à la moindre difficulté; on aura l'équation de la surface

En faisant encore

^ = XZ, 7 = YZ, z = Z,

on a la surface transformée

La conique

se compose ici de deux droites. Nous avons donc alors, comme correspondant à Forigine sur /, deux droites sur F; ces droites sont simples et leur point de rencontre sera en général un point simple de la surface F. 11 en serait autrement si les coordonnées du point double de la conique cpo annulaient cp3(X, Y, 1); en désignant par a et [3 ces coordonnées, le point (a, [^, o) serait un point double de F.

Si Ton veut continuer la réduction, il faudra réduire ce point double de F qui, en général, sera un point à cône indécomposable, et finalement on aura remplacé le point double primitif de / par certaines lignes simples d'une surface transformée ne passant pas par des points multiples de cette surface.

Arrêtons-nous encore sur le point uniplanaire. Dans cette hypothèse ^^ sera un carré parfait et l'on aura

cp2(X, Y, 0 = (aX + pY + Y?.

La ligne droite A ayant pour équations

aX + ?Y-+-Y = o, Z = o

sera en général une ligne simple de F, mais il y aura sur elle deux points doubles de F, à savoir les points correspondant à Z = o

et 9.

aX + pY + Y = o, cp3(X,Y,i)=o.

Ces trois points doubles de F, situés sur A, seront d'ailleurs, en restant toujours dans la généralité de la singularité envisagée, des points doubles à cône indécomposable, et la réduction pourra encore s'achever sans difficultés.

Les circonstances seraient différentes si cpa était divisible par aX+ pY-hy; on pourrait, dans ce cas, mettre l'équation de la surface / sous la forme

On aura alors ce que les géomètres anglais appellent un tac-

SINGULARITÉS d'uNE SURFACE ALGÉBRIQUE. 77

nodal point. Toutes les sections planes de la surface, passant par un tacnode, ont en ce point un point double où il y a contact de deux branches. La transformation faite plus haut

X = XZ, y = YZ donne

(F) X2-i-XZt{;2(X, Y, l)-4- Z2 04(X, Y, l) + ...=:. o.

La surface transformée (F) a pour ligne double la droite

et en général les deux plans tangents à la surface en un point arbitraire de cette droite double seront distincts.

5. Après ces cas particuliers, occupons-nous de l'étude générale des singularités. Nous ne suivrons pas les auteurs cités ci-dessus, dans les démonstrations desquels subsistent peut-être quelques difficultés, et nous aborderons le problème d'une autre manière. Mais revenons d'abord un moment sur les courbes planes. On sait que M. Nœther s'est servi, pour dissoudre les singularités d'une courbe plane, d'une succession de transformations quadratiques. Dans un article récent {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse j 1896) M. Vessiot s'est servi pour l'étude des courbes planes d'une transformation intéressante que nous allons rappeler; soit

l'équation de la courbe donnée sur laquelle on a d'abord fait une transformation homographique arbitraire. Posons

On aura une nouvelle courbe entre X et Y, qui correspondra uniformément à la première. On la transforme homographiquement, et l'on recommence la transformation précédente; après avoir opéré ainsi un certain nombre de fois, tous les points singuliers de la courbe initiale auront été transformés en points simples de la dernière courbe obtenue. Nous appellerons transformation S une transformation permettant d'obtenir ce résultat.

Ceci posé, considérons une surface algébrique /ayant une ligne

multiple L (réductible ou non) de nature quelconque. Faisons pivoter nn plan autour d'une droite arbitraire; ce plan, dans chacune de ses positions, coupe la surface suivant une courbe G ayant comme points multiples ses points de rencontre avec la ligne L. Or au moyen d'une transformation S nous pouvons transformer la courbe G en une autre telle que les points multiples de G correspondent à des points simples de la courbe transformée^ quand le plan pivote autour de la droite, nous pouvons faire usage d'une transformation S variant elle-même d'une manière continue, et telle que les coordonnées du point transformé soient des fonctions rationnelles des coordonnées du point primitif. On remarquera que pour certaines poshions particulièi^es du plan la courbe aura des singularités plus complexes que pour une position arbitraire; pour ces positions on devra alors employer pour former S un plus

^rrixnd nombre de transformations élémentaires. G'est le maximum

de ce nombre que l'on devra prendre dans tous les cas, pour être

assuré d'avoir une transformation qui dissolve les singularités de

la courbe G pour toutes les positions du plan. On obtient de cette

manière une transformation, que nous pouvons, en employant les

coordonnées homogènes, mettre sous la forme

les P étant des polynômes homogènes de même degré en .x, y, z, t. Les polynômes P s'annulent tous les quatre pour la ligne multiple L. Les formules précédentes font correspondre à la surface/ une surface F, et à la ligne multiple L de/ correspond sur F un certain nombre de lignes simples ne passant pas par des points multiples de cette surface; ceci résulte évidemment de ce que dans chax^ue section tous les points multiples ont été transformés en des points simples de F; la transformation qui a réduit la ligne multiple L a fait naître d'autres singularités, mais le point essentiel pour nous actuellement est la réduction de la singularité formée par toutes les lignes multiples de la surface.

