VIII. — Quelques exemples
25. Considérons d'abord les intégrales de fonctions rationnelles
(1) I / 'S{x,y)dxdy.
S étant une fonction rationnelle de deux variables indépendantes X ely. 11 résulte immédiatement du théorème général du n° 11, que de telles intégrales, quand elles sont de seconde espèce,
SUR LES IXTEGHALES DOriiLES DE SECONDE ESl'ÈCE. (9J
peuvent par la soustraction d'une expression
être ramenées à la forme
( J ) / / Pi .r. y) d.r cly.
Pétant un poljnome. En effet, on peut regarder n) comme une intégrale relative à la surface
D'autre part, il est manifeste que l'intégrale (3) peut s'écrire
-^ dx dv,
Q étant un polynôme en x ety, car on peut toujours poser P = — i.
Donc, toutes les intégrales doubles de seconde espèce de fondions lationnelles de x et y sont de la forme (2). Le nombre désigné plus haut par p est ici égal à zéro.
Il ne sera pas inutile de reprendre directement la démonstration du résultat précédent, sans s'appuyer sur aucun théorème général. Soit
ii(x.j)=.
les R étant des polynômes irréductibles en x et y, que nous pouvons supposer con.tenir à la fois x et )', et premiers entre eux. Puisque l'intégrale (i) est de seconde espèce par hypothèse, on doit pouvoir retrancher de (i) une intégrale de la forme (2), telle que la différence reste finie dans le voisinage d'un point appartenant à la courbe
Hi (.r, r I = o.
Si nous décomposons U et V en éléments simples par rapport à y, relativement à chacun des polynômes R, nous avons
A./ et Rj étant des polynômes en y à coefficients rationnels en x.
La différence
Bi(x,y) 'i
ne doit pas être identiquement infinie dans le voisinage d'un point arbitraire satisfaisant à la relation
Ri ( .r, r) — o.
Par cette soustraction, nous faisons donc disparaître R) du dénominateur, en introduisant cependant à la place un polynôme en X seul. En opérant maintenant relativement à Ro, et ainsi de suite, nous voyons que, par la soustraction d'une intégrale (2), nous ramenons l'intégrale de seconde espèce (1) à l'intégrale
dx dy.
P étant un pohnome en x ely, et V(.r) un polynôme en x. Cette dernière inté"rale est la somme d'intégrales
/ / \\{x)r"> dx dy
[oùR(.r)est une fraction rationnelle de x, et mnn entier positif] que l'on peut écrire
f f^AH^)r"-^']dxdy:,
elle est donc de la forme (2), et nous retrouvons bien le résultat annoncé.
26. Prenons encore, comme exemple, une surface qui correspond birationnellement à l'ensemble de deux courbes '^ et J>, c'est-à-dire une surface pour laquelle on a
les R étant rationnelles en a, ['j, a' et [3', et cela de telle manière qu'à un point aihitraire (a", J', z) de la surface corresponde un
SIR LKS INlKCniALKS DOl BLES DE SECONDE ESPÈCE. 1 97
seul couple (a, |j i et (a', [î'); nous désignerons par/(^, j', -) = o l'équation de la surface.
Soit
dx
une intégrale abélicnne de seconde espèce, non rationnelle, de la courbe
(|ue nous supposons de genre supérieur à zéro, et soit pareillement
une intégrale de seconde espèce, non rationnelle, relative à la combe de genre supérieur à zéro,
J'envisage lïntégrale double
qui est manifestement de la forme
(6) / / T[x,j. z)dxciy.
T étant rationnelle en x, y et z. Nous allons voir que cette intégrale est une intégrale de seconde espèce de la surface f. Les lignes, le long desquelles l'intégrale (6) devient infinie, correspondent aux pôles de lintégrale (5). Si A est un pôle de (4 > sur la courbe cp (on peut le supposer à distance finie L on a, dans le voisinage de ce point,
p et U étant rationnelles en a et |3, et o restant finie en A. L'intégrale peut donc s'écrire
c'est-à-dire
le premier terme seul devient infini pour un point de la surface / pris arbitrairement sur la ligne F qui correspond au point A de la courbées. Or, ce premier terme, d'après les généralités du n" 2, est nécessairement de la forme
If
dx dy.
