I., I- ..., Ip

telles que toute autre intégrale double de seconde espèce est de la forme

les a étant des constantes, et U et V des fonctions rationnelles dex, y,z..

21. La démonstration précédente s'applique à tous les cas. Pour établir que les intégrales

V ( X, y, z ) dx dy

se réduisent à un nombre fini d'entre elles, on pourrait se borner au cas où la surface est la plus générale de son degré.

En prenant poury(jc,y, z') unpolynome arbitraire de degré m, on peut trouver facilement une limite du degré p. Reprenons l'identité fondamentale

en supposant que U et V sont de degré p ^- i . On a alors

ày\r-J ■ àx\flj fl

Q étant un polynôme de degré p. Nous avons vu que dans 0{x^y^z) l'ensemble des termes homogènes de degré y? sera égal à un polynôme homogène donné P, (^, j', z), si l'on a

U=7Pi-^H / . ,

(H et K polj^nomes de degré nj.

Formons alors l'identité

(*) P, iyfy - .r/;, ) H- H/,' -;- K /;; -- X/L + B/.

Dans llfy-^ ^/xi '^^^ ^^ ^^ ^ sont des polynômes arbitraires de degré p. le nombres des arbitraires est égal à

D'autre part, pour avoir une identité de la forme ( <I>), il faut et il suffit que la surfaee obtenue en égalant à zéro le premier membre de cette identité, que nous appellerons la surface <ï>, passe par la courbe gauche

Or, on sait que le nombre des conditions exprimant qu'une surface de degré ;j. passe par une courbe gauche sans point singulier de degré d et de genre t: est égal à

si jj. est assez grand; dans le cas où la courbe est l'intersection complète de deux surfaces de degrés a et [3, on doit avoir

Dans la question actuelle

;jt = /> -t- m ,

De plus, la surface <ï> a, quels que soient les arbitraires qui y figurent, un nombre de points communs avec la courbe (v) égal à

j88 chapitre vu.

m{m — i), et qui sont les m [m — i) points à l'infini de (y); le nombre des conditions est donc à diminuer de m{m —'i). Le nombre des paramètres sera au moins égal au nombre des conditions qui expriment que la surface <ï> passe par la courbe (y), si l'on a

ni [m — \)['i.ni — 5 ) '^ ( p -h 777 — i) 77H m — 1 ) ^ ■ •

Si po désigne le plus grand nombre entier positif pour lequel cette inégalité 11^ est pas vérifiée, on pourra ramener toute intégrale

V ( r. y, -s) dx dy

à une intégrale de même forme, où le degré de P sera au plus/?o- On ne peut pas trouver pour p^ une expression simple, mais on vérifie facilement que

et l'on est par suite assuré de pouvoir réduire à iin — 4 le degré du polynôme qui figure au niiméi'ateur de l'intégrale double.

VI. — Recherche des conditions pour qu'une intégrale double soit de seconde espèce.

2'2. Nous venons de montrer que toutes les intégrales de seconde espèce se ramènent par une soustraction convenable à la forme

JJ

P(.r, r, z) dx dy

(le poljnome P s'annulant sur la courbe double), où le degré /> du polynôme P est limité. Mais toutes les intégrales doubles de cette forme ne sont pas de seconde espèce. Il faut maintenant exprimer que cette intégrale est de seconde espèce.

Nous n'avons rien à exprimer pour ce qui regarde les points à distance finie de la surface

Nous avons seulemenl à examiner les points à l'infini, en sup- |)Osant d'ailleurs, comme il est permis, qu'avant toute réduction on ait fait une transformation homographique.

