DES SYSTÈMES LINÉAIRES DE COURBES DANS IX PLAN

6. Le système adjoini à un syslème linéaire est formé par l'ensemble de toutes les adjointes d'ordre ii — î à une courbe arbitraire du système.

Le système adjoint détermine donc sur cliaque eoui'be du système la série canonique g^^^l^,.

Il ne faudrait pas croire que le système adjoint à un système |C,/| soit toujours le seul système linéaire pou\aut détacher sur C„ la série canonique. Voici un exemj)le du contraire : Considérons utie cubique y^ et une quartique /"-, quelconques : elles ont douze points communs A,, A^, •■ -, A|o. Prenons ces points comme pointsbases simples dun système de rpiarlicpies. Ces quartiqucs seront de la forme

soit un système de dimension 3. Une courbe quelconque de ce système, qu'on peut supposer être y,, est découpée par toutes les autres suivant la série caractéristique, laquelle en vertu de l'équation (5) est aussi déterminée par les droites arbitraires

'J.X -T- 'iy -r- Y = o,

et l'ensemble de ces droites forme le système canonique.

Dans ce cas, la série canonique et la série caractéristique coïncident, et le système linéaire jC/, | est coupé par lui-même suivant la série canonique.

7. Un système complet, somme de deux systèmes complets |C| j et |Co| d'ordres respectifs m et /«, est, par définition, un système d'ordre m -\- n, ayant comme point-base d'ordre u. -j- v un point base d'ordre jx de l'un et d'ordre v de l'autre.

Désignons par D,, Do les degrés respectifs des deux systèmes, et soit i le nombre des points d'intersection d'une courbe C( avec une courlie Ci : le deçiré D du svstème-somme sera évidemment

D = Di+DoH-i/.

Soient, en ellet

XuQo-i- aiQi-i-. . .= o, SoPo+3,Pi-...= o

56 CHAPITRE iir.

les deux systèmes donnés. Le système

appartient au système-somme. Il suffit alors de compter le nombre

des points d'intersection, en dehors des points-bases, des deux

courbes

Q.Pa=o, QrP/.. = o.

Le genre de la courbe somme de deux autres, supposée irréductible, est donné par la formule

ainsi cpi'il résulte immédiatement des trois relations

{m — I ) ( "' — '' ) X^ \^iV- — 0

8. Tout système algébrique S de courbes planes indécomposables, tel que, par k points arbitraires du plan ^ passe une seule courbe du système, est un système linéaire. — II existe plusieurs démonstrations de ce théorème dues à MM, Castelnuovo et Enriques, et àM.Humbert; voici la démonstration de M.Humbert : Admettons que la proposition soit vraie pour A' — i points, nous allons montrer qu'elle est vraie pour /. points. En effet, considérons l'ensemble des courbes du système S passant par un point A; ce système est infini de l'ordre k — i et, par suite, linéaire. Soit

(a) Ài /i + \.J\ + . . . ^ À/,//, = o

ce système. Envisageons alors une courbe Jo{x. r) = o de S ne passant pas par A, et soit B (.To, ro) un point quelconque de cette courbe. L'ensemble des courbes de S passant par B forme encore un système linéaire de dimension k — i, qui contient la courbe /q et les courbes de (a) passant par B : il appartient donc au système linéaire à A" dimensions

ni;s svsTiî.MKS mnkmiU'S 1)1-: coirbks dans l.n im.an. J7

dans IcqurJ les couslanles A sont assujellies à In seule relaliou

les coordonnées ^„, j',, du |)oinl B satisfaisant sculemcnL à l'équalion fj^x,y) = o. On en conclut que toute courbe du système ((3), f/i/e/s que soient les A, appartient à S. Car, pour des \ donnés arbitrairement, on peut choisir un point rf'o Jo, tel que l'on ail à la fois

/„(^„ ,-„) = o, Xi/i(.ro,.r.,) ^. . .-^ À/../a(^^o, ro) = o.

Toutes les courbes du système {^) appartiennent donc à Z et comme par /. points du plan ne passe qu'une courbe de i\ on en conclut récipioquemenl que toute courbe de S appartient à (^), c'est-à-dire que le système S est linéaire.

Il reste à démontrer que le théorème est vrai pour A' = i . Dans ce cas, deux courbes du système ne peuvent se couper qu'en des points fixes. Soient /, et /. deux de ces courbes d'ordre n\ files ont n- points communs, et toute courbe '\ du système passe par ces points. Or, on peut choisir A de manière que la courbe

passe par un point de -} en dehors de ces points; cette courbe aura alors n-H- i points communs avec 'h el, jiar suite, coïncidera avec elle, c'est-à-dire qu'on aui-a

et le théorème est démontré.

Nous étudierons bientôt pour les surfaces une proposition comprenant comme cas particulier le théorème précédent quand /, est supérieur à l'unité.

II. Systèmes linéaires de genre zéro. Surfaces dont toutes les sections planes sont unicursales.

9. Parmi les systèmes linéaires, il y a lieu de mentionner ceux de genre zéro. Nous en ferons une application à la recherche des surfaces dont toutes les sections planes sont unicursales.

58 CHAPITRE m.

Soit donc un système complet de genre zéro et d'ordre n. On aura d'abord la relation

et, en désignant par ;■ la dimension du système et D son degré, on a en outre

la surabondance s étant nulle si le système est régulier. On va voir de suite que s = o. En eflTet, dans le cas contraire, prenons D + î points arbitraires du plan ; on pourra, par ces points, faire passer un faisceau de courbes du système. Le nombre des points de rencontre de deux courbes de ce faisceau sera au moins égal à l'À"--T- D -i- c ou à /i-4- £, ce qui exige que l'on ait s = o.

10. Les transfonnalions de Crcmona dans le plan fournissent un premier exemple de systèmes linéaires de genre zéro. Ces transformations sont définies, en coordonnées homogènes, par les équations

(a) pY ^o{x,y,z),

{ pZ =<ij{x,y,z),

OÙ p est un facteur de proportionnalité, et oîi /, es, '!> désignent trois fonctions homogènes de même degré n en x, y, z, linéairement indépendantes. Elles sont telles qu'à un point (X, Y, Z) ne correspond qu'un point ia:,y,z) et réciproquement. Les deux faisceaux

y -r- ). o = o , y -I- iji 6 = o

n'auront alors qu'un point commun yariable avec ), et [/, et des équations (a), on pourra déduire le système (^)

les fonctions F, <1>, W étant du même ordre v et sans facteur commun.