SYSTÈME ADJOINT A IX SYSTÈME LINÈAIIŒ DE COURBES

adjoint {M«|

Or, par définition (n° 32), le système adjoint à un système pur non singulier est le système total de ses sous-adjointes. Soit n le ' degré du système |Mj, qui est l'ordre de la surface transforméey. Sur la surface/', le système adjoint jM^I est défini par le système des surfaces sous-adjointes d'ordre ii — 3, et par conséquent le système |K' est défini par le système des surfaces sous-adjointes d'ordre n — 4-

D'autre part, d'après ce que nous avons dit (Chap. IV, n^ 20 et n" 19 de ce Chap.), ces surfaces sous-adjointes, puisque la surlace /"' n'a que des singularités ordinaires, ne sont autres que les surfaces adjointes du même ordre définies par voie transcendante. De là on conclut, sans qu'il soit besoin d'insister, que le système canonique |K| défini par voie transcendante est bien le même que le système canonique défini par voie algébrique, que les dimensions de ces deux systèmes sont aussi les mêmes, et cette seconde méthode établit comme la première l'invariance du genre géométrique/?o^.

39. Au point de vue algébrique et géométrique où nous nous sommes placés dans cette section, il nous reste encore à définir les surfaces adjointes à une surface ayant des singularités cjuelconcjues. Lorsque la surface n'a que des singularités ordinaires les surfaces adjointes sont par définition les surfaces sous-adjointes.

Soit 1C| le système des sections planes d'une surface /d'ordre m et |Grt| son système adjoint. Ce système est découpé sur /par un système particulier de surfaces sous-adjointes d'ordre m — 3. auxquelles on donne le nom de surfaces adjointes d'ordre m — 3 à /. Elles diffèrent des sous-adjointes par leur comportement aux points multiples isolés de/.

De cette définition on conclut à celle des surfaces adjointes d'ordre m — 3-i-r(r^o) : ce sont les surfaces sous-adjointes de même ordre qui se comportent comme les surfaces adjointes d'ordre ni — 3 le long des lignes multiples et aux points multiples isolés de /. Elles jouissent de la propriété de découper sur / le système adjoint au système \i r -4- i)C,. En effet, on a, en vertu du théorème

l44 CHAPITRE VI.

fondamental,

or, une courbe Crt-h /"Celant déterminée par une surface adjointe d'ordre m — 3 et par une surface arbitraire d'ordre /•, le système tout entier sera évidemment défini par le système des surfaces adjointes d'ordre m — 3 H- /". (J'est le raisonnement que nous avons déjà fait (n° 14).

Partant de cette définition des surfaces adjointes, iNl. Enriques montre que les surfaces adjointes d'ordre m — 4 "e sont autre chose que les surfaces canoniques de Nœther, c'est-à-dire celles que nous avons définies tout d'abord. Les considérations qu'il emploie, dans lesquelles les courbes fondamentales jouent un rôle important, sont délicates; comme la question est pour nous évidente d'après notre première méthode, nous renvoyons ])Our ce point le lecteur aux mémoires originaux de l'auteur.

VI. — Du genre numérique des surfaces dont le genre géométrique est nul.

40. Revenons maintenant à la question qui nous intéresse, c'est-à-dire à la démonstration de l'invariance du genre numérique yj„, quand le genre géométrique est nul,y)D^=;o. Il nous reste peu de chose à dire, du moment que la propriété du système adjoint est établie.

En désignant toujours par o((^) le défaut de la série canonique déterminée par [C^] sur la courbe générale de |C[, de sorte que la dimension de cette série est

on voit d'abord que, dans le cas où /j>o.= o, ce nombre est aussi la dimension de \Ca\. En effet, la dimension de 1C«| est, comme pour le cas de pg^o, celle du système des surfaces adjointes d'ordre n — ^3 à la surface /', image de /, dont le système des sections planes est l'image du système |C|. Mais, dans le cas actuel, il n'existe pas de surface adjointe d'ordre n — o passant par 71 — S(C) points pris arbitrairement sur une courbe plane C image de G. Donc la dimension de ce système de surfaces, et par