Le théorème qui a été démontré tout à l'heure (n° 3) dans un cas très particuher résulte immédiatement de ce qui précède, dans toute sa généralité. A la ligne multiple L de / correspondent sur F des lignes simples, et il est clair que pour de telles

SINGULARITÉS d'uNE SURFACE ALGÉBRIQUE. 79

lignes on peut avoir, au moyen d'un nombre limité de développements holomorphes, V ensemble des points de la surface situés dans leur voisinage.

Nous avons supposé, dans ce qui précède, que la surface avait seulement comme singularités des lignes multiples. Il pourrait v avoir en outre des points singuliers isolés, mais ceci n'est la source d'aucune difficulté et les mêmes considérations sont applicables. On réduira en effet cette singularité en transformant les sections faites par un plan pivotant autour d'une droite qui passe par le point multiple. En combinant ces diverses transformations, on arrive ainsi en définitive à une transformation de la forme indiquée plus haut

V,{x,y,z,t) ~ \\[x,y,z,t) ~ P^ix,y,z,t) ~ V,{x,y,z,ty

qui réduit toutes les singularités de la surface. Les poljnomes P ne s'annulent simultanément que pour les points ou lignes multiples de /, et, sur la surface transformée F, des points simples correspondent aux points singuliers de /. La surface F aura d'ailleurs en général des lignes multiples qui correspondent à des ensembles de couples de points simples (^, jr, s, t) et {x' ^ y' , z', t') de la surface /, pour lesquels les rapports des poljnomes P ont même valeur.

6. La réduction des singularités de la surface est achevée, mais on peut aller plus loin, en cherchant à diminuer autant que possible les singularités de la surface transformée. Envisageons les équations

a7i=Pia7, x2=Piy, iP3=Piz, x!,= Pit,

X^=V^X, ^6=:P2jK, X-,= V^Z, ^8=P2^

x<i=?-iX, .rio=P3r, x^^V^z, x^.^^V^t,

^13= Pi^, ^14=P4jK. ^lo=P4 5, ^16= P4^-

Nous pouvons regarder (^i, ^05 •••, ^ic) comme des coordonnées homogènes dans un espace E,3 à quinze dimensions (complexes). Une variété V à deux dimensions complexes, que nous pouvons appeler une surface, se trouve ainsi définie dans l'espace E, 3. La surface V correspond uniformément à la surface/;

8o CHAPITRE IV.

en effet, à un point arbitraire de V ne peuvent correspondre plusieurs points de/", puisque, d'après la forme même des équations précédentes, les valeurs de x^ y, z^ t qui leur correspondraient seraient proportionnelles. De \Aus, cette surface n' a pas de points singuliers. En effet, tout d'abord, aux points multiples de la surface initiale/, ne correspondent que des points simples d'après la propriété de la transformation

ensuite à deux points simples distincts de ^la surface / ne peut

correspondre le même point de V, car si à deux points (.r, y, 5, i),

(œ'j y, z'y t'), de / correspond le même point de V, on aura

nécessairement

et ces deux points ne sont pas distincts.

Nous avons donc le théorème suivant : A une surface algébrique quelconque f de l'espace à trois dimensions on peut faire correspondre d'une manière hirationnelle une surface n'ayant pas de points singuliers dans un espace à quinze dimensions.

1. On peut réduire beaucoup le nombre des dimensions de l'espace dans lequel on peut avoir une surface sans singularités correspondant birationnellement à la surface primitivement donnée dans l'espace à trois dimensions.

Pour faire cette réduction ultérieure, rappelons quelques généralités sur la notion de perspective prise dans son sens le plus étendu, qui, posée d'abord par Clifford, a été surtout utilisée par les géomètres italiens et particulièrement par M. Veronese dans des recherches d'un grand intérêt. Considérons un espace S,, à r dimensions, où nous désignons les coordonnées d'un point arbitraire par

Un espace linéaire S;. , contenu dans Sr, est l'espace S^- où l'on suppose les x liées par r— r' relations linéaires. Un espace S;.p sera par conséquent défini par p relations linéaires entre les œ.