Posons

et soit alors F(X, \, Z ) = o l'équation de la surface transformée. L'intégrale prendra la forme

Xi'-'

f/X clY

H(X,\;Zi désignant un polvnome qui s'annule pour la courbe double de F. Si/? est au plus égal à m — 4, 1 intégrale est de première espèce. Soit donc

Par la soustraction dune intégrale convenable de la forme (n"* 7 et hi I

ff\±

ArX. Y,Z)

^^rE(X,Y.Zl1,

on obtient une intégrale

r ri K(X. Y. Z)d\ dY

K(X, Y, Z I étant un polynôme sannulant pour la courbe double. D'après le n" 16, pour que cette intégrale ait sur la ligne X i:^ o le caractère d'une intégrale de seconde espèce, il faut et il suffit que l'expression

K(n. Y. Z ) Fz(o, Y,Z,i

[F(o,Y,Z):=ob

soit la dérivée dune fonction rationnelle de \ et Z. On pourra reconnaître s'il en est effectivement ainsi, ce qui entraînera en

général

conditions, en désignant par - le genre dune section plane quelconque de la surface et par suite de la courbe F(o, 1 , Z) =^ o. Les

igo CHAPITRE VU.

conditions reviennent en effet à écrire que IHntégrale abélienne 'K(o.Y, Z)rfY

Fiio, Y, Z)

est algébrique ; les 271 périodes cjcliques doivent être donc nulles, ainsi que les m résidus relatifs aux points à l'infini, qui donnent seulement m — i conditions. On sait d'ailleurs que toutes ces conditions s'expriment sous forme algébrique,

23. Toutes ces conditions étant remplies, nous sommes assuré que pour les points à l'infini de la surface

f^x,y,z) =0 qui correspondent à

X = o, Y — une valeur finie,

les conditions pour que l'intégrale proposée soit de seconde espèce se trouvent vérifiées. Si Ion avait posé

■^-yt' '-y;' ''"y;'

on aurait eu l'intégrale

[ H,(Xi,Y,.Z,)

Yr*'""" Fi

f/X, fZYi [FiiX,, Yi,Z, ) =0].

Pour les points de la courbe \^^o, elle devrait en général avoir le caractère d'une intégrale de seconde espèce, puisque cette courbe correspond àX = o. Donc pour tous les points à l'infini de la surface F, qui correspondent à \ j ^=: o et à une valeur finie de X) se trouvent vérifiées les conditions pour que lïnlégrale soit de seconde espèce. Mais on a

donc aux points de F exclus plus haut pour lesquels

X = o, Y = ce, correspondent sur F,

Xi — o, Yj = o

SUR LES INTÉGRALES DOURLES DE SECONDE ESPECE. jgi

et par suite pour les points à l'infini de la surface y pour lesquels

X = o, Y — ce

les conditions relatives à la nature de Tintégrale double sont bien

vérifiées.

Il reste enfin à examiner les points à Tinfini de la surface/ pour

lesquels

X — une valeur finie. j^ = x:

comme ils correspondent nécessairement sur F) à des points pour

lesquels

Vi — o, Xj = o.

la conclusion est immédiate, et les conditions voulues sonl\érifiées. Ainsi donc noi/s savons exprime/- que f intégrale double

]' 1 .7-, y, z I d.r dv

ff'^^

(le polynôme P s'annulant sur la courbe double ) est une intégrale double de seconde espèce.

Ceci revient à exprimer qu'une certaine intégrale abélienne est algébrique; le nombre des conditions est en général égalii

~ désignant le genre cV une section plane quelconque de la surface.

"VII. — Caractère invariant de l'intégrale de seconde espèce.

24. Nous avons maintenant à montrer qu'une intégrale double de seconde espèce reste une intégrale de seconde espèce quand on effectue sur la surface une transformation birationnelle. Nous avons déjà vu (n° 2) que la forme des expressions

est invariante relativement à toute transformation birationnelle, mais cela ne suffit pas pour établir l'invariance des intégrales de seconde espèce. La difficulté provient des points fondamentaux

ig-l CHAPITRE VII.

que peuvent posséder les transformations biralionnelles. Soil, sur la surface

un point A, que l'on peut évidemment supposer simple, qui soil un point fondamental de la transformation, c'est-à-dire qu'au point A de f correspond sur la surface transformée

une certaine ligne. Envisageons une intégrale I de seconde espèce

de la surface F et recherchons si sa transformée i relative à la

surface / possède au point A le caractère d'une intégrale double

de seconde espèce. L'intégrale i pourra devenir infinie le long de

certaines lignes

jiassant par le point A; il résulte de ce que i est la transformée d'une intégrale de seconde espèce de la surface F, que l'on peut retrancher de l'intégrale i une intégrale double de la forme

