DES SYSTÈMES LINÉAIKES DE COURBES DANS UN PLAN
I. — Systèmes linéaires de courbes irréductibles dans un plan.
1. Les systèmes linéaires de courbes que nous avons envisagés jusqu'à présent étaient définis a priori ])ar une relation de la Ibrme
où les 'b sont des fonctions entières de x, y, et les h des constantes arbitraires.
Dans ce qui va suivre, nous considérerons un système linéaire comme défini par la manière dont se coraporlcnt les courbes qui le composent en des points donnés du plan. Il y a lieu de préciser cette définition.
Soit o un point du plan, considérons les courbes passant par o et telles que, leur équation étant mise sous la forme
o = cp/(a7,jK)-^..--t-'f«(^, J)+....
OÙ Ci/ désigne l'ensemble des ternies homogènes de degré i, il existe entre les coefficients des es jusqu'à un certain rang A un certain nombre de relations linéaires et homogènes. Ces relations peuvent être regardées comme définissant une certaine manière de se comporter de ces courbes en o. En j)arliculier, on exprimera d'une telle façon que les courbes ont en o, avec une courhe déterminée passant par ce point, un certain nombre d'éléments communs, parmi lesquels en premier lieu le degré de mulliplicité. Ceci posé, l'ensemble des courbes d'ordre n, se comportant de manières données en des points donnés 0|, Oo, . . . , o/j du plan, constitue un système linéaire, soit
(I) aoQo-l- aiQi4-. . .-^ a,.0,.= o;
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et si entre les polynômes Q, de même dci;ré n, n'existe pas de relation linéaire, homogène et à eocfficieuts constants, on dira que le système est de dimension r.
Le degré D de ce système linéaire est le nombre des points d'intersection variables de deux courbes arhiliaires du système.
Le système linéaire sera complet ou incomplet ■^u'wwnl que l'on considère l'ensemble tout entier ou une partie de Tensemble des courbes se comportant de la manière indiquée aux points donnés o, ..,0/1, qui sont appelés les points-bases du système.
La propriété d'un système linéaire
défini par des fonctions données -i;,) • • • '■!>/• de x et y d'ordre n. d'être complet ou incomplel, est donc toute l'elative. Il faut, poui- (pie cette définition ait un sens, formuler, parmi les points communs à toutes les courbes '!/, ceux que l'on considère comme pointsbases et le comportement des courbes en ces points. Suivant que l'on j)rend la totalité ou quelques-uns de ces points, et suivant le comportement choisi, le même sjstème (]S) pourra être complet ou incomplet. Il nous arrivera de dire que le système (!') définit un système complet : il faut enlendrc par là cpi'on considère le sjstème qui a comme |)oints-bases tous les points communs aux courbes -y avec, en ces points, le même comportement que la courbe générale du sjstème {^). Le sjstème complet ainsi défini a alors même genre et même degré que le sjstème (I! ).
En vertu du théorème de Nijther, ces conditions se réduisent toujours à exprimer qu'une courbe a, en des points donnés, une mulliplicité ordinaire donnée; c'est ce que nous sup[)oserons dans la suite.
2. Démontrons d'abord que La courbe générale d' an système linéaire irréductible na pas de points multiples mobiles. Notons dans (i) un yrt/^Cfrt m arbitraire que nous pouvons écrire
on Qo, Qi sont deux polynômes irréductibles de degré n. On \a montrer que les points multiples de (2) ne se déplacent pascpiand
52 CHAPITRK m.
le rapport — varie. Or, en un point multiple (j--o,jKo) de ( 2), on a
et, par suite, les points multiples appartiennent aux deux courbes
Si ces deux courbes n'ont pas de partie commune, la proposition est démontrée. Supposons donc que ces deux courbes aient une partie commune, soit T = o, qui ne peut être ni Qo, ni Q,, car si Qo était partie commune, il en serait de même de Q,, à moins que tous les points de la courbe Qo ne satisfassent aux deux
relations — ^ =^ o, — =^ o, ce qui n'a pas lieu. Posons
en tous les points de la courbe T, on a, en vertu de (3),
ÔR dW
âx ày
et, par suite, sur celte courbe, la fonction K garde une valeur constante soit R = B,,. La courbe Y appartient donc à
(4) Qu— RoQi = o.
