III. — Première réduction, dans le cas des surfaces

sans singularités.

7. T^es transformations précédentes vont hientôt nous être utiles. Nous allons maintenant revenir à l'intégrale

ff-li^^-dxdy,

supposée de seconde espèce, en supposant que la surface n'ait pas de singularités. Considérons d'ahord le cas où le plan a: = a

SUR LES INTECRALKS DOIBI.ES DE SECONDE ESPECE. I Gj

n'est pas langent à la surface. Il va être facile dans ce cas d'effectuer une réduction en supposant a^i. Je dis qu'on peut déterminer àen^ polynômes A.( X ^ y ^ z) el B(x, j-, z), de telle sorte que l'intégrale

soit de même forme que l'intégrale initiale, a étant remplacé par y. — I . Il suffira que

passe par la courbe x = a, f{x, y, z) = o.

Prenons pour A et B des polynômes en jk et ^; l'expression

devra être divisible par /{a, y, ^); ou bien encore, j^ et ^ étant deux lettres indépendantes, il faut mettre le polynôme I*{a, y, '^) sous la forme

P(«,J^, 0=- >•/;-!- V-fi-^'>f [où/ désigne /(a, j, ^)],

A, u. et V étant des polynômes en y et ^.

Or, puisque le plan x ^=. a n'est pas tangent à la surface, la courbe f{a^y^ "Ç) = o n'a pas de points multiples : les trois polynômes y, f'yif{ ne s'annulent pas simultanément. De plus on peut toujours supposer que les solutions communes aux deux équations

sont des solutions simples; il suffît que l'axe des "C^ ne soit pas parallèle à une tangente d'inllexion de la courbe /(a, j-, Ç) =: o. Ceci posé, on peut choisir le polynôme a(j/, 'C) de manière que la différence

S annule pour les points communs à

iGR CHAPITRE Vil.

On aura donc

a et V étant des polynômes en y et w, et de là se tirent A et B.

Nous pouvons donc conclure que, sous les hypothèses faites, r intégrale proposée se ramène à

Ij

P{x,y,z)dxdj

{Oi-~a)f,

8. L'intégrale étant de seconde espèce, nous pouvons faire une réduction encore plus complète. En raisonnant comme au n" 6, on voit que Ton doit avoir

^^""'/^ -^ = -f B(«, j-, r) Ui^t.y, -Ç) - o].

La fraction rationnelle B(<7, j)-, ^) sera nécessairement un polynôme S(j>^, l) en 1' et c [la courhe/(<7, j) , ^) = o n'ayant pas de point double]. Si Ion considère alors la différence

elle sera de la forme

JJ — '~f^ — '

où P est un polynôme. Nous arrivons donc à la conclusion suivante :

La surface f{x. y, z) = o ji' ayant pas de singularités, et le plan X = a /l'étant pas tangent à la sur/ace, une intégrale de seconde espèce de la forme

f / P{x,y. z) dx dy ,^, ,

/ / — ^ — =^- r-^— (P étant un nolvnome)

se ramène par la soustraction d^intégrales du type

rrfdM ô\\ , , ,,.,.. ,

/ / ; \ dx dy (U et A rationnels en x.y et z)

J J Kc'x Oy) -^

Pin LKs intkghalks doubles de sixonde espèce. ifig

à une inlégrale de la forme

ff

V( .r,y,z) dx dy

P étant toujours un polynôme.

9. Le même théorème subsisle si le plan x =^a est tangent à la surface. Nous pouvons le démontrer très facilement en nous reportant au résultai du n" 6. Par la soustraction d'une intégrale de forme convenable, nous avons ramené l'intégrale

P( T, Y, - ) d.r dy

à la forme

0(.r, >', z) dx dy

chaque racine h de W(y) correspondant à nn point où la courbe

a sa tangente parallèle à l'axe des z. Or, les axes occupant une position arbitraire par rapport à la surface, on peut supposer qu'aucun des plansj)^ = h n'est tangent à la surface. Nous sommes donc ramené au cas précédent (jc et y étant permutés), et nous avons le tliéorème énoncé à la fin du numéro précédent, même si le plan x = a est tangent à la surface.

10. Nous avons supposé cpie les axes occupent ime position arbitraire par rapport à la surface; les ])lans considérés x^a coupaient alors la surface suivant une courbe irréductible. Il est facile d'examiner le cas où il eu serait autrement. Supposons que le plan x ^= a coupe la surface suivant une courbe décomposable en deux autres, et soit A un point commun à ces deux courbes. Ileprenons l'intégrale

'P(x. y, z)dx dy

SP

{x-a)^fL Nous pouvons d'ailleurs, comme plus haut, faire les réductions

IJO CHAPITRE VII.

qui nous ramèneront à l'intégrale

'P (a-, y, z)clx dy {x~a)\N{y)fV

On peut, dans le voisinage de A, retrancher une intégrale double de la forme

'dV d\

ff'

, . dx dy^

rjx ÔV '

de telle sorte que la différence reste finie dans le voisinage du point. En raisonnant comme au n" 6, on voit que cette dernière intégrale est de la forme

/ / — B( X. 7', z) dx dy,

J J X — a Oy '-

la fraction rationnelle R(.r,y, z) ne devenant pas identiquement infinie sur la section plane x = a. Il n'y a dans tout ceci aucune différence avec le n° 6, si ce n'est que dans ce numéro nous nous placions au voisinage d'un point quelconque de la section plane, tandis que nous nous plaçons ici au voisinage du point particulier K. ; d'ailleurs, la courbe désignée {loc. cit.) par (v) est l'ensemble des deux courbes passant par le point A. On aura donc

pour l'une et l'autre courbe que définit l'équation /(«, y, z) = o.