(/. = ... A) fr('Jl'i.^'^)d.dj \ ^^;i ^^^'^' '•^^'«"-

J ^f \ o.r ôy j ^ ( nelles en x,yelz)

telle que la différence de ces deux intégrales reste finie dans le voisinage de A sur la courbe F/, (en dehors de A ). Nous allons voir que cela suffit pour affirmer que l'intégrale « présente çn A le caractère d'une intégrale de seconde espèce.

Les axes des coordonnées étant supposés arbitrairement situés par rapport à la surface, nous écrirons i sous la forme

les polynômes R de .r el y étant irréductibles et premiers entre eux, et s'annulant en A, tandis que A(x,j)', c) est une fraction rationnelle de x,y, z- qui reste finie en ce point. On peut, par hypothèse, retrancher de i une intégrale

ox Of J

telle que la diliérence des deux intégrales reste finie dans le voisinage de A sur la ligne F, (e.i dehors de A); nous supposons que

SLR LES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. ig'i

pour F) on ait R,(^,y)=:o. En décomposant, comme nous l'avons fait à plusieurs reprises, U| et V| en éléments simples, nous ferons ainsi disparaître R, du dénominateur, mais en introduisant à la place une certaine puissance de x — -a (on désigne par a l'abscisse de A). En continuant ainsi de proche en proche, nous retranchons de i une intégrale de la forme

de telle sorte que la différence soit de la forme ( / ) / / -, dx dy,

la fraction rationnelle B étant finie en A. Cette dernière intégrale/ est évidemment telle que l'on peut en retrancher une intégrale de la forme tant de fois considérée, de façon que la différence reste finie dans le voisinage de A (en dehors de A) sur la ligne jc =: a. En faisant les réductions les plus élémentaires, nous sommes ramené au cas de a ^ i et nous avons, par suite, en ayant fait seulement des soustractions du tjpe voulu, l'intégrale

C{x, y, z) étant finie et déterminée en A. Nous pouvons d'ailleurs supposer que la courbe pour laquelle on a

ne rencontre pas le plan x = a en un point dont la coordonnée y soit égale à b (en désignant par b la seconde coordonnée de A); dans le cas contraire, en effet, il suffirait de faire tourner les axes OjK et O^ dans le plan des zy sans changer l'axe Ox.

Ceci posé, d'après nos hypothèses, on peut retrancher de l'intégrale (2) une intégrale de la forme

ffêi'''^^]"^''-

[où Y{[x, y, z) est une fonction rationnelle], et telle que la ddférence des deux intégrales i*este finie dans le voisinage de A (en

P. ET S., 11. l3

dehors de A) sur la ligne sl- = a. Ceci entraîne l'identité

■y- = — ^(/^ly^^.) [sur la courbe /(rt,^, !^) = o].

/{{a.y, l) cy

D'après ce que nous avons dit, la fonction rationnelle Cfrt,^'', "C) reste finie pour les points de la courbe/i «, j>', X,) = o, qui correspondent à y = b. Donc, on peut mettre l'expression

sous la forme

M étant un polynôme en i' et "C. et R(y) ne s'annulant pas pour y=^b. Par suite, si l'on retranche de lïntégrale (2) l'intégrale

J J ^y \:^'—a)K(f)] on aura une différence qui sera de la forme

ff-

la fraction rationnelle S étant finie et déterminée au point A. Ceci montre que l'intégrale (2) et, par suite, V intégrale initiale i présentent en A ce que nous avons appelé le caractère cV une intégrale double de seconde espèce.

Ainsi se trouve établi le caractère invariant de F intégrale double de seconde espèce ; le nombre désigné par p au n° 20 est donc un nombre invariant pour toute transformation birationnelle.