PREMIERE PARTIE

1. H convient d'abord de rappeler brièveiiient les concepts et les résultats fondamentaux, auxquels se rapportent les développements des Chapitres IV. ^ , ^ I du Tome II de ce Traité, en y ajoutant quelques remarques plus récentes.

On sait d'abord ce que c'est qu'un système linéaiie de courbes (algébriques) tracées sur une surface (algébrique) ('); on sait de même qu'on appelle complet un système linéaire | C | de courbes, qui n'est pas renfermé dans un système linéaire plus ample de courbes du même ordre douées des mêmes points-base ("-).

(') Tome II, Chapitre V, page ()3 et suivanteâ. (=) Page loi.

Une courbe C étant donnée sur la surface F, un système linéaire complet |Cj (de dimension i;o)auquelC appartient, est déterminé, pourvu que l'on donne sur C les points-base qu'on veut imposer à I C I ( ' ) ; il convient d'ajouter que [ C | pourra bien posséder de nouveaux points-base accidentaux (qu'on peut regarder comme virtuellement inexistants), en dehors de ceux qui lui ont été imposés.

Rappelons encore qu'on opère sur les systèmes complets, tracés sur une surface, par addition (^) et par soustraction ( ^), et qu'on est toujours amené à de nouveaux systèmes complets, jiourvu toutefois (dans le second cas) que l'opération soit possible.

Il convient d'ajouter que pour chaque système linéaire on peut définir, en relation avec ses points-base imposés, deux nombres entiers, invariants vis-à-vis des transformations birationneiles de la surface : le genre (virtuel) - de la courbe générale du système; le degré (virtuel) du sjstème, c'est-à-dire le nombre des intersections de deux courbes générales du système, en dehors de ses points-base imposés (il est sous-entendu que chaque intersection doit être évaluée en ayant égard à sa multiplicité pour les courbes en question).

Si l'on somme deux systèmes | Ci ], | C^ |, dont les genres et les degrés soient respectivement t:,. t,. «,, /?,, le genre et le. degré de I Cj -T- Co I s'expriment par les formules

où i désigne le nombre des intersections d'une courbe Cj et d'unecourbe G, {'* )■

Au mo\'en de ces formules on peut définir le genre et le degré d'un système quelconque, réductible ou même composé dUine seule courbe (dimension r=io), ce qui permet d'éliminer tout cas d'exception dans les calculs ( ^).

^. La notion des courbes adjointes à un svstème linéaire |C|, sur une surface F, se trouve établie dans le Chapitre ^ I (p. 1 1" et suiv. ).

C) Cf., page 102. L'énoncé ci-dessus est un peu plus général que celui donné dans le texte. On peut l'étaLlii- par la même voie, ou bien par le raisonnement très simple (et presque immédiat) donné par M. Emuques dans sa Note : Jntorno cii fondarnenti délia geometria sopra le superficie algebriche (Alti délia R. Accadeniia délie Scienze di Torino, 1901).

r-) Page 104.

(') Page III.

(*) Cf., pour la première formule, page 107.

(') Ex RiQUE s, //z;or/!o ai fondarnenti. . . toc. cit., n" 12.

RftSt MATS NOIVEAL'X BANS T.A Tllf:OIUK DKS SIRFACES ALGÉBRIQUES. f\S']

Ou a doniu' récemmeiU iiiu; (h'fiiiilioli très simple de ces courbes ( ').

Supposons (rabord que le système |G| renferme (tolalenient) les sections planes de F. On sait alors que les courbes adjointes C sont découpées sur F par les surfaces adjointes 'f„3 de Toidre « — 3 (// désignant l'ordre de F). Or on peut obtenir les C en construisant d'abord le système complet | K | découpé sur F par les surfaces polaires 9„i (en faisant abstraction des points-base qui tombent dans les points-pince de la courbe double de F, points qu'on doit envisager comme accidentau\), et puis en considérant le système résiduel de deuv courbes C par rapport à K