I. — Cas des courbes

I. Soient deux courbes 0=^0, '!; = o, occupant une position arbitraire par rapport aux. axes de coordonnées, elj\x,y) un poljnome. On se propose de rechercher, cV après la façon dont se comporte la fonction f[x^ y) dans le voisinage de tout point (a, b) commun aux deux courbes o et 6, s'il est possible de mettre /"sous la forme

(,) /=--Ao--B-^

A et B étant deux poljnomes.

(') Ce lliéorème a été donné pour la première fois par M. Nœther dans le t. VI des Math. Annaleii. Depuis, l'illustre géomètre y est revenu à diverses reprises {Math. Annalen, t. XX\, XXXIV et LX). La même proposition a fait aussi l'objet des très intéressantes recherches de M. Voss {Math. Annalen, t. XXVII), de M. Stickelbergcr {Id., t. XXX), de M. Bertini {Id., t. XXXIV). et de Halphen {Bulletin de la Société Math, de France, t. V).

Nous allons chercher d'abord une condition, nécessaire et suffisante, pour que /soit de la forme (i), et où ne figurera pas le comportement (') de y dans le voisinage des points de rencontre (<2, b).