D'autre part, la courbe T est une courbe dont tous les points sont multiples, puisqu on a sur l , 1\ = Ko, 'J'c ^ ^ ' ly ~ ^ en conclut que Ry est une constante telle que la courbe (4) admette au moins un facteur crt/Te, et est, par suite, une valeur |
particulière de la constante — î^- Ainsi un point arbitraire t^ P-o
d'une courbe r commun aux courbes (3), s'il en existe une, ne peut être point multiple de [^oQo+ l^i Q. = ^^^ quand j^ est arbitraire, et le théorème est démontré.
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3. Soit|C«| un syslème complet d'ordre n. Désignons par A-« le nombre des conditions auxquelles doit satisfaire une courbe d'ordre n pour passer de la manière indiquée parles points-bases. La dimension de |C«| sera donnée parla formule
11 peut arriver que A„ dépende de n. Tout d'abord ce nombre ne peut pas décroître avec n, puisque parmi les courbes du syslème |C„+, I se trouvent les courbes |C«1 et une droite arbitraire. En second lieu le nombre « est évidemment au plus égal à la somme des conditions relatives à chaque point-base pris isolément. Il a donc un maximum fini, soit k. Donc à partir d'une certaine valeur de n, on a Av;= A', et l'on a alors
Quand n a la valeur à partir de laquelle k„= k, le système est dit régulier; quand le système n'est pas régulier, la difterence /;- — Ici^ porte le nom de surabondance.
Indicpions un exemple où kn variera au début avec n. On sait que toutes les courbes du troisième ordre passant par huit points ont un neuvième point commun. Si donc on prend les neuf points communs à un faisceau de courbes du troisième ordre, comme points-bases simples d'un système linéaire, on aura, pour n = 3, r,i=^ I et kn^ 8, tandis que, pour n >4> on a A-«= 9.
4. Soient ]C„| un système complet, régulier et irréductible, - le genre de la courbe générale, D le degré du système, et r« sa dimension : Il existe une relation importante entre D, tî et /«. On a, en effet, en désignant par ), le degré de multiplicité d'un point-base,
{n — \)(ii — 'i) __ ^ >-(X — 1)
d'où Ton conclul la relalion cherchée
5. Siii' chaque courbe d'un système linéaire complet, régulier ou non, les autres courbes du système déterminent une série linéaire de groupes de points qui porte le nom de série caractères ligne.
La série caractéristique est complète, que le système soit régulier ou non. En effet, Tensemble des courbes du système forme, par rapport à l'une d'entre elles, l'ensemble des adjointes d'ordre n qui, ayant déjà par délînition chaque point multiple d'ordre ). comme point d'ordre À — i, sont, en outre, assujetties à avoir \ points d'intersection réunis en un seul en chacun de ces pointsbases. En vertu du théorème démontré précédemment (Chap. II, n" 4) la série linéaire ainsi déterminée est complète.
Si, en outre, le système linéaire est régulier, la série caractéristique sera non spéciale ; car sa dimension est r,i — i et l'on a
Si le système linéaire n'est pas régulier, la série caractéristique sera spéciale. On a, en effet, en désignant par s„ la surabondance
rt ( n -+- 3 ) •s^').{\ -\- i)
d'où
Donc : La série caractéristique sera non spéciale ou spéciale suivant que le système linéaire de courbes sera régulier ou non (' ).
Ija réciproque est évidente : Un système linéaire est régulier ou non suivant que la série caractéristique est non spéciale ou spéciale. En particulier le système linéaire des courbes adjointes d'ordre ^/?? — 3 est régulier.
(') Pour l'étude de la série caractéristique dans l'étude des sj'stèmes linéaires de courbes planes, voir Segrk, Rendiconti cli Palerino, 1887, et Castelnuovo, Mémoires de l' Académie de Turin, série II, t. XLII.
