IX. — Seconde définition des intégrales de seconde espèce
29. On peut donner, des intégrales de seconde espèce, une définition qui fait intervenir la considération des résidus de l'intégrale double. Nous nous bornons d'ailleurs à une surface ne présentant que des singularités ordinaires. Soit
/ / R( .r, y, z ) dx dy
une intégrale double attachée à la surface
On peut toujours supposer, en eftectuant préalablement une transi'ormation birationnelle convenable, que l'intégrale devienne infinie seulement le long de certaines courl^es simples de la surface ne passant pas par les points triples et pour les points à rinfinl. Pour chacune de ces lignes et pour la ligne à linfini, l'intégrale aura un certain nombre de résidus qui sont des périodes d'intégrales abéliennes. Leur définition résulte de ce que nous avons vu (t. J, p. 49) en étudiant les résidus des intégrales doubles de fractions rationnelles. Soit (^ une ligne le long de laquelle II devienne infinie, représentée par
z ^- Six, y), o(.r,7) = 0;
prenons, y étant regardé comme un paramètre, le résida de la
fonction de x,
Ce sera une quantité de la forme
7/^»r) ['-f;-^, jk) = o],
•/ étant rationnelle en x et y. Les périodes (polaires ou cycliques) de Tintéorale abélienne
'.Tzi ly(x,y)dy
relatives à la courbe '^ sont les i-ésidusàe l'intégrale (i ) relatifs à la courbe C.
204 CHAPITRf VII.
30. Supposons cpic rintégrale (i) soit de seconde espèce ; ie d'\5 qu'alors tous les résidus relalifs à C sont nuls. Réciproquement, si tous les résidus relatifs à G sont nuls, l'intégrale (i) présente, en un point arbitraire de G, le caractère d'une intégrale de seconde espèce.
La démonstration de ces deux propositions va se faire à la fois. Nous ne diminuons pas la généralité en supposant que la courbe G est une section plane ou une portion dune section plane de la surface. Nous avons alors, en supposant que le plan de la section soit ^ =r o, rintégrale double
ff
Si. T. V, Z) , ,
: d.r av.
la fraction rationnelle S ne devenant pas identiquement infinie pour x^o. En employant les réductions dont nous avons fait si souvent usage dans ce Ghapitre, on peut supposer que a= i. et l'on a alors l'intégrale
Soit G la courbe (ou une des courbes) suivant laquelle le plan ^ = o coupe la surface. Les résidus relatifs à la courbe G seront tous nuls, si toutes les périodes de l'intégrale abélienne
/s(o, j, r)rfj-,
relatives à la courbe G sont nulles, ^ étant la fonction de y correspondant à la courbe G. Mais on a alors pour l'intégrale précédente une fraction rationnelle
et, par suite, eu retranchant de (2) l'intégrale
la différence des intégrales (2) et (3) reste finie en un point arbitraire de la courbe G, et^ en loul point de la courbe G, elle reste finie sur cette courbe dans le voisinage de ce point (le point pouvant être exclu ).
SLR LES INTKGRALI-S DOUBLES DE SECONDE ESPECE. iOi
Réciproquenieut, si l'intégrale est une intégrale de seconde espèce, on pourra retrancher de fa) une intégrale de la forme
fU^^^"-'y
telle que la différence reste Unie dans le voisinage de C; on a donc
pour la courbe C, et tous les résidus relatifs à G sont nuls.
De là nous concluons c[ue, si pour toutes les courbes C et pour la courbe à Tinfini de la surface, tous les résidus sont nuls, l'intégrale est telle que, dans le voisinage de tout point d'une de ces lignes, on peut retrancher une intégrale de la forme voulue, de telle sorte que la différence des deux intégrales reste finie sur la ligne dans le voisinage du point. D'après les résultats de la Section \I1, cela suffit à établir que l'intégrale est de seconde espèce. La réciproque est d'ailleurs évidente d'après ce que nous avons vu j)lus haut.
