I.M2I = :g-^g; — so>--i

Formons le système-somme

|M!= iMi-^M.I.

l4o CHAPITRE VI.

On a

iM„| = lM,«H-M,! -|M,-M,„|

et, par suite,

iMi„ - c -^ c,- so>-i = 1 M,a- G + c; ^ S0>-|.

Mais, par hypothèse, le système \Mia\ contient partiellement |C, I : on peut donc, de cette relation, conclure (Chap. V,

lM,«-C',h=|M.,„-G',| et

i M,« — g; — z o)^->i = 1 Mia - g; — s o>--!].

Parla se trouve bien j ustifiée la définition du système adjoint \Ca\ à un système |Gj irréductible quelconque.

34. Nous arrivons maintenant au théorème fondamental de M. Enriques que nous avons déjà énoncé (n° 9) :

Soient |G,| e^ |Co| deux systèmes linéaires de courbes sur une surface, le système \^\a\ adjoint au premier, additionné au second, donne un système lC|rt-f-Co| cjui est contenu dans le système \0a\ adjoint à |C1 = |C| h- Coj et qui en diffère seulement en ce que tout point-base d'ordre Xo pour {Co] et non base pour |C)| est d'ordre "k-y pour |C)a4-Ci)l et d'ordre Ao — i pour jCrt].

Ce théorème est une conclusion immédiate des définitions précédentes. Il suffit d'effectuer les opérations de l'adjonction sur les systèmes définis par les égalités symboliques

|M,| = iGi-G',^SO^!,

|M| ^'Mi^Mal - |G + G'i-H G;+20V-^S0V-|. On en conclut

|C„!= 1G,„^-G,-+- viOsI = |G,„-+-G,+ SOrs, ce qui est l'expression du théorème énoncé.

35. De ce théorème on conclut, comme aux n"^ 10 et 11, que si |Co| est le système résiduel d'un système |G| par rapport à un

SYSTÈME ADJOINT A UN SV.STKAIE LINÉAUU: DK COIHBES. l4'

système |C,i qui y est contenu parllellement, en sorte (|ue Ion ;i

le système adjoint [C^ de [Cj se déduit du système iCia adjoint à |C, par l"o[)éralion

A désignant les points-bases de C,] non bases pour |C , et B les points-bases de C non bases pour C, et, par conséquent, bases pour jCo .

36. Remarquons encore que, des développements précédents, il résulte que dès que Ion connaît le svstème adjoint à un système donné, on peut, par de simples opérations d'addition et de soustraction efïectuées sur la surface, en déduire le svstème adjoint à un svstème arbitrairement donné.

37. Au point où nous en sommes, il ne sera pas inutile de mettre de nouveau en évidence les difierences qui existent entre les deux méthodes qui nous ont servi à définir le système adjoint.

Dans la première, nous plaçant au point de vue transcendant, nous avons commencé par définir les surfaces canoniques et les surfaces adjointes. Puis, supposant qu il existe un sjstènie canonique, c'est-à-dire que/>^r^o, et partant de la propriété d'invariance de ce système, déduite de l'étude des intégrales doubles de première espèce, nous avons défini alors le système adjoint; nous nous sommes placés dans cette première méthode à un tout autre point de vue que M. Euriques.

Dans la seconde méthode, au contraire, laissant absolument de côté le point de vue transcendant, et n'emplovant que des opérations purement algébriques et géométriques, nous avons d'abord, avec M. Enriques, étudié les propriétés des systèmes sous-adjoints et nous en avons conclu une définition des systèmes adjoints. sans faire jusquà présent aucune hypotlièse sur l'existence ou la non-existence du système canonique qui n'est pas encore défini, et nous sommes ainsi arrivés au théorème fondamental.

Avant d'aborder la question du genre numérique des surfaces de genre géométrique nul, il y a évidemment lieu de voir com-

l4-2 CHAPITRE VI.

ment, ayant défini le sjslème adjoint par ce dernier procédé, on arrive ensuite à la notion du système canonique et si ce système est le même que celui auf[uel nous avons donné ce nom en nous appuyant sur des considérations de nature transcendante. En d'autres termes, il s'agit de voir si les deux définitions du genre géométrique auxquelles on arrive par des procédés différents sont bien les mêmes.

Puis il nous restera encore à définir les surfaces adjointes.

38. La définition du système canonique, au point de vue algébrique, est une conséquence du théorème fondamental. De

l'égalité

1G,„-G,^20,| =|G2«-^C,vo,|,

on déduit en effet que si le système |C|a! adjoint à |C|| contient ce système, on pourra écrire

|G,«- Gi-SO,l = |G2«-G,-^0,|,

il'où la conclusion suivante, qui est la réciproque d'une proposition énoncée (n" 8 i :

Si, sur une surface, un système irréductible est contenu dans son système adjoint, tout autre système irréductible est aussi contenu dans son adjoint. Chaque système sur la surface a donc, par rapport à son adjoint, un système résiduel qui, à des points-bases près, est indépendant du système choisi pour le construire.

Ce système résiduel est, par définition, le système canonicjue de la surface, et sa dimension augmentée d'une unité est le genre géométrique de la surface.

On a donc, pour définir ce système, |Cj étant un système arbitraire et O ses points-bases, l'égalité

iKl = !C«-G-Z01.

Considérons, en particulier, un système pur non singulier |M| qui permet d'effectuer la transformation de la surface en une surface n'ayant que des singularités ordinaires; le système canonique |K.[ est aussi le résiduel du système jM| par rapport à son