Or, on peut toujours mettre la fonction rationnelle B(^a:,y, z)

sous la forme

Q(x, Y- z) \i(x,y,z) = • (Q étant un polynôme),

le polynôme \X(jc,y) ne contenant pas (x — a) en facteur (sinon B serait infinie au moins sur une des courbes de la section x = ci). Si donc de l'intégrale proposée

V(x,y, z)dx dy

{^-ci)\\iy)A on retranche

rf±\^-'^jf:J^l]dxdy,

on aura une intégrale de la forme

'Q(x,y, z)iLv dy

If-

W(>') étant un polynôme en y. Gomme le plan des zx peut être supposé avoir une direction arbitraire, on peut admettre qu'aucun plan de la forme

ne coupe la surface suivant une courbe rlécomposable (en faisant abstraction de la surface de Steiner et des surfaces réglées), et finalement nous arrivons à la même conclusion qu'au numéro précédent.

Les considérations précédentes peuvent servir, d'une manière plus générale, à faire la réduction de l'intégrale de seconde espèce

fj

P( X, y, z\dx dy

^x-ar^'^ix.y)/^

le polynôme R(.r,jK) ne contenant pas x — a en facteur; on ramènera cette intégrale, par la soustraction d'une intégrale de la forme déjà plusieurs lois indiquée, à l'intégrale

P(.r, )-, z)d.v dy

n. En restant toujours dans le cas d'une surface sans singularités, nous allons considérer une intégrale arbitraire de seconde espèce. Les axes étant pris arbitrairement, nous pouvons supposer que l'intégrale reste en général finie dans le voisinage d'un point pour lequel yi = o ; de plus C étant une ligne irréductible de la surface pour les points de lacjuelle l'intégrale peut devenir infinie,

soit

la courbe irréductible qui est la projection de la ligne G sur le plan des xy. La surface cylindrique

R(-^>jk) = 0

pourra couper la surface f suivant une autre ligne irréductible que la lionne G.

\yi CHAPITRE VII.

Soit r cette seconde ligne; les courbes C et T ont au moins un point commun à distance finie que nous désignerons par A. L'intégrale double considérée peut évidemment se mettre sous la forme d'une somme d'intégrales du type

^ rr P(x,y,z)dxdr

JJ W(,7)[R(^,j)JV"^' En effet, toute fraction rationnelle de x,j-, z peut s'écrire

A et B étant deux j>olynomes, le premier en x, y, z, le second en X et y. En regardant

comme une fraction rationnelle de x, ou la décomposera en fraclions plus simples, dont les dénominateurs, en tant que polynômes en X, soient premiers entre eux et puissances d'un poljnome en X et r; mais dans cette décomposition pourront s'introduire au dénominateur des polynômes en j-, figurés parW(j)'). Considérons donc l'intégrale (e) ; dans le voisinage du point A, on doit pouvoir trouver deux fractions rationnelles S{x,y, z) etT(^,j'', z) telles que la différence

' fz W ( r )[R{T,r)Y^ ÔT ôy \ -^

leste finie dans le voisinage de A. En décomposant S et T en frac-

dS rJT

lions simples, nous avons, pour la somme 1 , des éléments

^ ' dx dy

de la forme

W,(r)[p(:r,jK)]>/i

En se bornant, dans S etT, au terme renfermant nécessairement

en dénominateur une puissance de R, nous avons une intégrale de

la forme

P(a?, jK, z)dx dy

fj

W(j)[R(:r,7)jP/:

SLK Lies l.NTKGRALKS DOUBLES DE SKCONDK KSl'Kl.E. IJj

qui, dans le voisinage de A (ce point pouvant être exclu), ne devient pas infinie sur la courbe

c'est-à-dire sur les deux courbes C et F; il faut donc que

reste Unie pour Pv.(^', r)^o, dans le voisinage de A, et, par suite, soit un polynôme en x^ y el z (on peut appliquer ici le ihéorème classique de Nœther, puisque C et F forment Tinterseclion complète de R := o avec la surface f).

On voit donc que finalement Fintégrale sera ramenée à

et finalement à

'P( .r. r. z)d.r rlv

Nous avons donc la proposition fondamentale suivante :

Si l'équation

représente une surface sans sinp;ularités, toutes les intégrales de seconde espèce l'elatives à cette surface sont de la forme

ff('^-%h''^-fP

U et V étant des fonctions rationnelles en ./•, y et z, et V{.r. y, z) représentant un polynôme.