Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes

Le premier fascicule (Chap. I à MI) de ce Tome II de notre Théorie des fonctions algébriques de deux variables a paru au commencement de 1900 ; le second fascicule (Chapitre VIII à XI) au commencement de igo/j; nous terminons aujourd'hui cette publication qu'ont retardée diverses circonstances. Ces retards m'ont permis de compléter divei-s points de mes recherches, en particulier la théorie des intégrales doubles de seconde espèce, intimement liée à la périodicité de ces intégrales; elle tient une place importante dans ce\olumeet se trouve, je crois, fixée maintenant dans ses parties essentielles. Sur des sujets aussi nouveaux, on ne s'étonnera pas de rencontrer de nombreuses questions qui ne sont qu'amorcées; parmi elles je signalerai, entre plusieurs autres, ce qui concerne les intégrales de différentielles totales de troisième espèce, où j'ai introduit un entier p, qui, considéré récemment par M. Severi sous un nouveau point de vue, demandera une étude plus complète.

La théorie des fonctions algébriques de deux variables, tracée aujourd'hui dans ses grandes lignes, a fait dans ces derniers temps, surtout en Italie, l'objet de recherches importantes. Le point de vue fonctionnel et le point de vue géométrique se rejoignent en plusieurs endroits de la théorie ;

INTRODLCriON.

on en a des exemples dans les beaux travaux de M. Humbert, de MM. Castelnuovo et Enriques, de M. Severi, et même dans la théorie des intégrales doubles qui paraît d'abord bien éloignée de la géométrie, où la recherche du nombre des cycles à deux dimensions m'a conduit à un invariant relatif déjà rencontré dans des études très difîérentes.

On trouvera à la fin de ce Volume quelques Notes où sont reproduites des recherches que je n'ai pas achevées et qui paraissent pouvoir être utilement poursuivies. Dans plusieurs Chapitres de cet Ouvrage, nous avions étudié diverses théories géométriques ayant leur origine dans les mémorables travaux de jVI. Nœther, qui fut là un précurseur, et de M. Zcuthen. MM. Castelnuovo et Enriques ont bien voulu nous donner une Note extrêmement intéressante qui complète notre étude et donne sur toutes ces questions l'état actuel de la Science. Nous les en remercions vivement; leurs indications biljliographiqucs, jointes à celles du texte, seront en outre très utiles à ceux qui désireront s'occuper des fonctions algébriques de deux variables et des surfaces aigé- " biiques.

Emile PICARD.

Paris, le i5 janvier 1906.