SINGULARITÉS d'uNE SURFACE ALGÉBRIQUE. 8r

Etant donné un espace linéaire S^p contenu dans S^, prenons un point arbitraire A de S,.. On peut par A et S^.p faire passer un espace linéaire S;^p^, ; soient en effet

Ui = o, U2=o, ..., Up=0

les /3 relations linéaires déterminant Sr p ; prenons la combinaison

XiUi+X2U2-f-...-HXpUp=o,

et écrivons qu'elle est vérifiée par les coordonnées du point A. Alors un des X, soit Àp, est déterminé en fonction des autres, et nous avons une relation

XiVi-f-X2V2 + ...+ Xp iVp i=o,

qui, quels que soient les X, est vérifiée par les coordonnées de A, et qui est aussi vérifiée par les coordonnées des points de Sr p ; par/suite, les équations

Vi = o, ¥2=0, ..., Vp i = o

déterminent un espace S;.p+, qui passe par A et contient S;.p. Si maintenant on prend l'intersection de S;.p^, avec un espace linéaire Sp,, on a un seul point de rencontre A', et ce point s'appelle Id. projection de A sur Sp,, le point de vue étant ici S^p. Ainsi, dans cette perspective généralisée, on prend comme point de vue un espace linéaire S^p, et Von projette sur un espace

Si l'on prend p =^ /', le point de vue sera véritablement un point et l'on projettera sur un espace '^r-\ \ en parliculier pour r — 3, on a la projection conique habituelle, l'espace linéaire S. sur lequel on projette est alors un plan.

8. Nous avons tout à l'heure considéré un espace à quinze dimensions dans lequel nous avions une surface V sans singularités. Nous pouvons faire, conformément à ce qui précède, des perspectives sur un espace linéaire d'un moindre nombre de dimensions. Prenons comme espace, sur lequel on va projeter, un espace linéaire S3 à cinq dimensions; on aura donc ici p = 6 et l'on prendra par suite pour point de vue un espace S„. Nous aurons alors dans S 5 une surface V perspective de la sur-

face V en prenant S9 comme point de vue. La surface \' n'aura pas non plus de point singulier si S.j est arbitraire; un point multiple de Y devrait correspondre en effet à la fois à deux points distincts de V. Nous aurions donc pour déterminer ce point cinq relations entre les quatre paramètres dont dépendent les coordonnées de ces deux points, et ces relations ne seront pas compatibles si S9 et S5 sont choisis arbitrairement. Nous avons donc le théorème suivant :

A une surface algébrique quelconque

on peut faire correspondre birationnellenient, dans l'espace à cinq dimensions, une surface n ayant aucune singularité.

Le raisonnement précédent montre encore que, si l'on projetait sur un espace S/., on obtiendrait dans cet espace à quatre dimensions une surface ayant seulement des points singuliers isolés. Enfin, projetons dans un espace S3, en prenant par conséquent comme point de vue un espace S^; la surface perspective va avoir une ligne singulière puisque le nombre des équations à écrire est éo-al à trois et que nous avons quatre inconnues, ce qui est à rapprocher d'ailleurs de ce que nous avons dit au n° 1. Les singularités seront alors, pour S3 et S,, arbitraires, une ligne double généralement avec des points triples, comme nous l'avons vu dans ce même numéro. Par suite :

A toute surface algébrique

f{oc,y, 5)=o,

Cl singularités quelconques, on peut faire correspondre birationnellement une surface

n'ayant d'autres singularités qu'une courbe double avec des points triples, ces singularités étant les plus générales de leur nature*

Nous donnerons souvent, par la suite, le nom de singularités ordinaires auK singularités précédentes. Les points triples de la

SINGULARITÉS d'uNE SURFACE ALGÉBRIQUE. 83

courbe double sont eu même temps des points triples de la surface ; en ces points, le cône des tangentes se réduit à trois plans formant un angle trièdre. Sur une ligne double, les deux plans tangents sont en général différents; il peut toutefois y avoir certains points où les deux plans tangents sont confondus. Ce sont les points que les géomètres anglais appellent /)mc/i-/?o m ^ (pointpince); ces points seront les plus généraux de leur natui'e.

II. — Définition des ordres de connexion d'une surface algébrique.

9. Nous allons maintenant défînrr les ordres de connexion d'une surface algébrique. Il est auparavant nécessaire de faire quelques remarques relativement aux variétés qui s'étendent à l'infini. Dans les études à''Analysis situs faites au Chapitre II, il a toujours été supposé que les variétés étaient entièrement à distance finie. Quand on a des variétés qui s'étendent à l'infini, les nombres relatifs aux connexions peuvent varier avec l'idée que l'on se fait de la nature des points à l'infini.

Prenons d'abord le cas très simple du plan indéfini; c'est une variété à deux dimensions. Quelle connexion linéaire doit-on lui attribuer? Si, comme on le fait dans la théorie des fonctions d'une variable complexe, on assimile le plan indéfini à une sphère par inversion, on est ramené à la variété formée par la surface d'une sphère, et l'on doit prendre, comme on le fait,

On pourrait toutefois se placer à un autre point de vue. Le plan indéfini correspond à l'ensemble des valeurs de ^ et y variant entre — oo et H-co; on peut transformer l'axe des ^ en une circonférence, et pareillement pour l'axe des y. On a alors la variété formée par deux circonférences, considérée au Chapitre II (n° 17); pour cette variété, on a

Par conséquent, suivant le point de vue auquel on s'est placé, on a des nombres différents pour exprimer l'ordre de connexion linéaire /?< d'un plan simple.

