II. — Remarques générales

5. Commençons par éludier les intégrales de seconde espèce ayant la forme particulière

r rVi.r.v.^^àx dv , r. • IN

C/i) / / •^- TT-^— (a>o et F étant un polynôme),

en supposant que la surface de degré m

occupe une position arbitraire par rapport aux axes de coordonnées. Envisageons l'intégrale simple

/' P{x. y, z)dx

relative à la courbe entre x el z

où y est un paramètre. On sait que, par la soustraction d'une expression de la forme

J dx\{x — ay^-^J

on peut ramener l'intégrale (5) à une intégrale analogue, où a est remplacé par a — i . Toutefois les coefficients du polynôme Q{x,z) en a; et :; étant des fractions rationnelles dey, il figurera dans la nouvelle intégrale, au dénominateur, un polynôme enj-. Il importe d'examiner de quelle manière y figure dans ce dénominateur. Soient :;|, z-,, . . . . z„i les m racines de l'équation

le polynôme Q(x, z) est seulement assujetti à vérifier les équations

(oi-i)fi{a,y,Zi)Q(a, zi) - P (a, y, Zi) = o (i = i, 2, . . . , m). 11 suffira de prendre pour Q{x^z) un polynôme en z de degré

jn — I et il est clair que ses coefficienls contiendront, en dénominateur, le résultant des deux équations

Notre dénominateur admettra donc pour racines simples les valeurs de j correspondant aux points de la courbe

où la tangente est parallèle à l'axe des r, et pour racines doubles les valeurs de jk correspondant aux points doubles de cette courbe, si la courbe n'a que des points doubles. Soit d'une manière générale A^-) ce résultant; l'intégrale (4), par la soustraction d'une intégrale de la forme

— dx dy

Ox

(où U est rationnelle en .f,jK, :;), se trouve ramenée à une intégrale de la forme

P(.r, r,z) dx dy

(^,.a)a-iA(j)/:

En continuant de la môme manière, on arrivera évidemment à

une intégrale de la forme

P( .r, y, c) dx dy

P étant toujours un polynôme.

6. Puisque l'intégrale précédente est de seconde espèce, on peut, dans le voisinage d'un point arbitraire de la courbe (')

(») On peut supposer que cette courbe est indécomposable, car, les axes de coordonnées étant arbitrairement choisis, les plans

x = const.

coupent tous la surface suivant une seule courbe, en laissant de coté la surface de Steiner et les surfaces réglées, d'après un résultat précédemment énoncé.

SUR LES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. l65

retrancher une intégrale double de la forme

de telle sorte que la différence reste finie dans le voisinage du point. Les fractions rationnelles U et V sont nécessairement de la forme

{X — a )'• { X — a iV-

A et B étant encore des fractions rationnelles, mais qui ne deviennent ])as infinies, et nous supposons que B ne s annule pas identiquement sur la courbe ^'.

Si A est supérieur à 'x — i , A s'annule nécessairement pour rr=«, et par suite on peut, de proche en pi'oche, réduire h à p. ^ 1 . On peut d'ailleurs dans tous les cas supposer

en multipliant, s'il est nécessaire, les deux termes de L par une puissance de j? — a.

Nous avons donc l'expression

g drA(x,j^,z)l drB(x.y,z)~i

dxl(x — ci)\^~i \ ' dfl {x — a)[>- j'

Si u. est supérieur à un, la différence

s annulera nécessairement pour la courbe (v), c'est-à-dire que l'on

— (,a--i)A(«, r.r) — ^B(«,7,0 ^ o [a\ccf(a,y.t) = o].

On en conclut que l'expression (o), qui peut s'écrire

[(a: — a)H-i ^ ^ i Oy [x — a)\^-^ ]

d rB(x,y,z) ^ ^ d Bix,y,z)-] ()y[{x — a)\>- ' \J — \ dx {x — a)H--'J

dx !

l66" CHAPITRE VII.

est de même forme que (o), sauf que a y est remplacé par jj. — i. Donc, en allant de proche en proche, on peut supposer jx = i, et, par suite, la différence

doit s'annuler pour x =^ a. On en conclut que

[A(r)J='-7'^ ày

Ç étant la fonction de/ définie pary((7, /, ^} := o. La fonction rationnelle B(cr, jK, Ç) pourra nécessairement se mettre sous la forme

S et U étant des polynômes, et les racines de U(y) appartenant à A(y). Ceci posé, formons la différence

Ç r V{x,y,z)dxdy rÇd Siy,z) ^^^ J J {x-a){^y)^-^fl J J dy {x-a)V{y) -^ '

Elle sera de la forme

Q(x. y,z) dx dy

Q et V étant des polynômes et les racines de W(jk) appartenant

àA(/).