U| et V) étant rationnelles en x, y et z. Donc, en un point arbitraire de la ligne T, l'intégrale (6) présente le caractère d'une intégrale de seconde espèce. Pour les pôles de 'h on raisonnerait de la même manière, et aussi pour les points correspondants à la fois aux pôles de cû et aux pôles de 'i;, et nous arrivons l)ien à la conclusion que V intégrale (6) est une intégrale double de seconde espèce.
Une question intéressante se pose immédiatement. Peut-on affirmer que l'intégrale (6) n'est pas réductible à une intégrale
( -j : I dx dy'i
\ dx Oy J -^
Il en est bien ainsi, du moins en général; c'est là un point assez délicat à établir, qui appellera notre attention sur certaines circonstances intéi'essantes relatives à la péi^iodicité des intégrales doubles.
27. Nous commencerons par l'examen d'un cas particulier remarquable, qui se rapporte à la théorie des intégrales hjpereiliptiques. On connaît, dans la tbéorie de ces intégrales d'après Weierstrass, l'importance de l'identité
d dx
v/PC-^
ôy
oii P{x) désigne un polynôme arbitraire ayant des racines distinctes «,, «2, . . . , a„, et où l]{a), y) est un polynôme en x ely défini par cette identité même.
SLR Li:S INTKGRVLES DOUBLES DE SECONDE ESPECE.
Si nous envisageons la surface
>yj
on aura
Vi.T. y) à r P(.r)
Nous allons considérer l'intégrale double
ff
dx dy^
prise le long dun cycle à deux dimensions formé par une courbe fermée C du plan de la variable x qui comprenne à son intérieur deux des points «, et par une coui'be fermée C analogue dans le plan de la variable y. Si les deux courbes C et C, tracées sur le même p^lan, offrent la disposition de la fig. a, c'est-à-dire si les
Im£. a.
contours C et G' ne se coupent pas (ou peuvent être ramenés à des contours ne se coupant pas sans lra\ erser les points «), on aura de suite, d'après l'identité (iV la relation
dx dy
puisque, tous les éléments restant finis dans les deux intégrales
J J àx\{y-x)z\ •^' JJoyl(x~y)z\
on n'a qu'à faire la première intégration dans chacune de ces intégrales et l'on obtient ainsi zéro.
Le résultat précédent ne subsiste pas si les deux contours ont la disposition de \di Jig. [j. Les contours C et C ont deux points communs p et ^, et le maniement des intégrales (2) demande quelques précautions à cause des deux éléments qui y deviennent
infinis. Prenons sur C deux points Xt et X2 de part et d'autre de/?, et deux points X3 et Xj, de part et d'autre de q.
Fis. S.
Nous allons calculer la valeur de l'intégrale
\/pW)
l'intégration par rapport k y étant faite le long de C, et l'intégration par rapport à x étant faite dans le sens de la flèche le long
de l'arc Xj^s et le long de l'arc .r^Xo- Le radical y/P(\r) a une valeur bien déterminée le long de C, et le radical \J^{y) une valeur bien déterminée le long de C; nous pouvons supposer qu'ils sont égaux en p, ils auront alors des valeurs de signe contraire en q. Ceci posé, l'intégrale est manifestement égale à
- f\ ^^'^ ^^Il^îl^dy
^ f\ V'*^^ /Î^Z^L^l dy.
Pour calculer l'intégrale qui forme la première ligne, traçons un arc nirii. Une intégrale prise le long de C est égale à la somme d'une intégrale prise le long du contour ;n^y/î/v?z et d'une intégrale relative au contour mrnpm. Or, pour l'intégrale de la première ligne, la première de ces deux intégrales est très petite si x^ est très voisin de jTo ; la seconde se réduit à
^^^^> -dy,
prise le long du contour mrnpm : elle a donc pour valeur ira. L'intégrale de la seconde ligne se calculera de même ; sa valeur est
encore ir.i^ en se rappelant qu'en ly, les radicaux y/P(5:) et \l^{y) sont de signes contraires.
Si l'on calcule maintenant l'intégrale
dans les mêmes conditions, on trouve évidemment zéro.
Donc l'intégrale (I) prise le long de C et des arcs .ri jr.j et Xi,Xj^ de C diffère très peu de ^t.i.
On a, par suite ( ' ), pour \a Ji^' . |ii.
ff
■ '■ — dx a y — 1 - ; .