84 CHAPITRE iV.

Ceci dit, si nous considérons une surface algébrique

nous avons là évidemment une variété à quatre dimensions réelles. Si nous voulons la regarder comme une variété fermée, nous devons la ramener tout entière à distance finie, ce qui va préciser la façon dont on envisagera les points à l'infini. On pourrait faire différents choix, mais si Ton veut laisser à la variable complexe son autonomie, il faut se représenter x,y, z comme des points situés chacun sur une surface sphérique correspondant à cette quantité complexe. On aura alors, représentée par l'équation/=o,

une variété fermée située tout entière à distance finie.

Relativement à la valeur de ses ordres de connexion, une circonstance pourrait gêner. Notre variété se coupera elle-même, si la surface / a des points singuliers. On évitera bien aisément cette difficulté en se reportant à la surface V de l'espace à cinq dimensions qui correspond uniformément à /; on représentera sur une sphère chaque coordonnée complexe de l'espace à cinq dimensions, et la surface V définira une variété fermée à quatre dimensions réelles, située tout entière à distance finie, et ne se coupant pas elle-même.

xVyant maintenant une telle variété, nous savons qu'elle a trois ordres de connexion

correspondant respectivement à une, deux et trois dimensions. Mais, d'après le théorème général établi à la fin du Chapitre précédent, on a

Pï=Pz^

et nous avons, par suite, seulement à introduire, dans la théorie des surfaces algébriques, les deux nombres

Pi et />2, correspondant respectivement à la connexion linéaire et à la connexion à deux dimensions ('). Nous allons nous occuper,

(•) Ces deux nombres ont été introduits pour la première fois dans la théorie des surfaces algébriques par M. Picard, dans son Mémoire sur les fonctions algébriques de deux variables; les notations étaient un peu différentes, /?, et /^^ étant remplacés par /?, + i et z», + t .

SINGULARITÉS d'uNE SURFACE ALGÉBRIQUE. 85

dans les Sections suivantes, delà connexion linéaire. Prenons seulement ici le cas particulier de l'espace à quatre dimensions correspondant aux deux variables complexes indéfinies x et J^ Quels ordres de connexion devons-nous attribuer à cette multiplicité? Nous avons à considérer les deux surfaces spliériques correspondant aux variables complexes x el y, et nous avons par suite le continuum déjà considéré au n" 19 du Chapitre II, c'est-à-dire que l'on doit prendre

Tels sont, au point de vue où nous nous plaçons, les ordres de connexion pour l'espace indéfini (x,y).

Lorsqu'il s'agira de la détermination des nombres />< et/>27 les considérations purement géométriques présenteront le plus souvent de grandes difficultés, que l'on évitera en se plaçant au point de vue transcendant (Chap. II, n° 18), c'est-à-dire en envisageant le nombre p comme représentant le nombre de périodes distinctes de certaines intégrales. C'est à ce point de vue que nous nous placerons ultérieurement pour la détermination de p^ .

III. — Généralités sur la connexion linéaire dans les surfaces algébriques (i).

10. Nous allons approfondir l'étude du nombre pi, et démontrer tout d'abord un théorème fondamental relatif à ce nombre, à savoir qu'// est, en général, égal à V unité ; c'est seulement pour certaines surfaces particulières que p^ est supérieur à un.

Un cycle linéaire est un continuum fermé à une dimension (réelle). Si la surface est donnée par l'équation

on peut, en particulier, considérer dans l'espace à quatre dimensions relatif aux deux variables complexes x et y, une courbe fermée telle que, en partant d'un point (-^o? J'o) de cette courbe,

(') E. Picard, Mémoire sur les fonctions algébriques de deux variables indépendantes {Journal de Mathématiques, 1889).

86 CHAPITRE lY.

avec une valeur initiale -^o pour z, on revienne au point de départ avec la même valeur de z. On suppose, bien entendu, que la courbe ne rencontre aucun système de valeurs singulières de la variable z considérée comme fonction de x et y. Ces valeurs singulières seront évidemment fournies par les deux équations

fi^^y. ^)=o, f'zi^^y, ^) = o.

L'élimination de z entre ces deux équations donne une équation

Nous ne diminuons pas la généralité, en supposant que cette équation R contient ^, dans le cas où elle est irréductible, et qu'il en est de même de chacun de ses facteurs si elle est décomposable en plusieurs autres; il suffit de faire préalablement une transformation liomographique pour réaliser cette condition, qui peut encore s'exprimer en disant qu'il n'y a pas de singularités définies par une équationy = const.

