SURFACES ET FONCTIONS KNIFGUMES DE DEUX PARAMÈTRES

premier ordre correspondant à la fonction abélienne de genre deux, on peut détacher un groupe de transformations P laissant invariable la relation (i).

Ceci dit, ou satisfait à (i) en posant

Or on démontre qu'au groupe Y correspond pour x et y un groupe fiyperabélien. L'étude de ce groupe a été approfondie par M. H. Bourget. Dans ses profondes recherches sur les fonctions abéliennes singulières, M. Humbert (^) a étudié des relations entre G, 11 et G' plus générales que la relation (i).

M. Blumenthal (-) s'est occupé de la reclierche des substitutions fondamentales de groupes hyperabéliens, d'un type étendu et relatif à un nombre quelconque de variables.

5. A chaque groupe hyperabéiien correspondent des fonctions hvper abéliennes, et entre trois de ces fonctions il existe une relation algébrique conduisant à une surface liyperabélienne.

La théorie des fonctions abéliennes singulières correspondant à la relation (i) pour D r= 2 a conduit M. Humbert à quelques exemples effectifs Ivèi simples de surfaces hj'perabéliennes {Comptes rendus, 1899; Sur les surfaces hyperabéliennes).

Ainsi la surface du quatrième degré

xy -- z jz -r- r

est hyperabélienne, et l'on a pour elle la représentation paramétrique

les ?j désignant les fonctions thêta normales du premier ordre d'arguments nuls.

6. Quel est le degré de généralité des surfaces hyperfuchsiennes et bvperabéliennes'? C'est une question à laquelle je ne puis répondre. 11 est extrêmement peu probable que l'on obtienne ainsi toutes les surfaces algébriques, car les groupes hyperfuclisiens et hyperabéliens

1') G. llcMBERT, Les fonctions abéliennes singulières {Journal de Mathématiques, de 1899 à 1904).

(-) O. Blumenthal, Malheniatische Annalen, t. LVI.