Ainsi donc nous sommes conduit à une seconde définition des intégrales de seconde espèce par la considéra lion des résidus de V intégrale double.
31. Terminons ce Chapitre par une application des considérations cjui précèdent aux intégrales de fonctions rationnelles, eu recherchant à quelles conditions l'intégrale
fj
l'(.r. r) , , ~ — cir dy .
où P et Q sont des polynômes (dont le second est supposé irréductible), est une intégrale de seconde espèce. D'api^ès ce qui précède, il est nécessaire que l'intégrale abélienne
A^^StT)^^"'
relative à la courbe Q(x, j^/ = Oj se réduise à une fraction rationnelle de X et r ; c'est la condition pour que les résidus correspondant à la courbe Q = o soient tous nuls. La condition est suffi-
•.io6 CHAPITRE Vil. — SUR LES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE.
santé; on va voii', en effet, que, si elle est remplie, on peut retrancher de (4 » une intégrale convenable, etla différence mettra en évidence la nature de l'intégrale.
D'après l'hvpothèse faite, on peut mettre l'intégrale abélienne (5) sous la forme
]\I(;, Ti ) et R(i) étant des polynômes. Formons l'intégrale
elle est, comme nous savons, de la forme
dx dy
ûx ilj j "^
Un calcul facile montre que la différence des intégrales (4) et (6)
est de la forme
dx dy,
S et V étant des polynômes : l'intégrale (4) est donc bien de seconde espèce, puisqu'il en est ainsi de l'intégrale que nous venons de trouver en dernier lieu.
I. Quelques remarques complémentaires sur la réduction des intégrales doubles de seconde espèce.
1. Preiianl lou jours, comme au Chapilrc précédent, une surface
à singularités ordinaires, nous avons vu (jue, par des souslraclions du type voulu, on pouvait ramener toute intégrale double de seconde espèce à la forme
V (x, y, -z ) dx dy
où P(j:, y, z) est un poljnome.
11 a été démontré ensuite (p. 182 et suiv.) que, |)ai- la soustraction d'une intéirrale de la forme
J J v^^^Kfl) ' ^i\a).
dx dj,
OÙ U et V sont des polynômes en x, y et g, on j)Ouvail ramener l'intégrale ( \) à l'intégrale
Q(a7, Y, z) dx dy
OÙ le degré du poljnome Q est limité.
La réduction précédente ne suppose en rien que lepoiynome I* s'annule sur la courbe double de la surface, ([uoique ce soit à ce P. i;t s., II. 14
'^o8 CHAPITRE VIII.
cas que l'on puisse toujours se trouver ramené. Mais si P s'annule sur la courbe double, il n'en est pas nécessairement de même pour Q, du moins si l'on fait la réduction telle que nous l'avons présentée. Il est cependant exact que toutes les intégrales de seconde espèce se ramènent au type (2), où Q s'annule sur la courbe double et où son degré est limité (quoique cette limite puisse être plus élevée qu'avec la réduction primitive). On pourrait le démontrer directement en modifiant un peu l'analyse des n°' J8 et 19 du Chapitre précédent : on assujettirait les polynômes U et V qui v figurent à s'annuler sur la courbe double, ce qui n'entraîne pas de modifications importantes dans les raisonnements; la limite, je le répète, pour le degré du polynôme Q, pouiTa être plus élevée que dans le premier cas.
2. On peut arriver au même résultat par une voie indirecte. Effectuons sur la surface/ une transformation birationnelle telle que la courbe double de / devienne sur la surface transformée F une ligne simple L, nécessairement composée d'une ou de deux courbes irréductibles; la transformation birationnelle peut d'ailleurs être prise de telle sorte que F n'ait que des singularités ordinaires. L'intégrale transformée ne devient plus alors infinie sur la ligne double; on peut donc faire les réductions babituelles, et, en revenant à la surface/, on a une intégrale double qui ne devient plus infinie sur la ligne double : par suite, toute intégrale double de / se ramène à la forme (2), où le degré du polynôme Q est limité et où ce polynôme s'annule sur la courbe double.