1 ] . Ceci posé, montrons en premier lieu que tout cycle linéaire peut, par une déformation continue, être ramené à être situé

dans un continuum

y = const.

Nous n'avons qu'à reproduire à peu près un raisonnement fait au n" H du Chapitre III. En posant x = Xi -{- ix2, y z=y^ -{- iyoj nous pouvons regarder le cycle C comme défini à l'aide des expressions de ^i , ^^2 et ^2 en fonction de jKi *, cette dernière variable variera entre deux valeurs extrêmes a et b. Partons sur le cycle d'un point Mq correspondant à la valeur j^J; quand M parcourt le cycle, menons par chaque position de M une droite de l'espace {Xi^ X2, y 2)-, oùjKi a la valeur correspondant à M, variant d'une manière continue et uniquement assujettie à la condition de ne pas rencontrer le continuum R à deux dimensions défini par l'équation

Quand M reviendra en Mq, la position finale de la droite pourra ne pas coïncider avec sa position initiale. Considérons alors la

SINGULARITÉS D'uNE SURFACE ALGÉBRIQUE. 87

variété à trois dimensions

Chacune des droites rencontrera en un point cette variété, de sorte qu'à chaque point M de G correspond un point m de la variété (2), sauf pour le point Mq, auquel correspondent deux points niQ et m'^. Nous formons ainsi une courbe fermée H composée des deux segments de droite Mo^o et ui^Mq (pour lesquels on ay, =jkJ), et de la courbe T lieu des points m avec le sens de niQ en m'^. Il est manifeste qu'on peut passer de C à H par une déformation continue sans rencontrer R, puisque aucune des droites ne rencontre R. Or, nous allons maintenant considérer H comme une somme de deux courbes. On a pour les points iiIq ei m'^

et, en ces points, z a des valeurs déterminées Zq et z'^. Il sera possible, en faisant seulement varier x^ de décrire une courbe y allant dans le continuum

du point iUq au point iuq et telle que z aille de :;o à z'^. Il suffît alors d'envisager la courbe fermée formée de

r et Y,

et la courbe fermée formée de

Momo, —7 et m'oMo;

la somme de ces deux cycles donne le cycle G ; le premier de ces cycles est contenu dans l'espace

Vc — v^

et le second dans l'espace

Or nous avons vu précédemment [loc. cit., Ghap. III), et il est d'ailleurs évident que tout cycle contenu dans l'espace y^ =JKÎ, c'est-à-dire pouvant être figuré dans l'espace à trois dimensions (^1, ^25 JK2), peut être ramené dans le plan jk2= J25 pourvu quey^ ne soit pas une valeur spéciale, et il en sera de même pour le second cycle en intervertissant y, etyo- Finalement, les deux cycles,

et par suite C, sont ramenés, par une déformation continue, à être dans le continuum

où le second membre est une constante arbitraire; c'est ce que nous voulions montrer.

12. Pour démontrer le théorème énoncé au n" 10, plaçons-nous d'abord dans un cas très simple, en examinant le cas où l'équation de la surface serait de la forme

et où nous supposerons que f{oc, y) est un polynôme arbitraire de degré m. Nous allons chercher à nous rendre comple de la nature des cycles linéaires de cette surface. Donnons à y une valeur arbitraire; l'équation

f{or,y)=.o

aura m racines distinctes; si l'on considère x comme fonction dejK, deux valeurs de^r seulement deviendront égales pour chaque valeur singulière àey. Soient, pour une valeur jj^o non singulière dejK,

les ni valeurs de x. Nous avons pourj)^ un certain nombre de positions singulières, et l'on peut, comme on sait, disposer dans le plan de la variable jk des lacets partant àa y^ et jouissant des propriétés suivantes : un certain nombre de ces lacets, dans un ordre déterminé autour dey^, permutent x] et ^îî, les suivants permutent x\ et ^J, et ainsi de suite, jusqu'à un dernier ensemble de lacets permutant x^^^ et ^J^. Prenons sur un laôet permutant x^\ el x^ un point jk' voisin du point de ramification ^, on aura deux valeurs x\ et x'.-^ de x^ et x^ qui seront voisines^ entourons-les par une petite courbe y» Quand j/" varie à partir dey', les valeurs correspondantes des X varient; pendant cette variation, déformons en même temps la courbe y de manière qu'elle ne rencontre aucun de ces points x pendant cette déformation (la courbe y pourra alors cesser d'être très petite, du moins dans les deux dimensions). Si, en particulier, y vient en j^o en ayant suivi le

SINGULARITÉS d'uNE SURFACE ALGÉBRIQUE. 89

lacet considéré, la courbe y sera devenue une courbe Cio comprenant à son intérieur les points ^J et œl, tandis que les autres valeurs des ^o sont à l'extérieur. Si maintenant r partant de ^q décrit un lacet permutant œl et œ^ et revient en jKo, le contour Ci 2 sera devenu, par une déformation effectuée toujours dans les mêmes conditions, un contour 0,3 comprenant à son intérieur œ^^ et^J, et ainsi de suite. Nous arrivons donc ainsi à tracer sur le plan de la variable x des contours

enveloppant chacun deux racines et deux racines seulement de l'équation

f{-^,yo) = o.

Or, tous les cycles de la courbe algébrique entre z et x\

^^=/(^,Jo),

se ramènent évidemment à une somme des contours précédents, et nous avons vu, d'autre part, au paragraphe précédent, que tous les cycles de la surface proposée se ramèneront aux cycles de cette courbe. Mais ces derniers ne sont pas distincts puisque, par une variation convenable de y, on peut, en revenant à jo, permuter les cycles G les uns dans les autres. Nous sommes donc déjà assuré que tous les cycles de la surface se ramèneront à un seul, et nous pouvons supposer que ce cycle unique est le cycle C,o. Enfin, celui-ci se ramène au petit cycle y tracé dans le continuum y=y autour de x\ et œ[,'^ ces deux dernières valeurs diffèrent très peu elles-mêmes de la valeur x = a^ racine double de l'équation

Or, l'équation de la surface peut s'écrire

z''=B(y—b)-{-A{x~ay~-^... (AB ^ o),

les termes non écrits étant de degré supérieur au premier; il en résulte que le point (a, b, o) est un point simple de la surface. Nous avons donc un cycle très petit tracé dans le voisinage d'un pomt simple de la surface; or, un tel cycle se ramène manifestement à zéro, car, si l'on considère, dans l'équation de la surface, y comme fonction de x et de z, on n'a plus aucune singularité.

go CHAPITRE IV.

Nous avons donc démontré que, pour la surface

tous les cycles se réduisent à des cycles nuls; on a, par suite, pour cette surface, p^=z \ .

13. Nous avons supposé, dans le paragraphe précédent, que f{x^y) était le polynôme le plus général de son degré, mais on voit facilement que la conclusion sera la même dans bien d'autres cas. Si l'on réfléchit à l'analyse qui vient d'être développée, on voit que son succès tient à la circonstance suivante : Etant donnés deux groupes de deux racines

(^^rrJ.) et {x^xD,

on peut, quand f est un polynôme général, en faisant décrire à y un chemin convenable partant de yQ et y revenant, passer du premier groupe au second. En efl^et, on peut d'abord transformer chacun des groupes précédents de manière que l'une de ces racines soient x\ ; on aura ainsi les deux groupes

(^^O et {x\,xl) (a ^1,^7^1).

Si a= j^, la remarque est établie; dans le cas contraire, on pourra faire décrire h y, partant de jo et y revenant, des lacets qui transformeront xl en xl sans modifier x\, et nous avons encore le résultat voulu.

La circonstance indiquée peut se présenter, même quand f{x,y) est un polynôme très parliculier. Il suffira que Ton puisse trouver un système de m — i lacets binaires permutant x^ et x,,, puis une des deux racines ^î, xl avec une troisième xl, et ensuite une des trois racines x],xl, xl avec une quatrième x% et ainsi de suite. Il en sera ainsi, en particulier, si tous les points de ramification permutent seulement deux racines.

14. Nous avons considéré (n° 12) une surface d^une forme parti culière; on peut déjà présumer, d'après le résultat obtenu, que, pour la surface la plus générale de degré m, on aura aussi /;, = i .

SINGULARITÉS d'uNE SURFACE ALGÉBRIQUE. 9I

Pour le voir riettemenl, prenons la surface

o\xf[x^y) est un polynôme arbitraire de degré J7i, Les raisonnements, faits pour le cas de m = 2, sont applicables avec bien peu de modifications; tous les cycles de la courbe

où l'on regarde y comme un paramètre, peuvent être obtenus de la manière suivante. Soient û^i, Xo, . . . , Xm les m racines de l'équation

on aura un cycle en décrivant p fois un lacet autour d'une racine Xi, et en faisant suivre ce chemin d'un lacet décrit /n — p fois autour d'une autre racine œ^- Si l'on donne à y une valeur voisine d'une valeur singulière, on aura deux racines Xi et ^21 par exemple, voisines l'une de l'autre, et les deux lacets, formant le cycle précédent, peuvent être pris très petits, de sorte que le cycle considéré est un cycle infiniment petit. Il n'y a alors rien à changer aux raisonnements faits plus haut : nous sommes encore conduits à des cycles infiniment petits dans le voisinage d'un point simple de la surface, et par suite tous les cycles se ramènent à zéro.