Nous venons de dire que la ligne L de F correspondant à la ligne double de /se composait d'w/ie ou de deux courbes irréductibles. Si l'on considère en effet la ligne double C de /, les deux plans tangents en un point arbitraire de C dépendent rationnellement de
^, y. ^ et \/{fzy)--/hf"'.-
11 arrivera en général que le radical précédent ne sera pas une fonction rationnelle de {x,y,z) quand ce point est sur C, mais il pourra en être ainsi dans certains cas particuliers, et ces deux circonstances correspondent aux deux cas visés. Quand on se trouve dans le premier cas, que Ton peut regarder comme le cas
SLITE DES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. •.iOfJ
général, on ramènera une intégrale de seconde espèce de la forme (i), où P ne s'annule pas sur la courbe double, à une intégrale de même forme, mais où P s'annule sur cette courbe par la soustraction d'une intégrale de la forme
/ / I -T" — T- I dx dv (A et B rationnels en x, v et -). J J \àx dy 1 -^ ^ -^ .
La raison en est qu'en faisant disparaître dans (i) autour d'un point de la courbe double la ligne d'infini envisagée comme appartenant à une des nappes, on fait disparaître en même temps cette Hgne regardée comme appartenant à l'autre nappe; car, avec l'hypothèse faite, une fonction rationnelle de x^ y et z restant finie sur l'une des nappes de la surface, dans le voisinage d'un point pris arbitrairement sur la courbe double, reste encore finie sur l'autre nappe de la surface.
3. Les considérations suivantes se rafetachent au même ordre d'idées. Supposons que P(:r, j% z) étant un polynôme sannulant sur la courbe double, on ait une identité de la forme
/-: àx\f:j ■ ùy\fL
L et \ étant des polynômes en x, y e\. z. Je dis que U et V s'annuleront nécessairement sur la courbe double, si nous sommes dans ce que j'ai appelé plus haut le cas général.
Prenons sur la courbe double un point arbitraire A: dans le voisinage de ce jDoint. sur une nappe déterminée de la surface,
l'expression
est une fonction holomorphe de x el )'. On peut donc écrire sur la nappe considérée et dans le voisinage de A
V{x. y, Z) OK
A étant holomorphe en x et y autour de A. Par suite, d'après (3). o> / U , 0 / \ ,\
rx[Â)-ry[z- '') = '■
Donc l'inlégrale
\J dy — {\ — lf:)dx
est une intégrale de différentielle totale, parfaitement définie autour de A sur la nappe considérée de la surface. La courbe double peut être une courbe logarithmique de cette intégrale, et la période logarithmique correspondante est la période logarithmique de l'in-
tégrale abélienne
\}{x, r, ^) dy
relative à la courbe entre y et ;, f{x, y, ^ ) = o. Elle est, par suite, égale à la valeur de
iT.iVyx, y. z)
pour les points doubles de la courbe y"( x, r, z) =^0. On en conclut de suite que l'expression
a une valeur constante sur la courbe double de la surface. Si nous sommes dans le cas général {voir numéro précédent), le radical sera susceptible d'avoir changé de signe, quand {x^y^z') partant d'un point de la courbe double y reviendra après avoir décrit un chemin convenable. La valeur constante de l'expression précédente sera donc alors nécessairement nulle, et par suite U s'annulera sur la courbe double, comme nous voulions l'établir; il en sera nécessairement de même de V.
II. — Sur le nombre des conditions exprimant que certaines intégrales doubles sont de seconde espèce.
4. Toutes les intégrales doubles de seconde espèce relatives à une surface de degré m
se ramenant, comme on l'a vu (p. 188 et suiv. ), par une soustrac-
L1J3KAJH1E GAUTHIEH-VILLARS,
QUAI I)i:S (ÎHANDS-AUGL'STIiXS, 55, A l'AllIS (6").
fiivoi franco dans Idiilc 11 iiion posialo confie niandal-posle nu valciir sur Pari