La surface précédente a encore une équation de forme particulière, mais elle n'a pas de points multiples. Or, si l'on prend une surface de degré m sans singularités, et que l'on fasse varier, d'une manière continue, les coefficients de son équation sans que la surface acquière jamais de points singuliers, la connexion linéaire ne variera pas, puisque la surface, pendant sa déformation, n'arrive jamais à se couper elle-même, et que tout cycle infiniment petit ne cesse pas d'être réductible à un cycle nul. Nous avons donc établi que tous les cycles linéaires d^ une surface de degré m, sans points singuliers, se ramènent à zéro ; on a, par suite, pour cette surface

comme nous l'avons énoncé.

92 CHAPITRK IV.

15. Nous avons rencontre, dans les démonstrations précédentes, des cycles infiniment petits autour de points simples de la surface. De pareils cycles se réduisent à des cycles nuls, mais un cycle infiniment petit, dans le voisinage d'un point singulier d'une surface algébrique, peut ne pas se réduire à un cycle nul. On conçoit, en effet, qu'à une courbe infiniment petite, tracée dans le voisinage d'un poinl multiple, puisse correspondre une courbe finie sur la surface sans singularités, d'un espace à cinq dimensions, à laquelle est équivalente notre surface. Pour en avoir un exemple très simple, il suffira de considérer un cône

de degré m, ayant son sommet en x =y = z = o. Considérons l'intégrale

rQ{T,y,z)(xdy-ydx) ^

Q(^,jK, z) étant un polynôme bomogène adjoint d'ordre m — 3, pour la courbe représentée en coordonnées bomogènes par cp = o ; cette intégrale est visiblement une intégrale de différentielle totale, et l'on peut aussi la regarder comme une intégrale de première espèce, relative à cette courbe que nous supposerons de genre supérieur à zéro. On pourra avoir, dans le voisinage de ;r = G, r = o, ^ = o, un cycle infiniment petit qui ne se réduise pas à un cycle nul; il est possible, en effet, d'avoir des cycles infiniment petits pour lesquels la période de l'intégrale précédente sera différente de zéro. Il suffit de prendre un cycle sur la surface de Riemann correspondant à la courbe

et de poser

pour ^ = £, correspond, sur la surface, un cycle infiniment petit si £ est infiniment petit, et pour ce cycle l'intégrale (3) aura une valeur différente de zéro : le cycle infiniment petit ne se réduira donc pas ici à un cycle nul.

16. Indiquons, de suite, une classe assez étendue de surfaces

SINGULARITÉS d'uNE SURFACE ALGÉBRIQUE. gS

pour laquelle le nombre/?, sera supérieur à l'unité. Soit une surface/pour laquelle les coordonnées {x, y, z) d'un point quelconque soient susceptibles de s'exprimer de la manière suivante :

^ = Ri(a, j3,aM3'),

^ = R3(a, p,a', P'), les R étant fonctions rationnelles des a et des [3, et l'on a

cp et ^ étant des polynômes irréductibles^ on suppose, de plus, qu'à un point arbitraire {x^y^z) de la surface ne correspond qu'un seul système de valeurs de (a, P) et (a', ^').

Si l'on considère les deux surfaces de Riemann correspondant aux courbes o et 'i;, l'ensemble de ces deux surfaces forme un continuum fermé à quatre dimensions, qui correspond, point par point, à la surface /. Or, nous avons étudié précédemment (n" 21, Ghap. II) ce continuum; on aura donc

en désignant par p et p' les genres respectifs des courbes o et à.

IV. — Étude plus approfondie du nombre des cycles linéaires d'une surface donnée (i).

17. Abordons maintenant la recherche du nombre /?, relatif à la connexion linéaire d'une surface donnée

nous supposerons que les axes sont quelconques par rapport à la surface et que celle-ci n'a que des singularités ordinaires. Nous avons, dans ce qui précède, ramené tout cycle linéaire de la surface dans un continuum y z= Q^ et étudié sa déformation d'une manière géométrique. Ceci nous a suffi pour montrer que />< était

(' ) É. Picard, Mémoire sur les fonctions algébriques de deux variables, et Sur la théorie des surfaces algébriques au point de vue de la Géométrie de situation et sur les intégrales de différentielles totales {Comptes rendus, i5 mars 1897).

égal à l'unité pour la surface générale d'un degré donné, mais il ne paraît pas possible d'aller bien loin, par cette voie géométrique et de suivre ainsi la transformation des cycles sur la surface de Riemann

(4) f{oc,J,z)=o,

correspondant à la relation algébrique entre x et ^, surface de Riemann dépendant du paramètre arbitraire y. Quand, dans les formules qui vont suivre, nous considérerons y comme un paramètre, nous le surmonterons d'une barre.

18. Pour pouvoir étudier cette transformation, nous allons recourir à une considération qui va jouer, dans la suite, un rôle capital; quelques explications préliminaires vont être nécessaires. Nous partons de la courbe (4). Prenons une intégrale abélienne de seconde espèce, relative à cette courbe pour y arbitraire; nous pouvons trouver une telle intégrale de la forme

r¥{x,y,z)dx

Jz

où F, qui est nécessairement rationnelle en x et ^, est aussi rationnelle enjK. Il est clair, en effet, que, dans toutes les conditions à écrire pour qu'une intégrale soit de seconde espèce, les points doubles de la courbe / figurent de la même manière et, par conséquent, y figurera d'une manière rationnelle dans l'élément différentiel.

Les périodes de l'intégrale (I) sont des fonctions de y; elles satisfont à une équation linéaire dont les coefficients sont des polynômes en y, et dont l'ordre est égal au double du genre de la relation /si l'intégrale est prise arbitrairemen't (^). Nous désignerons par/? le genre de la courbe/, poury arbitraire; nous avons alors une équation linéaire E d'ordre 2/j>, à coefficients rationnels, et appartenant à la classe des équations de Fuclis à points singuliers réguliers. Nous n'aurons pas besoin de former

(1) L'étude des périodes d'une intégrale abélienne relative à une courbe algébrique dépendant de paramètres arbitraires a été faite par M. Fuchs, dans deux importants Mémoires du Journal de Crelle (t. 71 et 73).

SINGULARITÉS d'uNE SURFACE ALGÉBRIQUE. gS

effectivement l'équation E; il nous suffit de connaître son existence.

19. Les points critiques de l'équation linéaire E sont faciles à trouver : ce seront nécessairement les valeurs dey pour lesquelles le genre de la courbe / descend au-dessous de p. L'emploi du langage géométrique facilite cette recherche ; on a à considérer les sections planes de la surface

par les plans y = const. Le genre de la section s'abaissera d'une unité quand la section sera tangente à la surface en un point simple; le point de contact deviendra, en effet, un point double pour la section. Il n'y aura aucune autre valeur singulière dey. Les seules valeurs de y sur lesquelles on pourrait a priori avoir quelque doute sont celles pour lesquelles le plan est tangent à la courbe double, sans être tangent à l'une des nappes de la surface passant par ce point. Pour une section voisine, on a deux points doubles; pour une section tangente à la courbe double, ces deux points doubles viennent en coïncidence, et l'on a un contact de deux branches, ce qui ne modifie pas le genre de la courbe. Quand la section passe par un point triple de la courbe double, le genre n'est pas non plus modifié, puisque ce point triple remplace trois points doubles d'une section voisine. On voit facilement comment se comportent les intégrales de l'équation E en un point singulier y = 6; le plan y ^=^ h est tangent à la surface en un point («, Z>, c). Nous pouvons toujours supposer que la courbe de la surface, correspondant à F(^,y, ^) = c/d, ne passe pas par les points (a, 6, c). Pour y voisin de 6, la courbe

a deux points de ramification voisins de (a, c); ces deux points de ramification se confondent pour y = 6 et leur superposition fait naître un point double. Soient (^i, -^, ) et (^25 ^2) les deux points de ramification voisins de (a, c) quandy est voisin de h\ dans le plan de la variable complexe x^ on a un cycle formé d'une petite courbe enveloppant les points x^ et x-i. La période correspondante sera une fonction holomorphe dey dans le voisinage de y =z 6, et sa valeur pour y = b sera, en général, différente de zéro,

g6 CHAPITRE IV.

mais elle correspondra alors à une période logarithmique de l'intégrale (I) qui aura, au point (a, c), un point logarithmique. Une seconde période de l'intégrale sera obtenue à l'aide d'un lacet aboutissant au point (^, , ^, ), et d'un autre lacet de même origine, convenablement choisi, aboutissant à un point de ramification autre que (^o? '--i)' H s'agit de voir quelle modification subira cette période quand r tournera autour de b; figurons les points Xi et^o, et l'origine Xq du lacet. Nous avons à rechercher les modifications des intégrales correspondant à ces lacets, quand x^ et Xo se permutent. Dans cette permutation, le lacet (^o^i) en trait plein

Fig- 9-

•^/j^o^xôy

devient le lacet (^0^2) en pointillé. Désignons par ^0 et ^^ les deux valeurs de z en Xq qui se changent l'une dans l'autre, quand on suit l'un ou l'autre des deux lacets. Montrons que l'intégrale (I), prise suivant le lacet pointillé, est égale à l'intégrale (I), prise le long du lacet plein (^0^1) augmenté de l'intégrale prise le long d'une courbe entourant Xi et ^o, o«, ce qui revient au même, de l'intégrale obtenue en parcourant successivement les deux lacets pleins; soient, en effet,

les valeurs de l'intégrale (I) prises de Xq en x\, en prenant respectivement :;o et z'^ comme valeurs initiales de z^ et introduisons

pareillement

I!.l!; et II, II',

correspondant à Xq^-^ plein, et à ^0-^2 pointillé. On aura

SINGULARITÉS d'uNE SURFACE ALGÉBRIQUE. 97

donc